Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lernpfad-M|
 
{{Lernpfad-M|
Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen.
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Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik.  
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Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.
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Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt. Falls Sie bei diesem Thema noch etwas unsicher sind, können Sie [[Benutzer:Roland_Weber/E/Lineare_Funktionen | hier]] die Theorie zu linearen Funktionen noch einmal nacharbeiten.  
 
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[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]]
 
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]]
Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben. Ihre Aufzeichnungen werden am Ende der Reihe eingesammelt.
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Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.  
 
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{{Kurzinfo|gut}}
 
  
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==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
 
==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
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:{{versteckt|1=
 
{{Mathematik|
 
{{Mathematik|
 
Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
 
Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
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'''b)''' Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Geschwindigkeit des Anstiegs des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es  möglich, diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.
 
'''b)''' Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Geschwindigkeit des Anstiegs des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es  möglich, diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt <math>t = 3s</math> zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.
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==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
 
==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
 
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:{{versteckt|1=
 
''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''
 
''Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.''
 
{{Mathematik|
 
{{Mathematik|
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[[Media:AB Einstiegsaufgabe.pdf|Arbeitsblätter zu den Einstiegsaufgaben]]
 
[[Media:AB Einstiegsaufgabe.pdf|Arbeitsblätter zu den Einstiegsaufgaben]]
 
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==== Vorwissenstest ====
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{{Testen}}
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Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.
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<popup name="Testaufgaben">
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<div class="multiplechoice-quiz">
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1a)
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Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x+1. Welchen Wert hat f(3)? (!1) (!3) (!5) (7) (!9)
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1b) Die Rechenvorschrift <math>t(v) = \frac{100}{v}</math> gibt an, wie viele Stunden t man für 100 km bei einer bestimmten Geschwindigkeit v (in km/h) benötigt. Welchen Wert hat t(50)? (2) (!1) (!3) (!4) (!5) (!50) (!100)
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1c) Für die Rechenvorschrift aus 1b gilt: t(25) = 4. Was bedeutet das? (Für 100 km benötigt man 4 Stunden bei 25 km/h) (!Für 25 Kilometer benötigt man 1/4 Stunde bei 100 km/h) (!Für 4 Kilometer benötigt man 25 Sekunden bei 100 km/h)
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1d) Wenn man einen Gegenstand von z.B. einem Turm fallen lässt, kann die Fallstrecke s (in Meter) näherungsweise mit der Formel s(t) = 5t² beschrieben werden, wobei t die Fallzeit in Sekunden angibt. Um wie viel Meter fällt ein Gegenstand zwischen Sekunde 1 und 2? (15 Meter) (!5 Meter) (!10 Meter) (!20 Meter) (!25 Meter)
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</div>
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Wenn deine Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehe zu den weiteren Aufgaben. Wenn du weniger als 75% richtig hast, schaue dir das folgende Video an, bearbeite die Testaufgaben erneut und finde deine Fehler in den Testaufgaben:
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<popup name="Video">
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{{#widget:YouTube|id=HCl5PCBd9c8}}
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</popup>
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== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
 
== Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
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{{Zeit|60 Minuten}}
  
===== Blumenvase =====
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In diesem Abschnitt soll die erste Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft werden.  Sie üben, mittlere Änderungsraten zu bestimmen und damit momentane Änderungsraten anzunähern.
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==== Blumenvase ====
  
 
[[Datei:VaseFuellvorgang.jpg|130px]]
 
[[Datei:VaseFuellvorgang.jpg|130px]]
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|}
 
|}
  
'''Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.'''
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=== Mittlere Änderungsrate ===
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Die '''mittlere Änderungsrate''' gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.
  
 
''Bsp.''<br /> In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)<br /><br />
 
''Bsp.''<br /> In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)<br /><br />
  
 
{{Aufgaben-M|3|  
 
{{Aufgaben-M|3|  
Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner oder PC die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:<br />
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Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:<br />
 
a) in den ersten drei Sekunden<br />
 
a) in den ersten drei Sekunden<br />
 
b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
 
b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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a) 0,273 cm/s<br />
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b) 0,47 cm/s<br />
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c) 1,39 cm/s <br />
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d) 0,741 cm/s.<br />
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e) 0,948 cm/s<br />
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<popup name="ausführliche Rechnung">
 
a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.<br />
 
a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 0,273 cm/s.<br />
 
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.<br />
 
b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,47 cm/s.<br />
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e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
 
e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
 
</popup>
 
</popup>
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=== Momentane Änderungsrate ===
  
 
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{{Mathematik|
 
 
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.
 
Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.
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{{Aufgaben-M|4|  
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{{Aufgaben-M|4| 2=
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt <math>t = 12</math> Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des '''[http://tube.geogebra.org/student/m353065 Applets]''' und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
+
Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt t<sub>0</sub> = 12 Sekunden  zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des '''[http://tube.geogebra.org/student/m353065 Applets]''' und mit Hilfe des Taschenrechners die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...<br />
a) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 13</math> Sekunden<br />
+
a) ... t<sub>0</sub> = 12 Sekunden und t<sub>1</sub> = 13 Sekunden<br />
b) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,5</math> Sekunden<br />
+
b) ... t<sub>0</sub> = 12 Sekunden und t<sub>1</sub> = 12,5 Sekunden<br />
c) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,1</math> Sekunden<br />
+
c) ... t<sub>0</sub>= 12 Sekunden und t<sub>1</sub>= 12,1 Sekunden<br />
d) ... <math>t = 12</math> Sekunden und <math>t1 = 12,05</math> Sekunden<br />
+
d) ... t<sub>0</sub> = 12 Sekunden und t<sub>1</sub> = 12,05 Sekunden<br />
 
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />  
 
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />  
 
}}
 
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<br />
 
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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a) 1,261 cm/s.<br />
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b) 1,2302 cm/s<br />
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c) 1,206 cm/s<br />
 +
d) 1,204 cm/s<br />
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e) 1,2 cm/s<br />
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 +
<popup name="ausführliche Rechnung">
 
a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 13 die Höhe 9,261 cm hat. In der einen Sekunden ist es also um 9,261 - 8 cm = 1,261 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 1,261 cm/s.<br />
 
a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 13 die Höhe 9,261 cm hat. In der einen Sekunden ist es also um 9,261 - 8 cm = 1,261 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 1,261 cm/s.<br />
 
b) 8,6151 cm - 8 cm = 0,6151 cm => 0,6151 cm : 0,5 s = 1,2302 cm/s<br />
 
b) 8,6151 cm - 8 cm = 0,6151 cm => 0,6151 cm : 0,5 s = 1,2302 cm/s<br />
 
c) 1,206 cm/s<br />
 
c) 1,206 cm/s<br />
 
d) 1,204 cm/s<br />
 
d) 1,204 cm/s<br />
e) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.<br />
+
e) Der Wert scheint sich dem Wert 1,2 cm/s anzunähern; man sagt, der Wert ''strebt'' gegen 1,2 cm/s.<br />
 
</popup>
 
</popup>
  
 
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{{Aufgaben-M|5|  
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Wenn der Wasserstand als Funktion von der Zeit mit einer Funktionsvorschrift gegeben ist, kann man die mittleren Änderungsraten  auch rechnerisch bestimmen.
Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> beschrieben werden. Hierbei gibt <math>w(t)</math> die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt <math>t</math> (in Sekunden) an.<br />
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{{Aufgaben-M|5| 2=
 +
Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion w(t)=0,001(t+8)<sup>3</sup> beschrieben werden. Hierbei gibt w(t) die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt t (in Sekunden) an.<br />
 
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.<br />
 
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.<br />
 
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
 
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
 
}}
 
}}
 +
 +
<popup name="Hinweis">
 +
Die Höhe des Wasserstands zu einem Zeitpunkt kann bestimmt werden, indem der Zeitpunkt in die Funktionsvorschrift eingesetzt wird, z. B. wird der Wasserstand zu Zeitpunkt t=12 Sekunden bestimmt durch <math>w(12)=0,001(12+8)^3=0,001*20^3=8</math>.
 +
</popup>
 +
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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a) 1,20006 cm/s <br />
 +
 +
<popup name="ausführliche Lösung">
 
a)<br />  
 
a)<br />  
 
<math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
 
<math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
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</popup>
 
</popup>
 
<br />
 
<br />
 +
 +
{{Protokollieren|}}'''Hausaufgaben:'''
 +
 +
* Seite 155/6, Seite 156/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
 +
* Seite 40/6, Seite 41/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
 +
* Seite 41/2, Seite 45/1c, Seite 45/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
 +
 +
 +
<br>
 +
{{Testen}}
 +
<popup name="Testaufgaben">
 +
 +
<div class="multiplechoice-quiz">
 +
 +
1a)
 +
Mit 10 Jahren war Peter 141 cm groß. Mit 12 Jahren war er 149 cm. Mit welcher mittleren Änderungsrate ist Peter während der zwei Jahre gewachsen? (4 cm/Jahr) (!8 cm/Jahr) (!2 cm/Jahr) (!6 cm/Jahr) (!10 cm/Jahr)
 +
 +
1b) Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 gemäß der Formel s[t]=1,5t², wobei s[t] die zurückgelegte Strecke zu einem bestimmten Zeitpunkt t in Sekunden angibt. Sara möchte einen möglichst guten Näherungswert für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t=4 Sekunden berechnen. Welche beiden der folgenden Funktionswerte sollte sie dafür verwenden?  (s[4]) (!s[4,01]) (!s[4,05]) (!s[4,001]) (s[4,0001]) (!s[4,5])
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 +
1c) Beziehen sich die folgenden Aussagen auf die mittlere oder die momentane Änderungsrate?
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 +
"Ich bin mit 110km/h geblitzt worden, wo nur 80 km/h erlaubt waren!"
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(Momentane Änderungsrate) (!Mittlere Änderungsrate)
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"Unsere Sonnenblumen im Garten sind im letzten Monat durchschnittlich 1cm am Tag gewachsen."
 +
(!Momentane Änderungsrate) (Mittlere Änderungsrate)
 +
 +
"Bei unserer Hinfahrt zum Urlaub waren wir im Schnitt nur mit 80 km/h unterwegs, da die Autobahn so überfüllt war."
 +
(!Momentane Änderungsrate) (Mittlere Änderungsrate)
 +
 +
"Der ICE hat eine Höchstgeschwindigkeit von 330 km/h."
 +
(Momentane Änderungsrate) (!Mittlere Änderungsrate)
 +
 +
</div>
 +
Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
 +
<br>
 +
</popup>
 +
 +
<popup name="Lernziele">
 +
Ich kann mittlere Änderungsraten bestimmen, wenn die Werte in einer Wertetabelle vorliegen oder die Funktionsvorschrift gegeben ist. <br />
 +
Ich kann mit mittleren Änderungsraten die momentane Änderungsrate annähern.
 +
</popup>
 +
<br><br>
  
 
== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==
 
== Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==
 +
{{Zeit|60 Minuten}}
 +
In diesem Abschnitt soll die zweite Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft und verallgemeinert werden. Sie lernen und üben, Sekantensteigungen  und Tangentensteigungen zu bestimmen.
 +
 +
<br><br>
 +
==== Barringer-Krater ====
  
===== Barringer-Krater =====
 
{{Mathematik|
 
 
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
 
Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
 
<br>  
 
<br>  
Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math>  kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet, nennt man '''Sekante'''.
+
Die ''durchschnittliche'' Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math>  kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.  
 +
 
 +
 
 +
Eine solche  Gerade, die den Graphen einer Funktion k(x) in zwei Punkten <math>A\left( x_0 | k(x_0) \right)</math>  und <math>B\left( x_1 | k(x_1) \right)</math> schneidet, nennt man '''Sekante'''.
 
<br>
 
<br>
 
<br><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
 
<br><math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
}}
+
 
 
<br>
 
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}}
 
}}
  
<br>
 
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
 
[http://tube.geogebra.org/student/m353147 Lösung mit Beschriftung]
 
[http://tube.geogebra.org/student/m353147 Lösung mit Beschriftung]
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{{Mathematik|
 
{{Mathematik|
 
<big>'''Information'''</big><br>
 
<big>'''Information'''</big><br>
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
+
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
 +
Wenn die Steigung der Tangenten positiv ist, steigt der Graph, wenn sie negativ ist, bedeutet dies, dass der Graph in diesem Punkt fällt.
 
}}
 
}}
 
<br>
 
<br>
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<br>  
 
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 +
  
 
Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.
 
Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.
 +
 +
<br><br>
  
 
==== Verallgemeinerung ====  
 
==== Verallgemeinerung ====  
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c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
 
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
 
}}
 
}}
 +
[[Benutzer:Roland_Weber/E/Lineare_Funktionen | Bei Bedarf: Materialien zum Wiederholen der Bestimmung von Steigungen]]
  
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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{{Mathematik|
 
<big>'''Information'''</big><br>
 
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir noch eine andere Schreibweise:
 
<br>
 
Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
 
}}
 
 
<br>
 
<br>
  
{{Aufgaben-M|11|
+
{{Aufgabe-M|
a) Überlegen Sie, wo in der folgenden '''[http://tube.geogebra.org/student/m353107 Zeichnung]''' die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
+
{{Protokollieren|}}'''Hausaufgaben'''
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt  A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>+h)) gehen soll.<br>
+
 
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
+
a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> in Punkten A(3<nowiki>|</nowiki> 9) und B(-2<nowiki>|</nowiki> 4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.<br>
 +
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> in Punkten A(3<nowiki>|</nowiki> 9) und B(-2<nowiki>|</nowiki> 4) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a. <br>
 +
c) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=3 x^2+2</math> im Punkt A(2<nowiki>|</nowiki> f(2)).
 
}}
 
}}
 +
 +
<popup name="Lösung">
 +
a) Die Steigungen sind ungefähr  6 und -4.<br>
 +
b) Die Steigungen sind 6 und -4.<br>
 +
c) Die Steigung ist 12.
 +
</popup>
  
 
<br>
 
<br>
 +
{{Aufgabe-M|
 +
{{Differenzieren|Übungen für Fortgeschrittene}}
 +
a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> in Punkten A(1<nowiki>|</nowiki> f(1)) und B(-0,5<nowiki>|</nowiki> f(-0,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.<br>
 +
b)  Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> in Punkten A(1<nowiki>|</nowiki> f(1)) und B(-0,5<nowiki>|</nowiki> f(-0,5)) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a. <br>
 +
}}
  
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
{{untersuchen|}} Vollziehen Sie im [http://tube.geogebra.org/student/m353201 Applet] den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
+
a) Die Steigungen sind ungefähr  -1 und -4.<br>
 
+
b) Die Steigungen sind -1 und -4.<br>
 +
</popup>
  
 
<br>
 
<br>
  
Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
+
{{Testen}}
 +
<popup name="Testaufgaben">
  
<br>
+
<div class="multiplechoice-quiz">
  
Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
+
1a)
</popup>
+
Welchen Wert hat <math>\Delta x</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (2) (!3) (!5) (!8) (!9)
  
<br><br>
+
1b)
 +
Welchen Wert hat <math>\Delta y</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x=1 und x=3? (!1) (!2) (!3) (!5) (8) (!9)
  
{{Aufgaben-M|12|
+
1c) Was gibt <math>\Delta y </math> in 1b) an?
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
+
(Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen 1 und 3 verändert.)(!Die Funktionswerte an den Stellen 1 und 3.)  (!Die Stellen für die Funktionswerte 1 und 3.) (!Die durchschnittliche Veränderung des Funktionswertes zwischen den Stellen 1 und 3.)
  
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
+
1d) Ein Teilstück einer Achterbahn kann mit der Funktion h[x]=0,2x³+x beschrieben werden. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden?  (<math>\frac{h[2,0001]-h[2]}{2,0001-2}</math>) (!<math>\frac{2,0001-2}{h[2,0001]-h[2]}</math>) (!<math>\frac{h[2,001]-h[2]}{2,001-2}</math>)(!<math>\frac{2,001-2}{h[2,001]-h[2]}</math>) (!<math>\frac{h[2,01]-h[2]}{2,01-2}</math>)(!<math>\frac{2,01-2}{h[2,01]-h[2]}</math>)
  
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
+
</div>
}}
+
Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
<br>
+
<popup name="Lösung">
+
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
+
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
+
<br>
+
{| class="wikitable"
+
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
+
|-
+
| 0 || 1|| 2 || 3
+
|-
+
| 1 || 0,1 || 1,1 || 2,1
+
|-
+
| 2 || 0,01 || 1,01 || 2,01
+
|-
+
| 3 || 0,001 || 1,001 || 2,001
+
|-
+
| 4 || 0,0001 || 1,0001 || 2,0001
+
|-
+
| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
+
|}
+
 
</popup>
 
</popup>
<br>
+
<popup name="Lernziele">
{{Differenzieren|Übungen für Fortgeschrittene}}
+
Ich kann Sekanten und Tangenten an Graphen von Funktionen zeichnen und ihre Steigungen aus der Zeichnung bestimmen.<br>
{{Aufgaben-M|13|
+
Ich kann bei gegebener Funktionsvorschrift rechnerisch Sekantensteigungen bestimmen und damit Tangentensteigungen annähern.
a) Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe  einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math> im Punkt A(3<nowiki>|</nowiki> 9).<br>
+
b)  Bestimmen Sie wie in der vorherigen Aufgabe  einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an der Graphen der Funktion f mit <math>f(x)=3 x^2+2</math> im Punkt A(2<nowiki>|</nowiki> f(2)).
+
}}
+
 
+
<br>
+
<popup name="Lösung">
+
a) Die Steigung ist 6.<br>
+
b) Die Steigung ist 12.
+
 
</popup>
 
</popup>
  
<br />
+
<br><br>
<br />
+
  
== Differenzenquotient ==
+
== Der Differenzenquotient ==
 +
{{Zeit|10 Minuten}}
  
{{Aufgaben-M|14|  
+
{{Aufgaben-M|11|  
 
Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.
 
Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.
 
}}
 
}}
Zeile 360: Zeile 460:
 
<br />
 
<br />
  
== Differentialquotient ==
+
== Der Differentialquotient ==
{{Mathematik|
+
{{Zeit|15 min}}
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <big>'''Information'''</big><br>
+
 
 +
{{Merke|
 
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:
 
Der Differentialquotient  f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:
  
Zeile 380: Zeile 481:
 
können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.
 
können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.
  
 +
{{Protokollieren|}}'''Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.'''
 +
 +
 +
{{Aufgaben-M|12|
 +
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
 +
}} 
  
 
<br>
 
<br>
{{Protokollieren|
+
{{Testen}}
<big>'''Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.'''</big>
+
<popup name="Testaufgaben">
 +
<div class="zuordnungs-quiz">
 +
<big>'''Aufgabe 1'''</big><br>
 +
Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu.
 +
{|
 +
| Differenzenquotient || Sekantensteigung || Durchschnittsgeschwindigkeit  || mittlere Änderungsrate  || <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>|| <math>\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math>
 +
|-
 +
| Differentialquotient || Tangentensteigung || Momentangeschwindigkeit || <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} </math> || momentane Änderungsrate
 +
|}
 +
</div>
 +
Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit nocheinmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen.
 +
</popup>
 +
<popup name="Lernziele anzeigen">
 +
Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären.
 +
Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern  kann.
 +
</popup>
 +
 
 +
<br><br>
 +
 
 +
== Die Ableitungsfunktion ==
 +
{{Zeit|20 Minuten}}
 +
 
 +
Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.
 +
 
 +
Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die '''Ableitungsfunktion f' '''.
 +
 
 +
 
 +
{{Aufgaben-M|13|2=
 +
a) Auf dem ausliegenden [[Media:Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion.pdf|Arbeitsblatt]] ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x<sup>2</sup> gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Legen Sie nun eine Tabelle an, in der Sie die x-Werte und die zugehörigen Werte der Tangentensteigung eintragen. Die Werte dieser Tabellen übertragen Sie in ein neues Koordinatensystem; dies ist der Graph  der  Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.<br>
 +
b) Auf der zweiten Seite des ausliegenden [[Media:Graphische Bestimmung der Ableitungsfunktion.pdf|Arbeitsblatt]] ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x<sup>3</sup> gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Zeichnen Sie nun in einem neuen Koordinatensystem den Graphen der  Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.<br>
 +
c) {{Kommunizieren|}}Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Gruppe.
 
}}
 
}}
 +
 
<br>
 
<br>
 +
{{Protokollieren|}}'''Hausaufgaben:'''
 +
 +
* Seite 132/1, Seite 132/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
 +
* Seite 50/1, Seite 50/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
 +
* Seite 52/2, 52/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
 +
 +
{{Differenzieren|}}'''Übungen für Fortgeschrittene:'''
 +
 +
* Seite 132/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
 +
* Seite 50/2 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
 +
* Seite 52/5, 52/6 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
 +
 +
 +
<br>
 +
 +
{{Testen}}
 +
<popup name="Lernziele">
 +
Ich kann den Graphen der Ableitungsfunktion skizzieren, wenn der Graph der Funktion gegeben ist.
 +
</popup>
 +
 +
<br><br>
 +
 +
== Die h-Schreibweise ==
 +
{{Zeit|90 Minuten}}
 +
 +
Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.
 +
 +
<br><br>
 +
 +
=== Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten ===
 +
 +
Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
 +
 +
<br>
 +
 +
{{Aufgaben-M|14|
 +
a) Überlegen Sie, wo in der folgenden '''[http://tube.geogebra.org/student/m353107 Zeichnung]''' die Größen <math>h</math>, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.<br>
 +
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt  A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und den Punkt B(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>+h)) gehen soll.<br>
 +
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
 +
}}
 +
 +
 +
<popup name="Lösung">
 +
{{untersuchen|}} Vollziehen Sie im [http://tube.geogebra.org/student/m353201 Applet] den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
 +
 +
 +
<br>
 +
 +
Sekantensteigung: <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
 +
 +
<br>
 +
 +
Wenn man h<nowiki>=</nowiki> 0 setzt, würde man durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
 +
</popup>
  
 
<br><br>
 
<br><br>
  
 
{{Aufgaben-M|15|
 
{{Aufgaben-M|15|
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
+
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
}} 
+
  
 +
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
  
{{Mathematik|
+
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 9 und 10.
'''Andere Schreibweise des Differentialquotienten:<br>
+
Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch jetzt wieder die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.  
+
 
}}
 
}}
 
<br>
 
<br>
 +
<popup name="Lösung">
 +
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
 +
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
 +
<br>
 +
{| class="wikitable"
 +
!'''n''' !! '''h'''  !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
 +
|-
 +
| 0 || 1|| 2 || 3
 +
|-
 +
| 1 || 0,1 || 1,1 || 2,1
 +
|-
 +
| 2 || 0,01 || 1,01 || 2,01
 +
|-
 +
| 3 || 0,001 || 1,001 || 2,001
 +
|-
 +
| 4 || 0,0001 || 1,0001 || 2,0001
 +
|-
 +
| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
 +
|}
 +
</popup>
 +
<br>
 +
 
{{Aufgaben-M|16|
 
{{Aufgaben-M|16|
 
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten  den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
 
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten  den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
Zeile 411: Zeile 623:
  
  
{{untersuchen|}} Vergleichen Sie das [http://tube.geogebra.org/student/m686259 Applet ] mit dem vorherigen Applet und untersuchen Sie die Veränderungen.
+
{{untersuchen|}} Vergleichen Sie das [http://tube.geogebra.org/student/m686259 Applet ] mit dem Applet aus Aufgabe ? und untersuchen Sie die Veränderungen.
 
</popup>
 
</popup>
  
 
<br /><br />
 
<br /><br />
  
Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) berechnen.
+
=== Die Berechnung von Ableitungen ===
 +
Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x<sub>0</sub>) einer Funktion f an einer Stelle x<sub>0</sub> berechnen.
  
 
{{Aufgaben-M|17|
 
{{Aufgaben-M|17|
Zeile 425: Zeile 638:
 
<br>
 
<br>
  
== Ableitungsfunktion ==
+
 
 
{{Mathematik|
 
{{Mathematik|
 
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]] <big>'''Beispielaufgabe:'''</big><br>
 
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]] <big>'''Beispielaufgabe:'''</big><br>
Zeile 450: Zeile 663:
 
}}
 
}}
  
<br>
+
 
 
{{Aufgaben-M|18|
 
{{Aufgaben-M|18|
# Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
+
# Bestimmen Sie mit Hilfe des [http://tube.geogebra.org/student/m716531 Applets], wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
# Welche Bedeutung haben die beiden allgemeinen Terme aus der Beispielaufgabe  und Teilaufgabe 1. jeweils?
+
# Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.
 +
}}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{{Aufgabe-M|
 +
{{Differenzieren|Übung für Fortgeschrittene}}
 +
Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t<nowiki>=</nowiki>t<sub>0</sub>.
 +
}}
 +
 
 +
<br>
 +
{{Aufgaben-M|19|
 
# Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
 
# Variieren Sie die Stelle x<sub>0</sub> im [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Applet] und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
 
# Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
 
# Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.
<br>[[File:Farm-Fresh plenum.png|Farm-Fresh plenum]]'''Plenumsphase'''
 
 
}}
 
}}
  
 
<br><br>
 
<br><br>
  
{{Mathematik|
+
{{Merke|
[[Datei:Nuvola_Icon_Kate.png|40px]] <big>'''Information'''</big><br>
+
Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x<sub>0</sub> ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man eine '''Funktion f´(x)''', die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte '''Ableitungsfunktion'''.<br>
+
 
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
 
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.
 
}}
 
}}
Zeile 469: Zeile 691:
 
<br>
 
<br>
  
{{Aufgaben-M|19|
+
{{Protokollieren|}}'''Hausaufgabe:''' Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x<sup>2</sup>+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x<sub>0</sub>.
# Bestimmen Sie mit Hilfe des [http://tube.geogebra.org/student/m716531 Applets], wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
+
# Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.
+
 
+
}}
+
 
<br>
 
<br>
 
+
<popup name="Lösung">
 +
f'(2)=12 und f'(x<sub>0</sub>)=6x<sub>0</sub>
 +
</popup>
 
<br>
 
<br>
  
==Üben und Vertiefen==
+
===Üben und Vertiefen===
 +
 
 +
Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der {{Differenzieren|}}gibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.
 +
 
 
{{Aufgaben-M|20|
 
{{Aufgaben-M|20|
{{Differenzieren|}}'''Aufgaben zum Trainieren'''<br>
+
{{Differenzieren|}}
Bearbeiten Sie folgenden Aufgaben zunächst in Einzelarbeit. Vergleichen Sie dann die Ergebnisse mit Ihrem Teampartner.
+
* Seite 133/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 45 Aufgabe 1 (Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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* Seite 51/4b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
* Seite 45 Aufgabe 2 (Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4 )
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* Seite 48/3b (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)  
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* Seite 133/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
* Seite 45 Aufgabe 3 (Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien, Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4 )
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* Seite 51/4c (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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* Seite 52/4 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)  
 
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* Seite 51/5a (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
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* Seite 48/10 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)
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1) Ordnen Sie die Formeln richtig den  Oberbegriffen zu.
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{|
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| Differenz der x-Werte || <math>\Delta x</math> || <math>x_1-x_0</math> || h
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|-
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| Differenz der Funktionswerte || <math>\Delta y</math> || <math>f(x_1)-f(x_0)</math> || <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math>
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|}
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2a)
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Welchen Wert hat h für die Funktion f(x)=x² im Intervall zwischen x<sub>0</sub>=1 und x<sub>1</sub>=1,1? (!1) (0,1) (!2) (!1,1) (!3) (!0,01) (!2,1)
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2b)
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Welchen Wert hat <math>f[x_0+h]</math> für die Funktion f(x)=x² im Intervall für x<sub>0</sub>=2 und h=0,1? (!2) (!4) (!1) (!0,01) (4,41) (!4,1) (!2,1) (!0,1) (!4,01)
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2c) Was gibt h in der Formel <math>m=\frac{f[x_0+h]-f[x_0]}{h}</math> an?
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(!Um wie viele Einheiten sich der Funktionswert zwischen den Stellen x<sub>0</sub> und  x<sub>0</sub>+h verändert.)(!Die Differenz der Funktionswerte.)  (Die Differenz der x-Werte.) (!Die Steigung.)
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2d) Wir betrachten die Funktion f[x]=0,2x³+x. Mit welcher Berechnung kann die Tangentensteigung an der Stelle x=2 am besten angenähert werden?  (<math>\frac{f[2,0001]-f[2]}{0,0001}</math>) (!<math>\frac{0,0001}{f[2,0001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,001]-f[2]}{0,001}</math>)(!<math>\frac{0,001}{f[2,001]-f[2]}</math>) (!<math>\frac{f[2,01]-f[2]}{0,01}</math>)(!<math>\frac{0,01}{f[2,01]-f[2]}</math>)
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Wenn Ihre Lösungsrate mindestens 75% beträgt, gehen Sie zu den weiteren Aufgaben. Wenn Sie weniger als 75% richtig haben, überprüfen Sie genau Ihre Fehler und versuchen Sie zu verstehen, was Sie falsch gemacht haben.
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Ich kann die Ableitungsfunktionen für quadratische Funktionen und kubische Funktionen mit Hilfe des Grenzprozesses des Übergangs vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten berechnen.
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== Zum Abschluss ==
 
{{Untersuchen|}}{{Begründen|}}Betrachten Sie  noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:
 
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* Was waren die Problemstellungen?
 
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* Was waren die ersten Lösungsansätze?
 
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* Wie sieht die mathematische Lösung aus?
 
* Wie sieht die mathematische Lösung aus?
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Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs ''Medienvielfalt im Mathematikunterricht'', Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.
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Der hier vorliegende Lernpfad ist eine überarbeitete Version. Die Original-Version, auf die sich der Abschnitt des Buchs bezieht, ist [[Mathematik-digital/Einführung_in_die_Differentialrechnung/Originalversion| hier]] zu finden.}}
  
[[Mathematik-digital/Einführung_in_die_Differentialrechnung/Originalversion| hier]]
 
  
  

Version vom 7. Januar 2016, 19:11 Uhr

Mathematik-digital Pfeil-3d.png
Lernpfad

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden bereits vielfach Funktionen und deren Wertetabellen und Graphen betrachtet. Allerdings wurde das Änderungsverhalten von Funktionen bisher nur eingeschränkt untersucht, obwohl es eine essentielle Eigenschaft von Funktionen ist. Am Ende des 17. Jahrhunderts gingen Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton der mathematischen Bestimmung des Änderungsverhaltens von Funktionen genauer nach und entwickelten Ideen, auf deren Grundlage die Differentialrechnung entwickelt wurde. Die Differentialrechnung war ein wichtiger Baustein in der Weiterentwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften und ist heute eine unverzichtbare Methode in der Mathematik. Im folgenden Lernpfad lernen Sie die Ideen von Leibniz und Newton kennen. Sie lernen dabei die grundlegenden Begriffe der Differentialrechnung wie mittlere und momentane Änderungsrate, Steigung, Sekante, Tangente, Differenzenquotient, Differentialquotient und Ableitung kennen.
Zur erfolgreichen Bearbeitung sollten Sie vertraut mit der Theorie der linearen Funktionen sein. Sie sollten insbesondere wissen, was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie bestimmt. Falls Sie bei diesem Thema noch etwas unsicher sind, können Sie hier die Theorie zu linearen Funktionen noch einmal nacharbeiten.

Nuvola Icon Kate.png Zur Dokumentation Ihres Lernprozesses sollen Sie die Aufgaben des Lernpfades in einer Mappe oder einem Heft nachvollziehbar aufschreiben.




Inhaltsverzeichnis

Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase

Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.


Nuvola apps edu science.png   Experiment

Skizzieren Sie zunächst einen möglichen Verlauf des Füllgraphen für die Gefäße in ein Koordinatensystem. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründen Ihre Skizze.

Mit dem folgenden Experiment können Sie Ihre Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollen Sie gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit übertragen Sie danach vom Arbeitsblatt in die untenstehende GeoGebra-Tabelle.


GeoGebra-Tabelle erstellen

Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, können Sie sich die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markieren Sie als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü Erzeuge - Liste von Punkten ausgewählt werden, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.



Stift.gif   Aufgabe 1

a) Vergleichen Sie die Versuchsdaten mit ihren Skizzen und beschreiben den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?

b) Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Geschwindigkeit des Anstiegs des Wasserspiegels untersucht werden. Ist es möglich, diese Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 3s zu ermitteln? Begründen Sie ihre Antwort kurz.



Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater

Die Idee zu dieser Aufgabe entstammt dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis Leistungskurs Gesamtband, Ausgabe A, Klett Verlag, Stuttgart 2001, ISBN 3127321805.

Barrington-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. Der Krater hat einen Durchmesser von bis zu 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An einer sehr flachen Stelle kann der Teilquerschnitt des Kraters bis zum Rand durch die Funktion k(x)=0,002x^2 für 0 \leq x \leq 300 beschrieben werden.

LP Krater.png


Stift.gif   Aufgabe 2

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 115% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?


Arbeitsblätter zu den Einstiegsaufgaben



Vorwissenstest

Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 

Vor der Bearbeitung der weiteren Aufgaben sollten Sie in einem kurzen Vorwissenstest überprüfen, ob Sie mit für die weitere Arbeit benötigten Rechnungen vertraut genug sind.



Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Nuvola apps ktimer.png 60 Minuten 


In diesem Abschnitt soll die erste Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft werden. Sie üben, mittlere Änderungsraten zu bestimmen und damit momentane Änderungsraten anzunähern.



Blumenvase

VaseFuellvorgang.jpg

In der Einstiegsaufgabe haben Sie in Gefäßen gleichmäßig Wasser eingelassen und die Höhe des Wasserstandes gemessen. Betrachten wir nun die abgebildete Vase, in die ebenfalls gleichmäßig Wasser eingelassen wird. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (hier gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert. Im Gegensatz zum Vorgehen zur Einstiegsaufgabe wurde nun alle drei Sekunden die Höhe des Wasserstandes gemessen.

Zeit (Sekunden) Höhe (cm)
0 0,51
3 1,33
6 2,74
9 4,91
12 8,00
15 12,17
18 17,58



Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.

Bsp.
In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)

Stift.gif   Aufgabe 3

Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:
a) in den ersten drei Sekunden
b) zwischen Sekunde 3 und 6
c) zwischen Sekunde 12 und 15
d) zwischen Sekunde 3 und 12
e) in den ersten 18 Sekunden





Momentane Änderungsrate


Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der momentanen Änderungsrate. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in der folgenden Aufgabe.


Stift.gif   Aufgabe 4

Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für den Zeitpunkt t0 = 12 Sekunden zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall von ...
a) ... t0 = 12 Sekunden und t1 = 13 Sekunden
b) ... t0 = 12 Sekunden und t1 = 12,5 Sekunden
c) ... t0= 12 Sekunden und t1= 12,1 Sekunden
d) ... t0 = 12 Sekunden und t1 = 12,05 Sekunden
e) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - d), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.



Wenn der Wasserstand als Funktion von der Zeit mit einer Funktionsvorschrift gegeben ist, kann man die mittleren Änderungsraten auch rechnerisch bestimmen.

Stift.gif   Aufgabe 5

Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion w(t)=0,001(t+8)3 beschrieben werden. Hierbei gibt w(t) die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt t (in Sekunden) an.
a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.
b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.


Nuvola apps kwrite.png   Hausaufgaben:

  • Seite 155/6, Seite 156/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
  • Seite 40/6, Seite 41/7 (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
  • Seite 41/2, Seite 45/1c, Seite 45/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)



Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 



Von der Sekanten- zur Tangentensteigung

Nuvola apps ktimer.png 60 Minuten 

In diesem Abschnitt soll die zweite Einstiegsaufgabe, die Sie im Unterricht bearbeitet haben, vertieft und verallgemeinert werden. Sie lernen und üben, Sekantensteigungen und Tangentensteigungen zu bestimmen.



Barringer-Krater

Um entscheiden zu können, ob das Raumfahrzeug aus dem Krater kommt, benötigen wir die Steigung des Kraters am Rand des Kraters.
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) kann mit  m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.


Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion k(x) in zwei Punkten A\left( x_0 | k(x_0) \right) und B\left( x_1 | k(x_1) \right) schneidet, nennt man Sekante.

 m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0} ist dann die Sekantensteigung.



Stift.gif   Aufgabe 6

Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: x_1-x_0 und k(x_1)-k(x_0)

Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)


Stift.gif   Aufgabe 7

Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(300|180) und B(400|320), wenn man sich das Kraterprofil über den Wert x0 hinaus fortgesetzt denkt.




Information
Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade (lokal) den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an. Wenn die Steigung der Tangenten positiv ist, steigt der Graph, wenn sie negativ ist, bedeutet dies, dass der Graph in diesem Punkt fällt.


In der Graphik der Lösung der Aufgabe 6 kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Stift.gif   Aufgabe 8

Vollziehen Sie den beschriebenen Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.

Berechnen Sie die Steigungen verschiedener Sekanten mit Hilfe der Werte, die Sie für \Delta x und \Delta y aus dem Applet entnehmen können.

Was können Sie nun über die Steigung im Punkt A sagen?


Um zu entscheiden, ob das Fahrzeug aus dem Krater heraus kommt, muss ein genauer Wert für die Steigung der Tangenten an den Graphen im Punkt A betrachtet werden. Wenn die Steigung des Kraters im Punkt A(300|180) kleiner als 1,15 ist, kann das Raumfahrzeug den Krater verlassen.



Die weiteren Betrachtungen führen wir nun etwas allgemeiner auch für andere Funktionen durch, bevor wir die Steigung im Punkt A des Kraters tatsächlich berechnen.



Verallgemeinerung

Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.

Stift.gif   Aufgabe 9

Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit  f(x)=x^2 gezeichnet.
a) Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
b) Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und C(1,5|f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
c) Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1|1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.

Bei Bedarf: Materialien zum Wiederholen der Bestimmung von Steigungen




Stift.gif   Aufgabe 10

Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit f(x)=x^2.
a) Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte x_0=1 und x_1=2 mit Hilfe der Formel m=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
b) Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1|1) an den Graphen besser an, indem Sie für x1 einen Wert wählen, der näher an x0 liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
c) Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.





Stift.gif   Aufgabe

Nuvola apps kwrite.png   Hausaufgaben

a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=x^2 in Punkten A(3| 9) und B(-2| 4) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.
c) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=3 x^2+2 im Punkt A(2| f(2)).


Stift.gif   Aufgabe

Nuvola apps kcmdrkonqi.png Übungen für Fortgeschrittene 

a) Zeichnen Sie Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x} in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung die Steigungen dieser Geraden.
b) Bestimmen Sie wie in Aufgabe 10 Näherungswerte für die Steigungen der Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x} in Punkten A(1| f(1)) und B(-0,5| f(-0,5)) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a.


Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 



Der Differenzenquotient

Nuvola apps ktimer.png 10 Minuten 


Stift.gif   Aufgabe 11

Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.


Farm-Fresh plenumPlenumsphase



Der Differentialquotient

Nuvola apps ktimer.png 15 min 


Maehnrot.jpg
Merke:

Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten:

Differentialquotient  f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.


Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.


Im Applet können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen.

Nuvola apps kwrite.png   Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.


Stift.gif   Aufgabe 12

Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.


Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 



Die Ableitungsfunktion

Nuvola apps ktimer.png 20 Minuten 


Man kann nun zu jedem x-Wert den Differentialquotienten f'(x) bestimmen.

Ordnet man jedem x -Wert den zugehörigen Wert der Ableitung f'(x) zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f' .


Stift.gif   Aufgabe 13

a) Auf dem ausliegenden Arbeitsblatt ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x2 gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Legen Sie nun eine Tabelle an, in der Sie die x-Werte und die zugehörigen Werte der Tangentensteigung eintragen. Die Werte dieser Tabellen übertragen Sie in ein neues Koordinatensystem; dies ist der Graph der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
b) Auf der zweiten Seite des ausliegenden Arbeitsblatt ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x3 gegeben. Zeichnen Sie an mehreren Stellen die Tangenten an den Graphen der Funktion und bestimmen Sie deren Steigungen. Zeichnen Sie nun in einem neuen Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion. Stellen Sie eine Vermutung für die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion auf.
c) Nuvola apps ksirc.png   Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit einer anderen Gruppe.


Nuvola apps kwrite.png   Hausaufgaben:

  • Seite 132/1, Seite 132/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik 1, Hessen, Cornelsen-Verlag 2009, ISBN 978-3-464-57449-2) bzw.
  • Seite 50/1, Seite 50/3a,b (Bigalke-Köhler, Mathematik Band 1, Analysis, Cornelsen-Verlag 2007, ISBN 978-3-06-000478-2) bzw.
  • Seite 52/2, 52/3 (Lambacher-Schweizer, Mathematik Leistungskurs, Klett-Verlag 2011, ISBN 978-3-12-735601-4)

Nuvola apps kcmdrkonqi.png   Übungen für Fortgeschrittene:



Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 



Die h-Schreibweise

Nuvola apps ktimer.png 90 Minuten 


Da sich dadurch einige Rechungen später einfacher gestalten lassen, betrachten wir in diesem Abschnitt noch eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten.



Die h-Schreibweise des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten

Anstatt beim Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz h=\Delta x=x_1-x_0 klein werden lassen. Es ist dann  x_1=x_0+h.


Stift.gif   Aufgabe 14

a) Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x_0+h, f(x_0+h), f(x_0+h)-f(x_0) zu finden sind.
b) Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch den Punkt A(x0| f(x0)) und den Punkt B(x0+h| f(x0+h)) gehen soll.
c) Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h= 0 setzen würde.




Stift.gif   Aufgabe 15

Gegeben ist wieder die Funktion f mit  f(x)=x^2.

Berechnen Sie für h = 0,1 (h= 0,01 und h = 0,001) die Steigung der Sekanten für x_0= 1 und x_1= 1+h . (Sie können hierzu die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners verwenden; schreiben Sie dazu h=0,1^n mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)

Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1|1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 9 und 10.



Stift.gif   Aufgabe 16

Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x1 durch x0+h.



Die Berechnung von Ableitungen

Mit Hilfe dieser h-Schreibweise des Differentialquotienten kann man die Ableitung f'(x0) einer Funktion f an einer Stelle x0 berechnen.

Stift.gif   Aufgabe 17

Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben. Schreiben Sie die Rechnungen auch in Ihr Heft.




Farm-Fresh plenum Beispielaufgabe:
Betrachtet wird die Funktion k(x)=0,002x^2 (die in der Einstiegsaufgabe die Höhes des Kraters beschreibt).

  • Die Ableitung an der Stelle x=100 wird wie folgt berechnet:
  • Ganz analog lässt sich die Ableitung auch für eine beliebige Stelle x=x0 bestimmen:


Stift.gif   Aufgabe 18
  1. Bestimmen Sie mit Hilfe des Applets, wie weit das Fahrzeug im Barringer-Krater kommt.
  2. Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsfunktion aus der vorherigen Aufgabe, wie weit das Fahrzeug kommt.


Stift.gif   Aufgabe

Nuvola apps kcmdrkonqi.png Übung für Fortgeschrittene 

Bestimmen Sie wie in der Beispielaufgabe die Ableitung für die die Funktion w(t)=0,001(t+8)^3 (die in der Einstiegsaufgabe die Wasserhöhe in der Vase beschreibt) zum Zeitpunkt t=5s und für einen bliebigen Zeitpunkt t=t0.


Stift.gif   Aufgabe 19
  1. Variieren Sie die Stelle x0 im Applet und beschreiben Sie die Bedeutung der sich ergebenden Ortslinie.
  2. Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösungen.



Maehnrot.jpg
Merke:

Die Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für eine bestimmte Stelle x0 ergibt die Ableitung an dieser Stelle. Wird diese Berechnung für eine allgemeine Stelle x durchgeführt, so erhält man die Funktion f´(x), die jeder Stelle x die Ableitung an der Stelle zuordnet – die sogenannte Ableitungsfunktion.
Mithilfe der Ableitungsfunktion lässt sich die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle bzw. die Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt schnell berechnen.


Nuvola apps kwrite.png   Hausaufgabe: Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x)=3x2+1 an der Stelle x=2 und an der Stelle x0.


Üben und Vertiefen

Bearbeiten Sie zwei der drei Aufgaben. Die Anzahl der Nuvola apps kcmdrkonqi.png   gibt den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben an.

Stift.gif   Aufgabe 20

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Stift.gif   Aufgabe 21

Nuvola apps kcmdrkonqi.png   Nuvola apps kcmdrkonqi.png  


Stift.gif   Aufgabe 22

Nuvola apps kcmdrkonqi.png   Nuvola apps kcmdrkonqi.png   Nuvola apps kcmdrkonqi.png  



Nuvola apps korganizer.png Teste Dein Wissen! 



Zum Abschluss

Nuvola apps xmag.png   Nuvola apps ktip.png  Betrachten Sie noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben und bearbeiten Sie schriftlich folgende Fragen:

  • Was waren die Problemstellungen?
  • Was waren die ersten Lösungsansätze?
  • Wie sieht die mathematische Lösung aus?




Nuvola apps korganizer.png   Schätzen Sie Ihren aktuellen Lernstand anhand des ausliegenden Selbsteinschätzungsbogen ein.




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Entstanden unter Mitwirkung von:

Die didaktischen Gestaltungselemente dieses Lernpfad werden im Abschnitt 8 des Buchs Medienvielfalt im Mathematikunterricht, Jürgen Roth, Evelyn Süss-Stepancik, Heike Wiesner (Hrsg.), Springer Spektrum 2015, ISBN 978-3-658-06448-8 beschrieben.

Der hier vorliegende Lernpfad ist eine überarbeitete Version. Die Original-Version, auf die sich der Abschnitt des Buchs bezieht, ist hier zu finden.