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| {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}} | | {{Navigation verstecken|{{Einführung in die Differentialrechnung}}}} |
| | Sie haben für diesen Abschnitt 15 Minuten Zeit. |
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| __NOTOC__
| | {{Box|1=Merke|2= |
| | Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten: |
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| == Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden == | | Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> |
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| [[Datei:Direction-1019747 1920.jpg|200px|rechts|Gerade]]
| | Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet. |
| In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann. <br />
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| Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
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| '''In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.'''
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| == Sind solche Geraden überhaupt relevant? ==
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| Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.
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| <center>{{LearningApp|app=pdz69nvsn01|width=900px|height=700px}}</center>
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| ==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
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| '''Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.'''
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
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| Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.
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| Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war.
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| Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.
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| Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?
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| </div>
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| == Lineare Funktion - Funktionsterm ==
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| Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist:
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| <math>f(x) =m\cdot x.</math>
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| Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
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| Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!
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| <center><span> </span>
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| <span></span><div id="ggbContainera9707ec989d2032ee4d76bdebda82543"></div><span></span></center>
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| [[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen]]
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| [[File:Feuerwerks-gif.gif|230px|right|Feuerwerks-gif]]
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| '''Ergebnis:'''
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| Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben werden.
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| Alle diese Funktionen, deren <span style="color:blue; font-size:1em">Graph eine Gerade</span> ist <br>und deren Funktionsgleichung die Form <math>\color{blue} f(x)=m\cdot x+t</math>
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| heißen <span style="color:orange; font-size:1.5em">lineare Funktionen.</span>
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| {{clear}}
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| {{Box|1=Merke|2=
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| Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">'''lineare Funktion'''.</span>
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| Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.
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| <center>[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]</center>
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| *Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden.
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| *<span style="color:darkgreen">'''m'''</span> bezeichnet die <span style="color:darkgreen">'''Steigung der Geraden.'''</span><br><br>
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| *Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>/y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>/y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.
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| '''Beispiel'''
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| Bei obiger Gerade gilt:
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| * y-Achsenabschnitt: <math>\color{red}t=3</math>
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| * Steigung: <math>\color{OliveGreen}m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
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| Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>\color{blue}f(x)=0,5x+3</math>'''
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| |3=Merksatz}} | | |3=Merksatz}} |
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| | Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) |
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| == Übungen zum Verständnis ==
| | * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt, |
| | | * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man im Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert. |
| {{Box|10. Ordne zu|
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| Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!
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| |Üben}}
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| <center>{{LearningApp|app=pbuumpt6101|width=800px|height=500px}}</center> | |
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| <span style="color:green">(leicht)</span> | |
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| {{Box|Aufgabe 6|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.
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| *"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion." | |
| *"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."|Arbeitsmethode}}
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| {{Lösung versteckt|
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| Aussage 1 ist falsch.
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| <u>Grund: </u>Der Graph einer linearen Funktion kann '''irgendeine''' Gerade sein, die nicht durch den Ursprung verlaufen muss. Wenn der Graph aber nicht durch den Ursprung verläuft, kann er nicht zu einer proportionalen Funktion gehören. | |
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| Aussage 2 ist richtig.
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| <u>Grund: </u>Der Graph jeder proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade. Da eine Ursprungsgerade natürlich auch eine Gerade ist, ist die Funktion, zu der der Graph gehört auch eine lineare Funktion.<br> | |
| <br> | | <br> |
| Text zum Verstecken}}
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| {{Box|11. Finde die Funktionsgleichung!|
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| Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.
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| |Üben}}
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| <center>{{LearningApp|app=pt90oidw501|width=700px|height=600px}}</center>
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| <span style="color:green">(nicht ganz ohne)</span>
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| ==''--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---''==
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| Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m<sup>3</sup> und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde. <br>Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?<br><br>
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| <span style="color: blue">Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!</span>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">
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| 1. Version der Aufgabe - '''mittlerer Schwierigkeitsgrad'''
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| [[Datei:Sport-1013938 1920.jpg|150px|Balance mit Stab]]
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| {{Lösung versteckt|1=
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| {{Aufgabe|1=
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| a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!
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| {{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.
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| {{Lösung versteckt|Das Bergwerk ist leer, wenn kein Wasser mehr drin ist... ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.
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| {{Lösung versteckt|Du benötigst die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Welches Vorzeichen hat die Steigung? ;)
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| |Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit <math>t=12h</math>?
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| [[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
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| {{Lösung versteckt|
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| Der rote Graph stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
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| *Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
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| *Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
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| Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math>
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| ''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''
| | Im folgendem [https://www.geogebra.org/m/mQSKUdzQ Applet] |
| }}
| | können Sie den Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten nachvollziehen. |
| }}
| | <ggb_applet id="mQSKUdzQ" width="100%" height="450" border="888888" /> |
| }}
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| </div> | |
| <div class="width-1-2">
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| 2. Version der Aufgabe - '''hoher Schwierigkeitsgrad'''
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| [[Datei:Sport-1013936 1920.jpg|150px|Balance]]
| | '''Übertragen Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer geeigneten Skizze in Ihr Heft.''' |
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| {{Lösung versteckt|1=
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| {{Aufgabe|1=
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| a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.
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| {{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!
| | {{Box|1=Aufgabe 12|2= |
| {{Lösung versteckt|Die Wassermenge wird weniger! ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | | Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.|3=Arbeitsmethode}} |
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| c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?
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| {{Lösung versteckt|1. Lösung mit Hilfe des Graphen
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| 2. Lösung nur mit Hilfe der Funktionsgleichung|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
| | '''Testen''' |
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| {{Lösung versteckt|1=
| | Sie sollten nach dem Test sagen können: |
| [[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
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| Der rote Graph im oberen Schaubild stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
| |
| *Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
| |
| *Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.
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| Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
| | Ich kann die Bedeutung von Differenzenquotienten und des Differentialquotienten erklären. |
| ''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''<br><br>
| | Ich kann erklären, wie man mit Hilfe von Differenzenquotienten den Differentialquotienten annähern kann. |
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| Nach 12 Stunden ist das Bergwerk vom Wasser befreit.
| | <div class="zuordnungs-quiz"> |
| <math>f(t)=-150t+1800</math> und wenn das Wasser weg ist gilt: <math>f(t)=0</math>, also <math>-150t+1800=0</math>. | |
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| Auflösung der Gleichung liefert: <math>t=12</math>
| | Ordnen Sie die Ausdrücke unten den richtigen Oberbegriffen zu. |
| }} | | {| |
| }} | | | Differenzenquotient || Sekantensteigung || Durchschnittsgeschwindigkeit || mittlere Änderungsrate || <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>|| <math>\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> |
| }}
| | |- |
| | | Differentialquotient || Tangentensteigung || Momentangeschwindigkeit || <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} </math> || momentane Änderungsrate |
| | |} |
| </div> | | </div> |
| </div>
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| '''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!'''
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| {{Fortsetzung|weiter=Zur Übung|weiterlink=/Übung}}
| | Wenn Sie mehr als zwei falsche Zuordnungen gemacht haben, sollten Sie vor der Weiterarbeit noch einmal die Definitionen und Zusammenhänge der Begriffe wiederholen. |
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| | {{Fortsetzung|weiter=Die Ableitungsfunktion|weiterlink=Einführung in die Differentialrechnung/Die Ableitungsfunktion}} |
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| [[Kategorie:Mathematik]] | | [[Kategorie:Mathematik]] |
| [[Kategorie:Funktionen]] | | [[Kategorie:ZUM2Edutags]] |
| [[Kategorie:Lineare Funktion]] | | [[Kategorie:Differentialrechnung]] |
| | [[Kategorie:Interaktive Übung]] |
| [[Kategorie:R-Quiz]] | | [[Kategorie:R-Quiz]] |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]] | | [[Kategorie:Sekundarstufe 2]] |
| [[Kategorie:LearningApp]] | | [[Kategorie:GeoGebra]] |
| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
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| <metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,Lernpfad,Lineare Funktionen,Lineare Funktion</metakeywords>
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