Rund um die Pyramide

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Inhaltsverzeichnis

Bauwerke des Menschen

All Gizah Pyramids-2.jpg

Die Pyramiden von Gizeh


Louvre 2007 02 24 c.jpg

Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris

Karlsruhe Pyramide Winter Nacht 02.JPG

Die Pyramide auf dem Marktplatz von Karlsruhe (Grabmal des Stadtgründers Karl Wilhelm von Baden-Durlach und das Wahrzeichen der Stadt)




Eigenschaften einer Pyramide


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Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Die Anzahl der Seitenflächen ist gleich der Anzahl der Ecken!
Hier siehst du drei Beispiele von Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen:

Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen.jpg

Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.


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Hinweis: Innerhalb der Lerneinheit werden ausschließlich gerade Pyramiden mit regelmäßiger 3-, 4- oder 6-seitiger Grundfläche berechnet!






Volumen der Pyramide


Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide


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Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Pyramide aufgestellt. Im Experiment hast du allerdings das Ergebnis nur für die verwendete Pyramide überprüfen können.

Im Folgenden muss nun gezeigt werden, dass die von dir gefundene Volumenformel tatsächlich gilt und zwar nicht nur für eine bestimmte Pyramide, sondern für alle Arten von Pyramiden!


Dazu geht man schrittweise vor:
Zunächst leitet man die Volumenformel für eine spezielle Pyramide her und zeigt anschließend, dass dies auch für andere Pyramiden gilt.


Herleitung der Volumenformel für eine spezielle Pyramide


Schaue dir zunächst im folgenden Geogebra-Applet an, wie man einen Würfel in sechs gleiche, senkrechte Pyramiden zerlegt. Bearbeite anschließend die Aufgabe 4 (unten).



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Es wird deutlich, dass alle sechs Pyramiden die gleiche quadratische Grundfläche, die gleiche Höhe und die gleiche Spitze besitzen.
Die Spitze der Pyramiden ist genau die Mitte des Würfel-Inneren.

Für das Volumen des Würfels mit Kantenlänge a gilt: V_{w}= a^{3}

Da der Würfel in sechs kongruente Pyramiden aufgeteilt wurde, folgt für das Volumen der Pyramide 1:
V_{p}= \frac{1} {6}\cdot a^{3}

Außerdem ist die Grundfläche der Pyramide G= a^{2} und die Höhe h= \frac{1} {2} \cdot a.
Damit lässt sich das Pyramidenvolumen auch als ein Vielfaches des Produktes von Grundfläche und Höhe schreiben:
V_{p}=\frac{1} {6}a^{3}= \frac{1} {3}a^{2} \cdot  \frac{1} {2} a = \frac{1} {3}G\cdot h



Weiteres Beispiel


Man kann einen Würfel auch in drei kongruente, schiefe Pyramiden zerlegen (s. Fotos). Dauraus folgt für das Volumen einer der Pyramiden ebenfalls V=\frac{1} {3} G\cdot h.
Die Spitzen der Pyramiden zeigen alle in die gleiche Ecke des Würfels.

Du kannst dir das Modell, welches auch auf den Fotos abgebildet ist, vorne am Pult anschauen.

Würfel mit drei Pyramiden 1.jpg Würfel mit drei Pyramiden 2.jpg





Von der speziellen zur allgemeinen Pyramide


Du hast die Gültigkeit der Formel V=\frac{1} {3} G\cdot h nun für eine quadratische Pyramide mit h=\frac{1} {2}a gezeigt, als auch im Modell für eine quadratische Pyramide mit h=a überprüfen können.
Jetzt muss gezeigt werden, dass diese Formel auch für das Volumen einer beliebigen n-seitigen Pyramide gilt. Dazu muss folgender Satz bewiesen werden:

Satz:
Zwei Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe haben das gleiche Volumen.



Das klingt stark nach dem Satz von Cavalieri! Allerdings fehlt hierzu noch ein Kriterium. Nach Cavalieri sind zwei Körper volumengleich, wenn der Grundflächeninhalt und die Höhe gleich sind, als auch alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. Es muss also gezeigt werden, dass Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auf jeder Höhe (parallel zur Grundfläche) gleich große Schnittflächen besitzen!

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Beweis:
Versuche erst einmal selbst einen Beweis zu führen! Falls du nicht weiter kommst, nutze zuerst die Tipps und versuche es nochmal, bevor du dir die Lösung anschaust!

Tipp (1):

Es liegt hier eine Ähnlichkeitsabbildung vor! Dabei werden die Grundflächen auf die jeweiligen Schnittflächen abgebildet!


Tipp (2):

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Flächeninhalten der Fläche A und der Bildfläche A' bei einer solchen Ähnlichkeitsabbildung?


Voraussetzung: G1 = G2

S1 und S2 sind Streckzentren einer zentrischen Streckung von G1 auf G1' bzw. von G2 auf G2'. Der Streckfaktor ist jeweils k=\frac{h_{s}} {h}.
G1 ist also ähnlich zu G1' und G2 ist ähnlich zu G2'.
\Rightarrow G1' = k2G1 und G2' = k2G2

Da nach Voraussetzung G1 = G2

\Rightarrow G1' = G2'



Nun bist du endlich am Ziel und du kannst eine allgemeine Formel zur Berechnung des Pyramidenvolumens aufstellen, welche auch wirklich für jede beliebige Pyramide gilt!





Übungsaufgaben zur Berechnung des Pyramidenvolumens


Zur Berechnung des Pyramidenvolumens benötigt man die Maße der Pyramidengrundfläche und der Höhe. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden. Bei der Berechnung muss man mit sogenannten Hilfsdreiecken arbeiten. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann einfach durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!

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{{pdf|Lösung_Aufgabe6_Pyramidenvolumen.pdf|Ausführliche Lösung zu Aufgabe 6}





Mantelfläche und Mantelflächeninhalt


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Oberfläche und Oberflächeninhalt


Körpernetz einer Pyramide

Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das Netz der Pyramide.
Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- und Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!
Das folgende Beispiel zeigt ein Körpernetz einer quadratischen Pyramide, welche entlang zweier Seiten- und zweier Grundkanten aufgeschnitten wurde: Pyramidennetz7.jpg

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Als Hilfestellung kannst du die Holzpyramiden vorne am Pult verwenden!

_ _ _ _ _ Holzfiguren Pyramiden.jpg

Zur Überprüfung eurer Ergebnisse stehen auch zwei Modelle von Körpernetzen zur Verfügung:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _Modelle Pyramidennetze.jpg


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Zusammenfassung


Hier geht es zur Zusammenfassung



Denkt an die Gestaltung eurer Formelsammlung!






Übungsaufgaben: Berechnungen rund um die Pyramide


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{{pdf|Lösung_Aufgabe10_Louvre.pdf|Lösung zu Aufgabe 10}



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zu Aufgabe 11 b)

{{pdf|Lösung_Aufgabe11.pdf|Ausführliche Lösung zu Aufgabe 11}




Abschlusstest: Multiple-Choice-Quiz


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