Eine kleine Einführung in die Integralrechnung

{{Lernpfad-M|'''Der folgende Lernpfad gibt eine kurze, nicht vollständige Einführung in die Integralrechnung in der Jahrgangsstufe 12, sowohl für den Grund- als auch für den LeistungskursMathematik.'''                                                                                                                                                   {{Kurzinfo|M-digital}}                                                                                                                                                                         ''' Der Lernpfad wurde im Zuge der Unterrichtspraktischen Prüfung für das zweite Staatsexamen entwickelt und wird im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt werden.'''}}


{{blau|Bearbeite den Lernpfad in der vorgesehenen Reihenfolge. Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben anzeigen lassen. Ich empfehle Dir aber dies erst {{Schrift_grün|'''nach der Bearbeitung'''}} der Aufgaben zu tun.<br> Alle Aufgaben sind in schriftlicher Form im Heft festzu halten, damit Du jederzeit darauf zugreifen kannst! <br>}}

So jetzt geht es endlich los!

Erst einmal etwas zum Aufwärmen.

{{Aufgaben|1|
Eine Rangierlok steht 100 Meter hinter dem Bahnhof "Hasenweide" am '''Mittleren''' Haltesignal. Zeichne ein Diagramm, dass die Geschwindigkeit <math>v</math> der Lok wiedergibt, wobei positives <math>v</math> die Bewegung '''"vorwärts"''', negatives <math>v</math> die Bewegung '''"rückwärts"''' bedeutet. Die Geschwindigkeit <math>v</math> wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit <math>t</math> in Sekunden (s) gemessen. Sie beschleungt in der ersten 4 Sekunden auf ihre Höchstgeschwindigkeit von  10 m/s, um in den nächsten 3 Sekunden wieder bis zum Stillstand abzubremsen. (...) Die '''''untenstehende Tabelle''''' gibt die Geschwindigkeiten der Lok an. <br>}}

{| class="wikitable "
|+ Tabelle zur Geschwindigkeit der Rangierlok 
!
! Geschwindigkeit [in m/s]
! Zeitpunkt [in s]
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 0
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 10
| 4
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 7
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 9
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| -6
| 12
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| -7
| 14
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| -6
| 16
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 18
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 20
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 5
| 22
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 5
| 24
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 25
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 26
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| -3
| 28
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 0
| 30
| 
| 
|}

'''a) Nutze sie um den Graph der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion zu skizzieren!''' <br>
{{Lösung versteckt|[[Datei:Nic3381_Rangierlok3.JPG]]}}


'''b) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich die Lok vorwärts bzw. rückwärts?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Bewegung vorwärts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>0 \leq t \leq 7</math> &nbsp; und &nbsp; <math>20 \leq t \leq 25.</math> <br> <br>
Bewegung rückwärts wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für &nbsp;
<math>9 \leq t \leq 18</math> &nbsp; und &nbsp; <math>26 \leq t \leq 30.</math>
}}}}
<br>
'''b) Wann hat die Lok die größte Geschwindigkeit vorwärts bzw. rückwärts erreicht?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|Größte Geschwindigkeit vorwärts am Hochpunkt des Graphen für <math>t = 4.</math> <br>
Größte Geschwindigkeit rückwärts am Tiefpunkt des Graphen für <math>t = 14.</math>
}}}}
'''c) Wann wird die Rangierlok schneller, wann wird sie langsamer?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Bewegung nach rechts: <br>
Lok wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: <math>0 \leq t \leq 4 \ ; \ 20 \leq t \leq 22</math> <br>
Lok wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: <math>4 \leq t \leq 7 \ ; \ 24 \leq t \leq 25</math>
<br><br>
Bewegung nach links: <br>
Lok wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: <math>9 \leq t \leq 14 \ ; \ 26 \leq t \leq 28</math> <br>
Lok wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: <math>14 \leq t \leq 18 \ ; \ 28 \leq t \leq 30</math>
}}}}
'''d) Gib eine Schätzung für die Breite des Rangierbahnhofes an unter der Voraussetzung, dass die Lok zum   Zeitpunkt t = 7 die Bahnhofsgrenze erreicht hat.''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Strecke vom mittleren Signal bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 35m. <br>
Somit ergibt sich eine Bahnhofsbreitebreite von ca. 70m.
}}}}
'''e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der von der Lok zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. <br> Dabei ist die zurückgelegte Strecke vorwärts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse und die zurückgelegte Strecke rückwärts ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ''unterhalb'' der x-Achse!
}}}}
'''f) Befindet sich die Lok nach 30 Sekunden vor oder hinter dem Mittleren Signal?''' <br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ''oberhalb'' der x-Achse etwas größer ist als derjenige ''unterhalb'' der x-Achse, befindet sich die Lok vor von dem mittleren Signal.
}}}}
<br><br><br>
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</div>
<br>
{{Navigation Lernpfad Integral}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]