Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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|{{Lernpfad-M|[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.}} | |{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}} | ||
[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist. | |||
<br>'''Voraussetzungen: ''' | |||
<br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden | |||
<br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}} | |||
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==Das Flächenproblem== | ==Das Flächenproblem== | ||
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| | |Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können. | ||
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]? | *Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]? | ||
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]? | *Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]? | ||
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==Unter- und Obersumme== | ==Unter- und Obersumme== | ||
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*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme] | *Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme] | ||
*'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². | *'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x². | ||
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#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme. | #Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme. | ||
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an. | #Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an. | ||
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<popup name="Lösung"> | |||
Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit. <br>Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte: | |||
x | 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 | |||
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f(x)| 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625 4 | |||
Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br> | |||
S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br> | |||
Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br> | |||
s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br> | |||
'''Mittelwert: 5,375''' | |||
</popup> | |||
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm GeoGebra] | *Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm GeoGebra] | ||
==Das bestimmte Integral== | ==Das bestimmte Integral== | ||
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral". | |||
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}} | |||
*Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | ||
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}} | *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst! | ||
==Flächenberechnung== | ==Flächenberechnung== | ||
[[bild:Int_abb2a.png|220px|right]] | |||
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra | *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra | ||
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"] | * Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]! | ||
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra. | *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]! | ||
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* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest. | * Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest. | ||
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen? | *Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen? | ||
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt | *Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}. | ||
==Zusätzliche Übungsaufgaben== | ==Zusätzliche Übungsaufgaben== | ||
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm Integration mit unbekannten Grenzen] | *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm Integration mit unbekannten Grenzen] | ||
==Für Interessierte== | ==Für Interessierte== | ||
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm | *Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis] | ||
*Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung. | |||
*Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele. | |||
{{Mitgewirkt| | {{Mitgewirkt| | ||
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] | *[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] | ||
*[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]]}} | *[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]]}} | ||
{{SORTIERUNG:Einführung in die Integralrechnung}} | |||
[[Kategorie:Integralrechnung|!]] | |||
[[Kategorie:Mathematik in der Oberstufe]] |
Version vom 30. Mai 2012, 18:24 Uhr
Vorlage:Lernpfad-M |
Das Flächenproblem
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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Unter- und Obersumme
- Begriffsklärung Unter- und Obersumme
- Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
- Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
- Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
- Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
- Lösung:
<popup name="Lösung">
Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit.
Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:
x | 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 ----------------------------------------------------------- f(x)| 0 0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625 4
Für den Flächeninhalt der Obersumme gilt:
S = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + .....f (4) 0,5 = 0,5 f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375
Für den Flächeninhalt der Untersumme gilt:
s = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + .....f (3,5) 0,5 = 4,375
Mittelwert: 5,375 </popup>
- Berechnung von Unter- und Obersummen mit GeoGebra
Das bestimmte Integral
- Informiere dich im Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
- Auf dem Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! Lösung
- Berechne: ; ;
- Überprüfe die Lösung mit folgendem Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
Flächenberechnung
- Aufgaben zur Flächenberechnung mit Geogebra
- Kläre die Bedeutung des Begriffs "negativer Flächeninhalt"!
- Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!
Integralfunktion
- Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
- Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
- Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Arbeitsblatt "Die Integralfunktion".
Zusätzliche Übungsaufgaben
Für Interessierte
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit ausführlichem Beweis
- Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
- Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.