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Exponential- und Logarithmusfunktionen

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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu Exponential- und Logarithmusfunktionen!

In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den Exponential- und Logarithmusfunktionen auseinandersetzen.

Kompetenzen

Du kennst bereits:

  • verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...),
  • lineare Funktionen allgemein und abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen sowie
  • Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x- und auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x- und y-Achse sowie Spiegelungen an der x- und y-Achse).

Nach Bearbeitung dieses Pfades:

  • kannst du wichtige Eigenschaften der Exponential- und Logarithmusfunktionen erläutern.
  • weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
  • weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse strecken bzw. stauchen sowie an der x- und y-Achse spiegeln kannst.
  Und nun ....


Viel Spaß beim Bearbeiten!!


Kurzinfo
mathematik-digital
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Inhaltsverzeichnis

Infos vor Beginn

1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.

Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

  • Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
  • An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
  • Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
  • Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?

3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung


2) Allgemeine Hinweise:

  • Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
  • Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
  • Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
  • Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.



Exponentialfunktionen

Definition der Exponentialfunktionen

Bevor es richtig losgeht, zuerst einmal eine allgemeine Definition der Exponentialfunktion, damit du überhaupt weißt, worum es im Folgenden gehen soll:

Definition

Eine Funktion der Form f(x) = b^x mit b\in R für b > 0 und b \neq 1 heißt Exponentialfunktion.


Falls du in der Klasse 9 noch keine Exponentialfunktionen untersucht hast, eine kurze Info: Im Unterschied zu allen anderen Funktionen, die du bisher kennen gelernt hast, steht das x bei Exponentialfunktionen im Exponenten. Solche Funktionen dienen der Beschreibung von Prozessen in der Natur und der Gesellschaft, wie z. B. dem Wachstum von Bakterienkulturen, zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums oder auch zur Beschreibung von radioaktivem Zerfall. Eine bestimmte Ausgangsgröße wächst oder fällt dabei pro Zeitabschnitt jeweils um den gleichen Faktor a - ein Beispiel: Eine Bakterienkultur mit anfangs 50 Bakterien wächst stündlich um den Faktor 2 (= verdoppelt sich stündlich), d. h. nach einer Stunde hat sich die Bakterienmenge auf 100 Bakterien, nach 2 Stunden auf 200, nach 3 Stunden auf 400 und nach 4 Stunden auf 800 Bakterien vergrößert.

Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen

Zuerst einmal kannst du dich im Folgenden mit verschiedenen Exponentialfunktionen vertraut machen: Vorlage:Arbeiten

Untersuche die Graphen hinsichtlich ihrer Definitions- und Wertemenge. Existieren Nullstellen oder weitere besondere Punkte? Stelle Vermutungen zu möglichen Symmetrien bzw. zum Verhalten für sehr große und sehr kleine x auf.


Alle Fragen beantwortet? Dann noch eine kleine Begriffsdefinition:
Wie du bei der Bestimmung der Definitions- und Wertemenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Exponentialfunktionen definiert auf R, die Wertemenge beschränkt sich allerdings auf positive Zahlen. Für kleiner werdende x nähert sich der Graph sozusagen von oben immer mehr der x-Achse an, aber er erreicht sie nie.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Geraden, der sich Exponentialfunktionen immer weiter annähern (hier also die x-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen Asymptoten. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote.
Im weiteren Verlauf der Oberstufe wirst du noch weitere Funktionen kennenlernen, die Asymptoten besitzen, deshalb solltest du dir diesen Begriff gut merken.


Nun sollst du einmal selbst Exponentialfunktionen zeichnen: Vorlage:Arbeiten

Hier nun eine kleine Übung zum Erkennen von Exponentialfunktionen


Vorlage:Arbeiten

Exp Bild 1.jpg Exp Bild 2.jpg
Exp Bild 3.jpg Exp Bild 4.jpg

In welcher Beziehung müssen die Basen bzw. die Exponenten zweier Funktionen stehen, damit ihre Graphen symmetrisch zur y-Achse sind? In welcher Beziehung stehen beispielsweise f(x) = 3^{-x} und g(x) = (\frac {1}{3})^x zueinander?



Ein kleines Quiz zur Überprüfung: Kreuze an, welche Aussagen jeweils auf die Funktion zutreffen.

1. f(x) = (\frac{3}{5})^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

2. g(x) = (\frac{5}{3})^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph stellt die Spiegelung von f(x) an der y-Achse dar.

3. h(x) = (\frac{3}{5})^{-x}

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Der Graph entspricht dem Graphen zu f(x).
Der Graph entspricht dem Graphen zu g(x).

4. i(x) = -(\frac{3}{5})^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist eine Spiegelung von f(x) an der x-Achse.

5. j(x) = 3^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Die Steigung des Graphen ist geringer als bei f(x).

6. k(x) = -3^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / -1).
Alle Funktionswerte sind negativ.
Der Graph ist eine Spiegelung von j an der x-Achse.

Punkte: 0 / 0


Zusammenfassung

Vorlage:Arbeiten

Transformationen

Bislang hast du dich lediglich mit der sogenannten Grundfunktion der Exponentialfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Exponentialfunktionen beschäftigen.


Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann.

Vorlage:Arbeiten



Nun sollst du versuchen, diese Informationen auf Exponentialfunktionen zu übertragen:

Vorlage:Arbeiten

Eine weitere Transformationsart wurde bislang noch nicht betrachtet: Vorlage:Arbeiten

Vorlage:Arbeiten

Mit deinen Beispielen hast du herausgefunden, dass Christina Recht hat und die Gleichungen gültig sind.

Zusatzaufgabe: Beweise die Gültigkeit der Gleichungen am Beispiel rechnerisch, indem du von der linken Seite ausgehst und die Gleichung mithilfe der Potenzgesetze umformst, so dass du die rechte Seite der Gleichung erhälst. Die Potenzgesetze kannst du in deiner Formelsammlung nachschlagen.


Vorlage:Arbeiten

Eine solche allgemeine Gleichung lautet: f(x) = ab^{cx} + e. Eine Spiegelung an der x-Achse kannst du erreichen durch f(x) = -[ab^{cx} + e].


Logarithmusfunktionen

Definition der Logarithmusfunktionen

Vielleicht kennst du aus der Klasse 9 bereits die Logarithmen, einerseits allgemein zur Basis b und im speziellen den sogenannten Zehnerlogarithmus, mit dem du u. U. schon gerechnet hast. Aber zuerst noch einmal die allgemeine Definition:

Definition

Eine Funktion f der Form f(x) = \log_b (x) (sprich: Logarithmus von x zur Basis b) mit für b > 0, x > 0 heißt Logarithmusfunktion.


Vielleicht kennst du diese Funktionenklasse bereits aus der Klasse 9: Die gerade definierte Funktion zur Basis a ist die allgemeine Logarithmusfunktion - für b = 10 ergibt sich eine besondere Logarithmusfunktion, der sogenannte Zehnerlogarithmus. Mit der Taste log oder lg auf deinem Taschenrechner kannst du diesen Zehnerlogarithmus für verschiedenste Werte berechnen. Ein Funktionswert zur Funktion mit einer anderen Basis (also z. B. f(x) = \log_5(x)) lässt sich nicht so direkt mit dem Taschenrechner berechnen, sondern muss erst umgeformt werden - aber dazu später ....

Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion ist die sogenannte Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion g(x) = b^x und wird daher oft angegeben mit f^{-1}(x) = log_b(x) - das bedeutet graphisch: Die Logarithmusfunktion geht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden im 1. Quadranten des Koordinatensystems (also im Prinzip an der Geraden zu y = x) aus der Exponentialfunktion hervor.
Vorlage:Arbeiten

Überprüfe die Skizze mithilfe einer Wertetabelle.

Zur Erinnerung: Um log_2(x) mit dem Taschenrechner bestimmen zu können, musst du den Logarithmus umschreiben als Quotienten, da nur der Zehnerlogarithmus mit dem Taschenrechner berechnet werden kann: log_2(x) = \frac{\log (x)}{\log (2)}. Nun kannst du mithilfe der lg- oder log-Tasten des Taschenrechners die Werte bestimmen.


Unter dem folgenden Link kannst du das Werte berechnen noch etwas weiter üben.

Vorlage:Arbeiten

Zum Abschluss ein kleiner Test: Kannst du die Graphen zuordnen?


Zusammenfassung

Vorlage:Arbeiten

Transformationen

Vorlage:Arbeiten

Vorlage:Arbeiten

Durch f(bx) wird die Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse erreicht.


Vorlage:Arbeiten

Die Transformationsarten entsprechen sich, es ist ausreichend, eine der beiden zu betrachten.


Vorlage:Arbeiten

Die erste Funktionsgleichung lautet: f(x) = alog_b(cx) + e; die zweite: f(x) = log_b(x - d) + e.


Zum Abschluss kannst du hier noch einmal das Zeichnen von Logarithmusfunktionen trainieren: Logarithmusfunktionen selber zeichnen.

Zusammenfassung

Vorlage:Arbeiten

Zusatzaufgabe

Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf als Zusatzaufgabe ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Nutze dazu Geogebra.