Terme/Aufstellen und Interpretieren von Termen und Potenzfunktionen: Unterschied zwischen den Seiten

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< Terme(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Walla Marina
 
Main>Petra Bader
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= <span style="color: green">Aufstellen und Interpretieren von Termen</span> =
{{Kasten1000|
==<span style="color: green">Aufstellen von Termen </span> ==


BREITE =100%|
ÜBERSCHRIFT=Über diesen Lernpfad|
INHALT1=
Dieser Lernpfad


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
Der Lernpfand enthält eine Reihe von interaktiven Übungen, insbesondere auch einige GeoGebra-Applets.|
{|
INHALT2=Kompetenzen:|
! width="910" |
INHALT2a=
|-
'''Das kannst du schon:'''
| valign="top" |
*Bei linearen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben (Handhabung von GeoGebra)
{|
*von der graphischen Darstellung unmittelbar auf die Darstellung als Formel schließen
! width="600" |
*Eigenschaften linearer Funktionen aus der Termdarstellung ablesen und sie begründen |
! width="10" |
INHALT2b=
|-
'''Das kannst du lernen:'''
| valign="top" |
*Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
<br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir einen Term, mit dem du den Flächeninhalt ausrechnen kannst.
*Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
*Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
*Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben |
INHALT3=
Für die Lehrerinnen und Lehrer:<br />
{{pdf|Didaktischer_Kommentar_pot_Fkt.pdf|Didaktischer Kommentar}}


|} <br /> <br />
}}
|
| valign="top" |
[[Bild:einstiegsaufg_termaufstellen2.jpg]] <br /> <br />
|}


<popup name="Lösung">
<br />Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.
{|width="99%"
<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
|width="40%" style="vertical-align:top"|
[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
A(a;b)= 8•a•b+6•a•a = 8ab+6a<sup>2</sup>
|width="20%" style="vertical-align:top"|
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:termaufstellen_lösung.jpg]]
|}<br /><br />
</popup>
 
Setze nun für a=1cm und b=4cm ein
 
<popup name="Lösung">
A(1;4)= 8•1cm•4cm+6•(1cm)<sup>2</sup> = 32cm<sup>2</sup>+6•1cm<sup>2</sup> = 32cm<sup>2</sup>+6cm<sup>2</sup> = 38 cm<sup>2</sup>
</popup>
<br /><br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:
<span style="color: green"><u>Rezept</u></span>
# Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
# Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
# Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge
</div>
</div>


 
<div style="border: 1px solid red; padding:4px;">
 
[[Einführung|'''Einführung''']]<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
[[1. Stufe|'''1. Stufe''']]<br />
{|
[[2.Stufe|'''2. Stufe''']]<br />
! width="910" |
[[3. Stufe|'''3. Stufe''']]<br />
|-
[[4. Stufe|'''4. Stufe''']]<br>
| valign="top" |
[[5. Stufe|'''5. Stufe''']]<br />
''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
[[6.Stufe|'''6. Stufe''']]<br />
{|
! width="600" |
! width="10" |
|-
| valign="top" |
<br /> <br />Gehe nach dem "Rezept" vor und stelle einen Term auf, um den Flächeninhalt der Figur zu errechnen.
 
|} <br /> <br />
|
| valign="top" |
[[Bild:bsptermaufstellen.jpg]] <br /> <br />
|}
<popup name="Lösung">
 
# Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist A<sub>R</sub> = 2•1. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt A<sub>F</sub>= 6•2•1
# Variablen einführen: Wähle für 2=i und für 1=j
# Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet: 6•i•j
: Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus <math>Q</math> einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also <math>D</math>=<math>Q</math><sup>+</sup>
</popup> </div>
 
<br />
 
==<span style="color: green">Interpretieren von Termen </span> ==
 
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
{|
! width="910" |
|-
| valign="top" |
''' <span style="color: blue"></span>''' <br />
{|
! width="600" |
! width="10" |
|-
| valign="top" |
<br /> <br /> Um einen Term interpretieren zu können, musst du erst die Bedeutung der Variablen klären.
 
Zum Beispiel beschreibt a•b den Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn a und b die Seitenlängen sind.
|} <br /> <br />
|
| valign="top" |
[[Bild:rechteck_bspaufg2.2neu.jpg]] <br /> <br />
|}
</div>
</div>


<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''<br />
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.
* Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, der die Kosten der Internetnutzung in Abhängigkeit der gesurften Zeit x angibt.
<popup name="Lösung">
: Für Netzfetz: T<sub>1</sub> (x) = (x-10)•2
: Für 2&3 : T<sub>2</sub> (x) = (x-20)•4
</popup>
* Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?
<popup name="Lösung">
{| class="wikitable center"
! Kosten/Surfzeit
! 20
! 25
! 30
! 35
! 40
|-
| T<sub>1</sub> (x) = (x-10)2
| 20
| 30
| 40
| 50
| 60
|-
| T<sub>2</sub> (x) = (x-20)4
| 0
| 20
| 40
| 60
| 80
|}
Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen.
Julia surft 25 Stunden: Die Kosten des Terms T<sub>2</sub> sind kleiner als die des ersten Terms. Also sollte Julia das Angebot von 2&3 wählen.
</popup>
* Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.<br />
<popup name="Lösung">
[[Bild:diagramm_internetprovider.jpg]]
</popup> </div><br />
==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' Übersetze die Rechenvorschrift in einen Term:
a) Addiere 2 zum Quadrat von x
b) Addiere 6 zum vierfachen der Zahl n
c) Multipliziere die Summe aus b und der Zahl 7 mit 4
d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl
e) Multipliziere den Vorgänger der natürlichen Zahl n mit seinem Nachfolger
<popup name="Lösung">
a) T(x)= x<sup>2</sup>+2
b) T(n)= 4n+6
c) T(b)= (b+7)4
d) T(x)= x(-x)
e) T(n)= (n-1)(n+1)
</popup> </div>
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''Gib den Term zu folgendem Gliederungsbaum an und berechne seinen Wert für x=4!
[[Bild:termgliederungsbaum2.1.jpg]]
<popup name="Lösung">
Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: T(x)= (x+1):(7-<math>\frac{x}{2}</math>)
T(4)= (4+1):(7-<math>\frac{4}{2}</math>) = 5:(7-2) = 5:5 = 1
</popup> </div>
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''Laura hat zu schnell von der Tafel abgeschrieben. Dabei hat sie die Werte der Variablen vergessen, nur die Ergebnisse hat sie noch. Hilf ihr die passenden Werte für die Variablen zu finden, wenn der Term T(n)=n<sup>2</sup>+2 lautete.
Warum gibt es meist zwei Möglichkeiten?
a) T(?)= 18
b) T(?)= 38
c) T(?)= 3
d) T(?)= 6
<popup name="Lösung">
Es gibt zwei Möglichkeiten, da ein Glied des Term n<sup>2</sup> lautet. Eine quadrierte Zahl ist immer positiv. (Bsp.: 3<sup>2</sup>=9=(-3)<sup>2</sup> )
a) T(4)= T(-4)= 4<sup>2</sup>+2= 16+2= 18
b) T(6)= T(-6)= 6<sup>2</sup>+2= 36+2= 38
c) T(1)= T(-1)= 1<sup>2</sup>+2= 1+2= 3
d) T(2)= T(-2)= 2<sup>2</sup>+2= 4+2= 6
</popup> </div>
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
{|
! width="910" |
|-
| valign="top" |
{|
! width="800" |
! width="10" |
|-
| valign="top" |
<br /> <br /> Gib einen Term an, der den Flächeninhalt der abgebildeten Figur berechnet.
Berechne anschließend den Flächeninhalt der Figur, indem du für die Variablen die angegebenen Zahlen einsetzt.
* A(8cm;2cm)
* A(10cm;5cm)
* A(12cm;9cm)
* A(15cm;13cm)
<u>Hinweis: Die Figur ist Achsensymmetrisch</u>
|} <br /> <br />
|
| valign="top" |
[[Bild:drachenviereckaufg4.jpg]] <br /> <br />
|}
<popup name="Lösung">
Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein: A<sub>D</sub> <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">a</span>•<span style="color: darkorange">h<sub>a</sub>
</span>
<br />Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe h<sub>a</sub> ist hier g<sub>2</sub> = 2
<br />Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also: A<sub>D</sub> = <math>\frac{1}{2}</math> <span style="color: darkblue">(m+n)</span>•<span style="color: darkorange">2</span> = (m+n)•2•<math>\frac{1}{2}</math> = (m+n)•1 = (m+n)
<br />
Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks A<sub>DV</sub> zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln: '''A<sub>DV</sub>''' = 2•A<sub>D</sub> = 2•(m+n)= '''2(m+n)'''
<br /><br />
<u>Hinweis:</u> Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.
Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden: A<sub>DV</sub>= (4•<math>\frac{n}{2}</math> )+(4•<math>\frac{m}{2}</math> )
Das Ergbenis ist gleich.


* A(8cm;2cm)= 2cm(8cm+2cm)=2cm•10cm= 20cm<sup>2</sup>
* A(10cm;5cm)= 2cm(10cm+5cm)= 2cm•15cm= 30cm<sup>2</sup>
* A(12cm;9cm)= 2cm(12cm+9cm)= 2cm•21cm= 42cm<sup>2</sup>
* A(15cm;13cm)= 2cm(15cm+13cm)= 2cm•28cm= 56cm<sup>2</sup>
</popup> </div>
<br /><br />
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{{Autoren|[[Benutzer:Hans-Georg Weigand|Hans-Georg Weigand]], [[Benutzer:Michael Schuster|Michael Schuster]], [[Benutzer:Jan Wörler|Jan Wörler]]und [[Benutzer:Petra Bader|Petra Bader]]}}

Version vom 8. Dezember 2008, 14:14 Uhr

Vorlage:Kasten1000


Der Lernpfad ist in fünf Kapitel eingeteilt, die du sinnvollerweise in der angegebenen Reihenfolge bearbeitest.


Autoren: Hans-Georg Weigand, Michael Schuster, Jan Wörlerund Petra Bader

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