Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen und Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke: Unterschied zwischen den Seiten

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K (kat)
 
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= Das „Ziegenproblem“ =
__NOTOC__
 
{{Lernpfad|  
 
===Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke===
{{Kasten Mathematik|[[File:Monty open door.svg|links]]In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden. Hinter einem wartet ein Auto als Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege.
'''Zeitbedarf''': 45 Min.
 
<br>
Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an:
'''Du benötigst''': dein Heft, einen Bleistift und ein Lineal!
 
Zuerst öffnet er eine nicht gewählte Tür, hinter der sicher eine Ziege steht.
 
Dann fragt er den Kandidaten, ob er die Tür wechseln will.
}}
}}
<br>
[[Bild:Spiegel1.jpg|400px]]
<br>
'''In diesem Lernpfad sollen achsensymmtrische Vierecke und Dreicke kennengelernt werden. Dazu wollen wir als erstes nochmal wiederholen, was sich hinter dem Begriff der Achsensymmtrie verbirgt.'''
'''Notiere dir Merksätze und Definitionen in dein Heft!'''
<br>
<br>
=1.Station: Wiederholung zur Achsensymmetrie=
Kannst du dich noch an den Begriff der Achsensymmetrie erinnern? Oder wann eine Figur achsensymmetrisch ist?
Nein? Dann wollen wir uns diese Begriffe zusammen erarbeiten. Vielleicht fällt dir ja dann wieder ein, was es damit auf sich hat.
Also los geht´s!
<br>
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
<br>
'''1.Aufgabe'''
<br>
In unserem alltäglichen Leben gibt es einige Gegenstände, die besondere Eigenschaften aufweisen.Hier siehst du einige Beispiele dafür. Erkennst du die Besonderheiten?
<br>
[[Bild:schmetterling.gif|300px]] [[Bild:Blatt.jpg|200px]] [[Bild:Residenz.jpg|300px]] [[Bild:Verkehrszeichen.jpg|200px]]
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Hier findest du die Lösung! {{versteckt|


 
Du siehst, dass alle Figuren in der Mitte geteilt werden können. Beide Teile haben die selben Merkmale. Sie werden daher '''symmetrisch''' genannt.Wenn man die beiden Teile übereinander legt, überdecken sie sich, d.h sie sind dann '''deckungsgleich''' oder'''kongruent'''. Da diese Gegenstände aus der Natur kommen, sind sie natürlich nicht zu 100% kongruent. Die Gerade in der Mitte nennen wir '''Symmetrieachse'''.
{{Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
[[Bild:Schmetterling1.jpg|200px]] [[Bild:Blatt1.jpg|200px]] [[Bild:Residenz1.jpg|200px]] [[Bild:Verkehrszeichen1.jpg|100px]]
}}
}}
 
<br>
 
Fallen dir noch mehr Gegenstände aus dem Alltag ein, die symmetrisch sind? Schreibe sie dir in dein Heft auf!
----
</div>
 
<br>
 
<div style="border: 2px solid yellow; background-color:#ffffff; padding:7px;">
*Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
{{Merke|'''Was heißt achsensymmtrisch und kongruent?:''' <br>
 
*Eine Figur heißt '''achsensymmetrisch''', falls man sie in zwei Teile zerlegen kann und diese sich exakt überdecken. [[Bild:Spiegel2.jpg|300px|right]]
:Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!
*Die beiden Hälften sind dann '''kongruent''' zueinander.
 
*Die Gerade durch die die Figur geteilt wird, heißt '''Symmetrieachse'''.
:{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
*Die Symmetrieachse kann dabei waagrecht, senkrecht oder quer durch die Figur verlaufen.
 
*Es kann auch mehr als eine Symmetriachse geben!
 
<br>}}
 
</div>
*Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen?
<br>
 
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?
'''2.Aufgabe'''
 
<br>
:Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder.
<div class="zuordnungs-quiz">
 
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
:Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
Ordne die Bilder den richtigen Eigenschaften zu. Dazu musst du die Flaggen mit der linken Maustaste ziehen und fallen lassen, wenn der Hintergrund rot wird.
 
<br>
:{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
Übertrage anschließend je zwei Flaggen mit einer und zwei Symmetrieachsen in dein Heft und zeichne die Symmetriachsen ein!
 
{|
 
| keine Symmetrieachse|| [[Bild:Griechenland.gif|70px]] || [[Bild:USA.gif|70px]]  || [[Bild:Tschecien.gif|70px]] ||
----
|-
 
| eine Symmetrieachse || [[Bild:Belgien.gif|70px]] || [[Bild:Norwegen.gif|70px]] || [[Bild:Deutschland.gif|70px]] ||
 
|-
[[File:Monty-GoatRevealed.svg|right]]
| zwei Symmetrieachsen || [[Bild:Schweiz.gif|70px]]|| [[Bild:Österreich.gif|70px]] || [[Bild:Mazedonien.gif|70px]] ||
'''→ Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!'''
|}
 
</div>
Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.
<br>
 
Konntest du alle Flaggen richtig zuordnen? Prima! Dann können wir ja zur nächsten Aufgabe gehen.
 
</div>
{{Aufgaben-M|5.1|Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällige Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter jeder Tür? Zeichne ein Baumdiagramm!}}
<br>
 
<div style="border: 2px solid #00c5cd; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{{Lösung versteckt|:Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
'''3.Aufgabe'''
 
<br>
 
Übertrage die drei Figuren in dein Heft und erweitere sie zu einer achsensymmtrischen Figur!
:[[Datei:BaumZiegenproblemAuto.jpg]]}}
<br>
 
[[Bild:Haus.png|450px]] [[Bild:Stern.png|450px]] [[Bild:Figur.png|450px]]
 
<br>
{{Aufgaben-M|5.2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.}}
</div>
 
<br>
{{Lösung versteckt|:Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
'''Ich denk du weißt jetzt wieder, was der Begriff der Achsensymmetrie heißt und was achsensymmetrische Figuren sind!'''
 
<br>
 
[[Bild:Spiegel3.jpg|300px|center]]
:[[Datei:BaumZiegenproblemKandidat.jpg]]}}
<br>
 
Bevor wir mit einem neuen Thema anfangen, lernen wir noch eine 2.Definition für das Wort achsensymmetrisch kennen. Diese hängt mit der Achsenspiegelung zusammen, die wir in den beiden vorherigen Lernpfaden durchgenommen haben.
 
<br>
{{Aufgaben-M|5.3|Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.}}
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
 
'''Definition'''
Lösungshilfe: {{versteckt|:Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt.  
<br>
 
Eine Figur, die man durch eine Achsenspiegelung auf sich selbst abbilden kann, heißt '''achsensymmetrisch'''.
:*1. Fall: Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen.
<br>
 
</div>
::'''Beispiel:''' Der Kandidat hat zufällig Tür 2 mit dem Hauptgewinn gewählt. Der Moderator öffnet nun zufällig Tür 1 oder 3.
<br>
 
=2.Station:Achsensymmetrische Vierecke=
 
<br>
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel1.jpg]]  
<div align="left">[[Benutzer:Laura Klaus|<math>\Leftarrow</math> Zurück]]</div>
 
 
:*2. Fall Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.
 
::'''Beispiel 2:''' Das Auto steht hinter Tür 1. Der Kandidat wählt Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen.
 
 
::[[Datei:ZiegenproblemBeispiel2.jpg]]}}
 
 
{{Lösung versteckt|:Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:
 
 
:[[Datei:BaumZiegenproblemModerator.jpg]]}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.4|Löse nun das „Ziegenproblem“. Berechne dazu die Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?}}
 
Lösungshinweis: {{versteckt|Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt.}}
 
 
{{Lösung versteckt|*Betrachten wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:
 
 
:[[Datei:ZiegenproblemohneWechsel.jpg]]
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ ohne\ Wechsel})=3 \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}</math>
 
 
 
*Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:
 
 
:[[Datei:ZiegenproblemmitWechsel.jpg]]
 
 
:<math>\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ mit\ Wechsel})=6 \cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}</math>
 
 
 
*<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>&nbsp;&nbsp;auf&nbsp;&nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp;&nbsp; !!!
}}
 
 
----
 
 
'''Für Interessierte:'''
 
Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?
 
*Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler '''„Number of doors“''' weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.
 
:Würdest du '''jetzt''' wecheln???
 
:{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
 
 
 
*Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.
 
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
 
 
 
*Unter dem Wikipedia-Link kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des Ziegenproblems informieren:
{{Rechtsklick Fenster}}{{wpde|Ziegenproblem|Das Ziegenproblem}}
 
 
----
 
 
Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt. <colorize>Vielen Dank</colorize> fürs Mitmachen!
 
 
[[Mathematik-digital/Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen|→ zurück zur Übersicht!]]
 
 
[[Kategorie:Stochastik|Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen]]

Version vom 27. August 2009, 13:17 Uhr

Lernpfad
Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke

Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke

Zeitbedarf: 45 Min.
Du benötigst: dein Heft, einen Bleistift und ein Lineal!



Spiegel1.jpg
In diesem Lernpfad sollen achsensymmtrische Vierecke und Dreicke kennengelernt werden. Dazu wollen wir als erstes nochmal wiederholen, was sich hinter dem Begriff der Achsensymmtrie verbirgt. Notiere dir Merksätze und Definitionen in dein Heft!

1.Station: Wiederholung zur Achsensymmetrie

Kannst du dich noch an den Begriff der Achsensymmetrie erinnern? Oder wann eine Figur achsensymmetrisch ist? Nein? Dann wollen wir uns diese Begriffe zusammen erarbeiten. Vielleicht fällt dir ja dann wieder ein, was es damit auf sich hat. Also los geht´s!


1.Aufgabe
In unserem alltäglichen Leben gibt es einige Gegenstände, die besondere Eigenschaften aufweisen.Hier siehst du einige Beispiele dafür. Erkennst du die Besonderheiten?
Datei:Schmetterling.gif Blatt.jpg Residenz.jpg Verkehrszeichen.jpg
Hier findest du die Lösung! Vorlage:Versteckt
Fallen dir noch mehr Gegenstände aus dem Alltag ein, die symmetrisch sind? Schreibe sie dir in dein Heft auf!


Merke

Was heißt achsensymmtrisch und kongruent?:

  • Eine Figur heißt achsensymmetrisch, falls man sie in zwei Teile zerlegen kann und diese sich exakt überdecken.
    Spiegel2.jpg
  • Die beiden Hälften sind dann kongruent zueinander.
  • Die Gerade durch die die Figur geteilt wird, heißt Symmetrieachse.
  • Die Symmetrieachse kann dabei waagrecht, senkrecht oder quer durch die Figur verlaufen.
  • Es kann auch mehr als eine Symmetriachse geben!


2.Aufgabe

Zuordnung
Ordne die Bilder den richtigen Eigenschaften zu. Dazu musst du die Flaggen mit der linken Maustaste ziehen und fallen lassen, wenn der Hintergrund rot wird.
Übertrage anschließend je zwei Flaggen mit einer und zwei Symmetrieachsen in dein Heft und zeichne die Symmetriachsen ein!

keine Symmetrieachse Griechenland.gif USA.gif Tschecien.gif
eine Symmetrieachse Belgien.gif Norwegen.gif Deutschland.gif
zwei Symmetrieachsen Schweiz.gif Österreich.gif Mazedonien.gif


Konntest du alle Flaggen richtig zuordnen? Prima! Dann können wir ja zur nächsten Aufgabe gehen.


3.Aufgabe
Übertrage die drei Figuren in dein Heft und erweitere sie zu einer achsensymmtrischen Figur!
Haus.png Datei:Stern.png Figur.png


Ich denk du weißt jetzt wieder, was der Begriff der Achsensymmetrie heißt und was achsensymmetrische Figuren sind!

Spiegel3.jpg


Bevor wir mit einem neuen Thema anfangen, lernen wir noch eine 2.Definition für das Wort achsensymmetrisch kennen. Diese hängt mit der Achsenspiegelung zusammen, die wir in den beiden vorherigen Lernpfaden durchgenommen haben.

Definition
Eine Figur, die man durch eine Achsenspiegelung auf sich selbst abbilden kann, heißt achsensymmetrisch.


2.Station:Achsensymmetrische Vierecke


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