Station 3: Unterschied zwischen den Versionen
(→Lineare Funktion - Funktionsterm) |
(→Lineare Funktion - Funktionsterm) |
||
| Zeile 65: | Zeile 65: | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
| − | {{Merksatz|MERK= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">lineare Funktion.</span> <br> | + | {{Merksatz|MERK= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">'''lineare Funktion'''.</span> <br> |
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.<br><br> | Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.<br><br> | ||
[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]<br> | [[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]<br> | ||
*Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden. | *Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden. | ||
| − | *<span style="color: | + | *<span style="color:darkgreen">'''m'''</span> bezeichnet die <span style="color:darkgreen">'''Steigung der Geraden.'''</span><br><br> |
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.<br> | *Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.<br> | ||
<br> | <br> | ||
'''<big>Beispiel</big>'''<br> | '''<big>Beispiel</big>'''<br> | ||
Bei obiger Gerade gilt: | Bei obiger Gerade gilt: | ||
| − | *y-Achsenabschnitt: <math>t=3</math> | + | *y-Achsenabschnitt: <math>\color{red}t=3</math> |
| − | *Steigung: <math>m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math> | + | *Steigung: <math>\color{darkgreen}m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math> |
<br> | <br> | ||
| − | Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>f(x)=0,5x+3</math>''' | + | Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>\color{blue}f(x)=0,5x+3</math>''' |
}} | }} | ||
Version vom 11. November 2015, 22:39 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden
|
In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann.
|
War's das?
Starte die App und überlege genau, bevor du die Fragen beantwortest.
Ursprungsgeraden reichen nicht
Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen proportionaler Zusammenhänge der Form 
betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden nicht mehr beschrieben werden können.
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert nicht gleich 0 ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m3, sondern zum Beispiel 400m3 war.
Trotzdem stellt der Graph noch eine Gerade dar, da die Wassermenge immer noch gleichmäßig zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur Ursprungsgeraden nach oben oder unten verschoben.
Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?
Lineare Funktion - Funktionsterm
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: 
| Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!
|
|
Ergebnis:
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung 
beschrieben werden.
|
Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist
und deren Funktionsgleichung die Form  heißen lineare Funktionen. |
Übungen zum Verständnis
 Übung
Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören! |
 Aufgabe
Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. Begründe deine Entscheidung. |
| Übung
Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt. |
Nullstelle einer Geraden
Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m3 und steht bereits völlig unter Wasser, als es gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde.
Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?
Aufgabe
|
?
 Frage
Mache dir klar, dass beide Aussagen im Merksatz genau das gleiche bedeuten! |
| Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station.
|
|
Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!
|
Hier geht es weiter zur letzten Übung...... |
