Main>D.Schmerenbeck |
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| Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
| | =={{int:filedesc}}== |
| | | {{Information |
| == Einstieg ==
| | |description={{de|1=Mindmap für word field entertainment}} |
| | | |date=2018-11-24 |
| ==== Einstiegsaufgabe 1 - Blumenvase ====
| | |source={{own}} |
| Unterschiedliche Gefäßformen lassen sich durch ihren Füllgraphen beschreiben. Dieser ergibt sich, wenn in ein Gefäß eine Flüssigkeit mit gleichmäßigem Zufluss einfließt. Die entstehende Zuordnung Zeit(t) -> Höhe(h) kann in ein Koordinatensystem übertragen werden und stellt die Zunahme des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit dar.
| | |author=[[User:M.scharwies|M.scharwies]] |
| | | |permission= |
| =====Aufgabe 1.1=====
| | |other versions= |
| Skizziert zunächst für die beiden Gefäße '''(siehe Bild <- wird noch eingefügt)''' einen möglichen Verlauf des Füllgraphs in ein Koordinatensystem. Vergleicht eure Ergebnisse mit einer anderen Zweiergruppe und begründet eure Skizze.
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| =====Experiment=====
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| Mit dem folgenden Experiment werdet ihr eure Vermutung aus der ersten Aufgabe überprüfen. Dazu sollt ihr gleichmäßig Wasser in ein Gefäß füllen. Mit einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, wie lange der Wasserspiegel braucht um auf 0.5 cm, 1 cm, 1.5 cm, 2cm usw. zu steigen. Die Messdaten für die Zeit tragt ihr danach in die untenstehende GeoGebra-Tabelle ein.
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| =====Versuchsaufbau=====
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| Im Bild seht ihr den Versuchsaufbau. Bei der Versuchsdurchführung ist es zum einen besonders wichtig, dass der Wasserzufluss immer gleichmäßig ist. Der obere Trichter muss daher immer mit Wasser gefüllt sein, sodass der Zufluss konstant bleibt. Zum anderen muss der „Zeitmesser“ genau beobachten, wann der Wasserspiegel die markierten Höhen erreicht, damit die Messung so exakt wie möglich ist.
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| ''Achtung: Bei manchen Stoppuhren lassen sich Zwischenzeiten stoppen. Diese liefern für unseren Versuch die genaueren Ergebnisse, müssen aber zunächst noch addiert werden.''
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| Wenn alle Messdaten in der Tabelle eingetragen sind, könnt ihr euch die dazugehörigen Punkte im Koordinatensystem anzeigen lassen. Markiere als erstes alle Messwerte (Zeit und Höhe). Durch einen Rechtsklick über den markierten Werten kann im erscheinenden Kontextmenü Erzeuge - Liste von Punkte ausgewählt, sodass die zu den Messwerten gehörigen Punkte im Koordinatensystem erscheinen.
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| =====GeoGebra Tabelle=====
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| <popup name="GeoGebra Tabelle">
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| </popup>
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| =====Aufgabe 1.2=====
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| Vergleicht die Versuchsdaten mit euren Skizzen aus Aufgabe 1 und beschreibt den Verlauf des Füllgraphen. Inwiefern kann man die Form des Gefäßes am Füllgraphen ablesen?
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| =====Aufgabe 1.3=====
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| Um weitere Erkenntnisse über den Füllvorgang zu erhalten soll nun die Steiggeschwindigkeit des Wasserspiegels untersucht werden.
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| Mit welcher Geschwindigkeit (Höhe/Zeit) steigt der Wasserspiegel zwischen den Höhen
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| [1;2], [4;5] und [5;8]. Berechne die Steiggeschwindigkeit für jedes Intervall. Interpretiere die Ergebnisse mit Blick auf die jeweilige Gefäßform.
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| =====Aufgabe 1.4=====
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| Ist es möglich, die Steiggeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln? Begründet eure Antwort kurz.
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| ==== Einstiegsaufgabe 2 - Barringer-Krater ====
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| [[Datei:Meteor.jpg|400px]]
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| In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
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| Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
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| <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0 \leq x \leq 300</math>
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| ''Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin''
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| Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bis zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
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| == Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate ==
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| ===== Blumenvase =====
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| In die abgebildete Vase wird gleichmäßig Wasser eingelassen. Die Tabelle stellt dar, wie sich die Wasserhöhe (gemessen vom Tischboden) in der Vase beim Einfüllvorgang im Zeitverlauf verändert.
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| :{| class="wikitable"
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| !'''Zeit (Sekunden)''' !! '''Höhe (cm)'''
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| |-
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| | 0 || 0,51
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| |-
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| | 3 || 1,33
| |
| |-
| |
| | 6 || 2,74
| |
| |-
| |
| | 9 || 4,91
| |
| |-
| |
| | 12 || 8,00
| |
| |-
| |
| | 15 || 12,17
| |
| |-
| |
| | 18 || 17,58
| |
| |}
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| '''Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie viel Zentimeter pro Sekunde die Wasserhöhe in einem Zeitabschnitt im Schnitt zunimmt.'''
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| ''Bsp.''<br /> In den drei Sekunden zwischen Sekunde 6 und 9 steigt das Wasser um 4,91 cm - 2,74 cm = 2,17 cm. Daher nimmt das Wasser pro Sekunde um 2,17 cm : 3 s = 0,72 cm/s zu. Die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 6 und Sekunde 9 beträgt daher 0,72 cm pro Sekunde (abgekürzte Schreibweise: 0,72 cm/s)<br /><br />
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| {{Aufgaben-M|1| | |
| Berechnen Sie anhand der obigen Tabelle und mit dem Taschenrechner oder PC die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Zeitabschnitten:<br />
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| a) in den ersten drei Sekunden<br />
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| b) zwischen Sekunde 3 und 6<br />
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| c) zwischen Sekunde 15 und 18<br />
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| d) zwischen Sekunde 3 und 12<br />
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| e) in den ersten 18 Sekunden<br />
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| }} | |
| :{{Lösung versteckt|1=
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| a) In den ersten drei Sekunden steigt die Wasserhöhe um 1,33 cm - 0,51 cm = 0,82 cm. Pro Sekunde steigt es daher um 0,82 cm : 3 s = 2,73 cm/s.<br />
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| b) In den drei Sekunden von Sekunde 3 auf Sekunde 6 nimmt die Wasserhöhe um 2,74 cm - 1,33 cm = 1,41 cm zu. Die mittlere Änderungsrate ist daher 1,41 cm : 3 s = 0,471 cm/s.<br />
| |
| c) Zwischen Sekunde 15 und 18 liegen wiederum 3 Sekunden. In diesem Zeitraum steigt das Wasser um 17,58 cm - 12,17 cm = 4,17 cm. Pro Sekunde nimmt das Wasser in diesem Zeitraum daher um 4,17 cm : 3 s = 1,389 cm/s zu.<br />
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| d) Bei Sekunde 3 beträgt die Wasserhöhe 1,33 cm, während sie bei Sekunde 12 genau 8 cm beträgt. In diesen 9 Sekunden ist die Wasserhöhe also um 8 cm - 1,33 cm = 6,67 cm gesteigen. Die mittlere Änderungsrate zwischen Sekunde 3 und 12 beträgt daher 6,67 cm : 9 s = 0,741 cm/s.<br />
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| e) Das Wasser nimmt in den ersten 18 Sekunden um 17,58 cm - 0,51 cm = 17,07 cm zu. Die mittlere Änderungsrate beträgt in diesem Zeitintervall daher 17,07 cm : 18 s = 0,948 cm/s.<br />
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| | |
| }}
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| <br /><br />
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| Möchte man nun für einen Zeitpunkt (z.B. Sekunde 12) eine Änderungsrate bestimmen, so spricht man von der '''momentanen Änderungsrate'''. Wie man die momentane Änderungsrate näherungsweise bestimmen kann, erfahren Sie in Aufgabe 2.
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| <br /><br />
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| {{Aufgaben-M|2| | |
| Um näherungsweise die momentane Änderungsrate für Sekunde 12 zu erhalten, bestimmen Sie mit Hilfe der Schieberegler des Applets und mit Hilfe des Taschenrechners bzw. PCs die mittlere Änderungsrate ...<br />
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| a) ... zwischen Sekunde 12 und 15<br />
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| b) ... zwischen Sekunde 12 und 14<br />
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| c) ... zwischen Sekunde 12 und 13<br />
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| d) ... zwischen Sekunde 12 und 12,5<br />
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| e) ... zwischen Sekunde 12 und 12,3<br />
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| f) ... zwischen Sekunde 12 und 12,1<br />
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| g) ... zwischen Sekunde 12 und 12,05<br />
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| h) Schätzen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) - g), welches Ergebnis für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 Ihnen plausibel erscheint.<br />
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| }}
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| <popup name="Applet">
| |
| <ggb_applet width="559" height="590" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| </popup>
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| <br />
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| a) Bei Sekunde 12 beträgt die Wasserhöhe genau 8 cm, während das Wasser bei Sekunde 15 die Höhe 12,167 cm hat. In den drei Sekunden ist es also um 12,167 cm - 8 cm = 4,167 cm gestiegen. Die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitabschnitt beträgt daher 4,167 cm : 3 s = 1,389 cm/s.<br />
| |
| b) 10,648 cm - 8 cm = 2,648 cm => 2,648 cm : 2 s = 1,324 cm/s<br />
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| c) 1,261 cm/s<br />
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| d) 1,2302 cm/s<br />
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| e) 1,218 cm/s<br />
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| f) 1,206 cm/s<br />
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| g) 1,204 cm/s<br />
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| h) Der Wert scheint gegen 1,2 cm/s zu streben.<br />
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| }}
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| <br /><br />
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| {{Aufgaben-M|3|
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| Die Höhe des Wasserstandes der bisher betrachteten Vase kann mit der Funktion <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math> beschrieben werden. Hierbei gibt <math>w(t)</math> die Höhe des Wasserstandes in cm zu einem Zeitpunkt <math>t</math> (in Sekunden) an.<br />
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| a) Bestimmen Sie den Näherungswert für die momentane Änderungsrate noch genauer, indem Sie mit Hilfe der Funktionsvorschrift die mittlere Änderungsrate im Zeitabschnitt von Sekunde 12 bis 12,001 bestimmen.<br />
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| b) Beschreiben Sie, wie Sie vorgehen müssten, um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate bei Sekunde 12 zu erhalten.<br />
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| a)<br />
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| <math>w(12)=0,001(12+8)^3=8</math><br />
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| <math>w(12,001)=0,001(12,001+8)^3=8,00120006</math><br />
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| => Höhenzunahme: <math>8 cm - 8,00120006 cm = 0,00120006 cm</math><br />
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| => mittlere Änderungsrate: <math>0,00120006 cm : 0,001 s = 1,20006 cm/s</math><br />
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| b) Der Zeitabschnitt für die mittlere Änderungsrate müsste immer kleiner gewählt werden, z.B. zwischen Sekunde 12 und 12,00001 usw.<br />
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| }} | |
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| == Von der Sekanten- zur Tangentensteigung ==
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| ===== Barringer-Krater =====
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| Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|k(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|k(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine solche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man '''Sekante'''. <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k(x_1)-k(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die '''Sekantensteigung'''.
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| {{Aufgaben-M|1|
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| Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind:
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| <math>x_1-x_0</math> und <math>k(x_1)-k(x_0)</math>
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| ''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
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| }}
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| <popup name="Applet">
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| <ggb_applet width="650" height="500" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| </popup>
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| <popup name="Lösung">
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| <ggb_applet width="650" height="500" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| </popup>
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| <br>
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| In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
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| <br>
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| {{Kasten_blau| | |
| Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten. Wenn nun der Punkt B immer weiter dem Punkt A angenähert wird und bei diesem Prozess letztendlich der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, so berührt die Gerade den Graphen nur noch in einem Punkt, dem sogenannten Berührpunkt. Diese Gerade nennt man nun nicht mehr Sekante (da es keine zwei Schnittpunkte mehr gibt), sondern '''Tangente an den Graphen der Funktion k im Punkt A'''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an.
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| }} | |
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| {{Aufgaben-M|2|
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| Vollziehen Sie den beschrieben Übergang von der Sekante zur Tangente im obigen Applet nach.
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| }}
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| ==== Verallgemeinerung ==== | |
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| Die Überlegungen, die wir für die Kraterfunktion angestellt haben, kann man auch für andere Funktionen durchführen.
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|3|
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| Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.
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| * Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und C(1,5<nowiki>|</nowiki>f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 3.
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 2.
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|4|
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| Wir betrachten weiterhin die Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math>.
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| * Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1<nowiki>|</nowiki>f(1)) und B(2<nowiki>|</nowiki>f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| * Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>.
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| * Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>.
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| * Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
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| {{Kasten_blau|
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| Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
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| }}
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| }}
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| <br><br>
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| Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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| {{Aufgaben-M|5|
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| * Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, <math>x_0+h</math>, <math>f(x_0+h)</math>,
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| <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> zu finden sind.
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| * Geben Sie eine Formel für die Sekantensteigung für eine Funktion f an, wenn die Sekante durch die Punkte A(x<sub>0</sub><nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)) und A(x<sub>0</sub>+h<nowiki>|</nowiki> f(x<sub>0</sub>)+h) gehen soll.
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| * Welches rechnerische Problem ergibt sich, wenn man in dieser Formel einfach h<nowiki>=</nowiki> 0 setzen würde.
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| }} | | }} |
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| | =={{int:license-header}}== |
| <br><br>
| | {{self|cc-by-sa-4.0}} |
| | |
| :{{Lösung versteckt|1=
| |
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| <br ><br>
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| {{untersuchen|}} Vollziehen sie im Applet den Übergang von der Sekante zur Tangente nach. Wie ändert sich dabei h?
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| * Sekantensteigung <math>m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| * Man würde durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist. Daher können wir zur Bestimmung der Tangensteigung nicht einfach h gleich 0 setzen, sondern können nur einen Grenzwert betrachten, indem wir h immer kleiner werden lassen und so der 0 annähern.
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|6| | |
| Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
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| Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n}</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...)
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| ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
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| Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1<nowiki>|</nowiki>1). Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorherigen Aufgaben.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1= | |
| Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>.
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| Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
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| }}
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| :{| class="wikitable"
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| !'''n''' !! '''h''' !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m'''
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| |-
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| | 0 || 1|| 2 || 3
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| |-
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| | 1 || 0,1 || 1,1 || 2,1
| |
| |-
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| | 2 || 0,01 || 1,01 || 2,01
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| |-
| |
| | 3 || 0,001 || 1,001 || 2,001
| |
| |-
| |
| | 4 || 0,0001 || 1,0001 || 2,0001
| |
| |-
| |
| | 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001
| |
| |}
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| {{Aufgaben-M|7| | |
| * ''das gleiche mit einer anderen Funktion''
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| * ''irgendwas zur zeitlichen und inhaltlichen Differenzierung''
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| }}
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| == Differenzenquotient ==
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| {{Aufgaben-M|1|
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| Erläutern Sie die Vorgehensweise im Abschnitt "Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate" und im Abschnitt "Von der Sekanten- zur Tangentensteigung". Vergleichen Sie dabei die Vorgehensweisen und arbeiten Sie Gemeinsamkeiten heraus.
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| }}
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| Plenumsphase?
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| Möglicher Inhalt:
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| Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
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| == Differentialquotient ==
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| {{Kastendesign1|
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| BORDER = #97BF87|
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| BACKGROUND = #AADDAA|
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| BREITE =100%|
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| INHALT= Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten
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| Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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| BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
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| ÜBERSCHRIFT=Information|
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| }}
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
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| * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt,
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| * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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| <br><br>
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| <ggb_applet width="650" height="500" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br><br />
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| {{Protokollieren|}}Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
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| <br>
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| {{Aufgaben-M|17|
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| Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
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| }}
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| Andere Schreibweise:
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| Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
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| {{Aufgaben-M|18|
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| Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| <br><br>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| <br><br>
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| <ggb_applet width="650" height="500" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br> <br>
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| {{untersuchen|}} Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
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| }}
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| <br /><br />
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| {{Aufgaben-M|19|
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| Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben:
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1]
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
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| }}
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| <br>
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| {{Aufgaben-M|8|
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| ''Rohfassung'' Betrachten Sie noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben:
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| * Was waren die Problemstellungen?
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| * Was waren die ersten Lösungsansätze?
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| * Wie sieht die mathematische Lösung aus?
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| }}
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| == Ableitungsfunktion ==
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| {{Aufgaben-M|20|
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| Die Füllhöhe der Blumenvase aus der Einstiegsaufgabe ist gegeben durch <math>w(t)=0,001(t+8)^3</math>.
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| * Berechnen Sie (wie in der vorherigen Aufgabe) die Steigung der Tangenten an den Graphen von w an der Stelle ?.
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| * Berechnen Sie (wie in der vorherigen Aufgabe) die Steigung der Tangenten an den Graphen von w zu einem allgemeinen Zeitpunkt t<sub>0</sub>.
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| }}
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| Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösung.
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| {{Aufgaben-M|21|
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| Die Höhe des Kraters aus der Einstiegsaufgabe wird duch die Funktion <math>k(x)=0,002x^2</math> beschrieben.
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| * Berechnen Sie (wie in der vorherigen Aufgabe) die Steigung der Tangenten an den Graphen von k an der Stelle ?.
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| * Berechnen Sie (wie in der vorherigen Aufgabe) die Steigung der Tangenten an den Graphen von k an einer allgemeinen Stelle x<sub>0</sub>.
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| }}
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| Treffen Sie sich mit einem weiteren Lernteam und vergleichen Sie Ihre Lösung.
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Ableitungsfunktion]
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| ''Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.''
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| Kontext plus Übung
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| ''Diagnoseinstrument''
| | [[Kategorie:Englisch]] |
