Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

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(Übungen zum Verständnis)
(Lineare Funktion - Funktionsterm)
 
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{{Lernpfad Lineare Funktionen}}
 
{{Lernpfad Lineare Funktionen}}
  
 
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<div style="  width: 80%; border: 2px solid #c6d745; background-color:#c6d745; padding:7px;font-size:1px; height:1px; border-bottom:1px solid #c6d745;"></div>
 
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==War's das?==
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==Sind solche Geraden überhaupt relevant?==
 
Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.<br>
 
Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.<br>
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==Ursprungsgeraden reichen nicht==
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==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
 
Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.
 
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<div class="lueckentext-quiz">  
 
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Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
 
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
 
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Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.<br>
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Wie du eben gesehen hast, gibt es jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.<br>
 
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war. <br>
 
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war. <br>
 
Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.<br><br>
 
Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.<br><br>
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==Lineare Funktion - Funktionsterm==
 
==Lineare Funktion - Funktionsterm==
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: <math>f(x) =m\cdot x.</math><br><br>
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Wir wissen bereits, wie der Funktionssterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: <math>f(x) =m\cdot x.</math><br><br>
 
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|align = "left" width="60%"|Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
 
|align = "left" width="60%"|Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
 
Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!'''
 
Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!'''
 
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|[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen]]
 
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{{Merksatz|MERK= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt lineare Funktion. <br>
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{{Merke|1= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">'''lineare Funktion'''.</span> <br>
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.<br><br>
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Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.<br><br>
 
[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]<br>
 
[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]<br>
  
*Man nennt t den '''y-Achsenabschnitt''' der Geraden.
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*Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden.
*m bezeichnet die '''Steigung der Geraden.'''<br><br>
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*<span style="color:darkgreen">'''m'''</span> bezeichnet die <span style="color:darkgreen">'''Steigung der Geraden.'''</span><br><br>
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>) so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.<br>
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*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}</math>.<br>
 
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'''<big>Beispiel</big>'''<br>
 
'''<big>Beispiel</big>'''<br>
 
Bei obiger Gerade gilt:
 
Bei obiger Gerade gilt:
*y-Achsenabschnitt: <math>t=3</math>
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*y-Achsenabschnitt: <math>\color{red}t=3</math>
*Steigung: <math>m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
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*Steigung: <math>\color{OliveGreen}m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
 
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Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>f(x)=0,5x+3</math>'''
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Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>\color{blue}f(x)=0,5x+3</math>'''
 
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==Übungen zum Verständnis==
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{| border="2" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
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|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]]
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&nbsp; Übung 10:  Ordne zu!
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</div>Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!<br><br>
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<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pbuumpt6101" style="border:0px;width:800px;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <span style="color:green">(leicht)</span>
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===Übungen zum Verständnis===
 
{{Übung|1=Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!<br>
 
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pbuumpt6101" style="border:0px;width:30%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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{{Aufgabe|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.<br>
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{{Aufgaben|6|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.<br>
 
&nbsp;&nbsp;"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."<br>
 
&nbsp;&nbsp;"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."<br>
 
&nbsp;&nbsp;"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."
 
&nbsp;&nbsp;"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."
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{| border="2" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#8E8CF2}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}};background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
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|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Hand.gif|30px]]
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&nbsp; Übung 11:  Finde die Funktionsgleichung!
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</div>Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.<br><br>
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<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pt90oidw501" style="border:0px;width:700px;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <span style="color:green">(nicht ganz ohne)</span>
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==''--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---''==
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|width=60%|Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m<sup>3</sup> und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde. <br>Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?<br><br>
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|[[Datei:News-1015300 1920.jpg|200px|Neuigkeiten]]
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<span style = "color: blue">Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!</span>
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|1. Version der Aufgabe - '''mittlerere Schwierigkeitsgrad'''  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br>
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[[Datei:Sport-1013938 1920.jpg|150px|Balance mit Stab]]
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|2. Version der Aufgabe - '''hoher Schwierigkeitsgrad'''<br>
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[[Datei:Sport-1013936 1920.jpg|150px|Balance]]
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|<span class="_togglegroup _toggle_initshow _toggle _toggler toggle-visible" style="display:none;">[A7 - mittlere Schwierigkeit anzeigen]</span><span class="_toggle_inithide _toggle _toggler toggle-hidden" style="display:none;">[Verstecken]</span>
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<div class="_toggle_inithide _toggle toggle-hidden">
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{{Aufgaben|7|
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{{(!}}
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{{!}}
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a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
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{{!}}<popup name = "Tipp">Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?</popup>
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{{!-}}
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{{!}}
 +
b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.
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{{!}}<popup name = "Tipp">Das Bergwerk ist leer, wenn kein Wasser mehr drin ist... ;)</popup>
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{{!-}}
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{{!}}
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c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.
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{{!}}<popup name = "Tipp">Du benötigst die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Welches Vorzeichen hat die Steigung? ;)</popup>
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{{!-}}
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{{!}}
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d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit <math>t=12h</math>?<br><br>
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{{!)}}
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{{(!}}
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{{!}}[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
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{{!}} <popup name="Lösung">
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Der rote Graph stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
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*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
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*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
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<br>
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<br>
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Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
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''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''
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  </popup>
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{{!)}}
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}}
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</div>
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|<span class="_togglegroup _toggle_initshow _toggle _toggler toggle-visible" style="display:none;">[A7 - hohe Schwierigkeit anzeigen]</span><span class="_toggle_inithide _toggle _toggler toggle-hidden" style="display:none;">[Verstecken]</span>
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<div class="_toggle_inithide _toggle toggle-hidden">
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{{Aufgaben|7|
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{{(!}}
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{{!}}
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a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.
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{{!}}<popup name = "Tipp">Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?</popup>
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{{!-}}
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{{!}}
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b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!
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{{!}}<popup name = "Tipp">Die Wassermenge wird weniger! ;)</popup>
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{{!-}}
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{{!}}
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c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?
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{{!}}<popup name = "Tipp">1. Lösung mit Hilfe des Graphen<br> 2. Lösung nur mit Hilfe der Funktionsgleichung</popup>
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{{!)}}
 +
{{(!}}
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{{!}} <popup name="Lösung">
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[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
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Der rote Graph im oberen Schaubild stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
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*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
 +
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
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<br>
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<br>
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Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
 +
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''<br><br>
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Nach 12 Stunden ist das Bergwerk vom Wasser befreit.
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<math>f(t)=-150t+1800</math> und wenn das Wasser weg ist gilt: <math>f(t)=0</math>, also <math>-150t+1800=0</math>. <br>
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Auflösung der Gleichung liefert: <math>t=12</math>
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  </popup>
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{{!)}}
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}}
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|Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station. <br>
 
|Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station. <br>
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pbvaenrrj01" style="border:0px;width:60%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
  
 
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<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pcsnv8z0j01" style="border:0px;width:60%;height:90px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
||[[Datei:Information-1015297 1920.jpg|230px|Information]]
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|[[Datei:Information-1015297 1920.jpg|230px|Information]]
 
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Aktuelle Version vom 5. Juni 2018, 10:06 Uhr

Lernpfad: Lineare Funktionen - 1. Station - 1. Übung - 2. Station - 2. Übung - 3. Station - 3. Übung - Abschluss - Hilfe-Station - Pinnwand


Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden

Gerade In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann.


Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.



In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.



Sind solche Geraden überhaupt relevant?

Starte die App und überlege genau, bevor du die Fragen beantwortest.


Ursprungsgeraden reichen nicht!

Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.

Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen proportionaler Zusammenhänge der Form f(x)=m\cdot x betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
Wie du eben gesehen hast, gibt es jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden nicht mehr beschrieben werden können.
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert nicht gleich 0 ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m3, sondern zum Beispiel 400m3 war.
Trotzdem stellt der Graph noch eine Gerade dar, da die Wassermenge immer noch gleichmäßig zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur Ursprungsgeraden nach oben oder unten verschoben.

Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?


Lineare Funktion - Funktionsterm

Wir wissen bereits, wie der Funktionssterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: f(x) =m\cdot x.

Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?

Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!




Untersuchen


Ergebnis:
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung f(x)=m\cdot x+t beschrieben werden.

Feuerwerks-gif
Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist
und deren Funktionsgleichung die Form \color{blue} f(x)=m\cdot x+t
heißen lineare Funktionen.



Maehnrot.jpg
Merke:

Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung \color{blue}f(x)=m\cdot x+t beschrieben wird, heißt lineare Funktion.
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine Gerade.

Geradengleichung

  • Man nennt t den y-Achsenabschnitt der Geraden.
  • m bezeichnet die Steigung der Geraden.

  • Verläuft der Graph durch die Punkte P(xP|yP) und Q(xQ|yQ), so gilt für die Geradensteigung: m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}.


Beispiel
Bei obiger Gerade gilt:

  • y-Achsenabschnitt: \color{red}t=3


  • Steigung: \color{OliveGreen}m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5


Damit lautet die Funktionsgleichung: \color{blue}f(x)=0,5x+3

Übungen zum Verständnis

Hand.gif

  Übung 10: Ordne zu!

Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!

(leicht)



Stift.gif   Aufgabe 6

Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. Begründe deine Entscheidung.
  "Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."
  "Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."




Hand.gif

  Übung 11: Finde die Funktionsgleichung!

Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.

(nicht ganz ohne)



--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---

Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m3 und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde.
Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?

Neuigkeiten

Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!


1. Version der Aufgabe - mittlerere Schwierigkeitsgrad          

Balance mit Stab

2. Version der Aufgabe - hoher Schwierigkeitsgrad

Balance

Stift.gif   Aufgabe 7

a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!    

b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.

c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.

d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit t=12h?

Pumpe_Bergwerk
Stift.gif   Aufgabe 7

a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.

b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!

c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?




Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station.

Information




Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!

Binoculars-1015267 1920.jpg Hier geht es weiter zur letzten Übung......
Lernpfad: Lineare Funktionen - 1. Station - 1. Übung - 2. Station - 2. Übung - 3. Station - 3. Übung - Abschluss - Hilfe-Station - Pinnwand