Potenzfunktionen - 1. Stufe und Chaos und Fraktale: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Babel-1|M-digital}}
[[Potenzfunktionen|Start]] -[[Potenzfunktionen_Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen_1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen_5. Stufe|5. Stufe]]
{{Kasten Mathematik|
</div>
Dieses Themengebiet wurde für den '''Mathe-Tag''' an der '''Universität Würzburg''' ausgearbeitet.  Die Sieger der Fümo-Mathematik-Olympiade durften einen Tag an der Uni verbringen um gemeinsam  mit Professoren und Lehrern unterhaltsame und interessante Themen der Mathematik zu entdecken. Drei Kurse wurden in einem Stationenbetrieb durchlaufen (jeweils 1 Stunde). Kurs 1 war ein Lernpfad im Computerraum. Die Themenstellungen in Kurs 2 und Kurs 3 wurden mit Schüler anhand von Arbeitsblättern erarbeitet.
;Hinweis
Es empfiehlt sich die Links in einem neuem Fenster öffnen. Halte dazu die Shift-Taste gedrückt, wenn du auf den Links klickst.}}


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
== Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv ==
=== Gerade Potenzen ===
Informiere dich [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node3.htm hier] über die Begriffe Chaos und Fraktale.


'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.


{| cellspacing="10"
=== Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel ===
|- style="vertical-align:top;"
Öffne das folgenes [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
* Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
# Beschreibe die Graphen! Achte dabei auf
* Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
#* Symmetrie
* Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
#* Monotonie
*Woher kommt der Name [[Pythagorasbaum]]?
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br>
<pre>
HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k * x) = (kx)^n = k^n * x^n = k^n *f(x)</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_gerade_xn.ggb" />
|}


=== Ungerade Potenzen ===
=== Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel===
Verändere nun in dem [http://mathematica.ludibunda.ch/Fractale-de2.html  Applet] auch den Winkel:
*Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
*Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
*Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?
===Spielen im pythagoräischen Garten ===
Durch ziehen am roten Punkt dieses [http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytree/pytree.html Applets] kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?


'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
=== Farne ===
[[bild:Farn.jpg|Farn|left]]
Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.<br>
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes [http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/fraktaler_baum.html Applet].<br>
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken. <br>
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.
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{| <!--class="prettytable sortable" -->
=== Weitere Informationen ===
|-  style="vertical-align:top;"
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/PythagorasbaumApplet.html Bunter Baum]
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
*[http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/04_01/pythagorasfraktal.htm Phythagoras-Baum FH Friedeberg]
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
*[http://www.connect-ed.de/~ernstgro/fraktale/DrachenApplet.html Applet bis Stufe 12]
||
*[http://www.pk-applets.de/fra/folgen/folge3.html Weitere Farne]
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Pythagoras_Baum.html Applet]
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
*[http://www.mathe-knapp.de/Applet-Galerie/Bunter%20Pythagorasbaum.html Applet 90°, 3 variable Punkte]
#* Symmetrie
*[http://md-martin.de/schule/informatik/Applets/Applets/Igel/PythagorasBaum.html Applet, Länge, Winkel variabel]
#* Monotonie
Anwendungen<br>
#* größte und kleinste Funktionswerte
*[http://www.quarks.de/dyn/3955.phtml Chaos und Verkehr]
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
*[http://www.quarks.de/dyn/3882.phtml Chaos und Wetter]
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
*[http://www.quarks.de/dyn/3894.phtml Lebendiges Chaos]
}}
*[http://www.quarks.de/dyn/3903.phtml Ordnung im Chaos (Küstenlinien, Börsenkurse, Apfelmännchen)]
|}
*[http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/pages/node5.htm Operationen am Farnblatt]


=== Teste dein Wissen ===
== Kurs 2: Drachenfalten einmal anders ==
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
*{{pdf|Drachenfalten_Mathetag.pdf}} Arbeitsblätter zu Kurs 2
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
*{{pdf|Drachenfalten_Lösung.pdf}} Lösung
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
'''Weitere Links'''
:{{Lösung versteckt|
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/entw/entw.htm Animation bis Stufe 4]
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f (2) = 2^5 = 32</math>.<br>
*[http://www.oberleitner.de/martin/chaos/stuf/dr01.htm Farbiges Applet bis Stufe 14]
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f (1,5) = 2^3 = 3,375</math>.
*[http://did.mat.uni-bayreuth.de/~alfred/Dragon/d1.html Applet]
}}
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra15.gif Stufen 1 - 5]
}}
*[http://www.cevis.uni-bremen.de/education/PapDra67.gif Stufe 6 und 7]


== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==
== Kurs 3: Dreimal Sierpinski ==
 
'''Arbeitsblätter mit Lösungen'''
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
*{{pdf|Sierpinski_Mathetag.pdf}} Arbeitsblätter
 
*{{pdf|Sierpinski_Lösung.pdf}} Lösung
{| <!--class="prettytable sortable"-->
'''Weitere Links'''
|-  style="vertical-align:top;"
*[http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/fgalerie/fraktale/sierpinski_dreieck.html Sierpinski Dreieck, Eckpunkte variierbar, bis Stufe 6]
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
*[http://www.jjam.de/Java/Applets/Fraktale/Sierpinski_Dreieck.html Sierpinski Dreieck Stufen unbegrenzt]
# Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a*x<sup>2</sup>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
*[http://matheuropa.lfs-koeln.de/pascal/muster.htm Pascalsches Dreieck]
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>n</sup> bei der Veränderung des Parameter a ! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/sierpinski.htm noch mehr Sierpinski]
}}
*[http://www.virtuelle-schule-de.bnv-bamberg.de/vmu1/mathevs/pascal.htm Pascal und Sierpinski]
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
Maria Eirich und Andrea Schellmann, 21.07.2006
filename="4_axn.ggb" />
 
|}
 
 
{| <!--class="prettytable sortable"-->
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
}}
|}
 
=== Teste Dein Wissen ===
 
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]

Version vom 29. Januar 2007, 22:23 Uhr

Vorlage:Babel-1 Vorlage:Kasten Mathematik

Kurs 1: Chaotische Bäume interaktiv

Informiere dich hier über die Begriffe Chaos und Fraktale.

Fraktale sind also geometrische Formen, deren Struktur sich immer wieder - allerdings verkleinert - wiederholt. Vergrößert man umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen.

Pythagoras-Baum mit 60°-Winkel

Öffne das folgenes Applet in einem neuen Fenster und beantworte die folgenden Arbeitsaufträge:

  • Durch mehrmaliges Klicken auf "Draw" entsteht eine Figur. Beschreibe diese Figur. Wie sieht sie aus?
  • Lösche die Figur mit der Reset-Taste. Lasse nun nur die erste Stufe anzeigen. Aus welchen geometrischen Formen ist sie aufgebaut? Beschreibe diese möglichst genau! Wo ist der 60°-Winkel zu finden?
  • Lasse die Figur jetzt Stufe für Stufe zeichnen und beschreibe jeweils, wie jede weitere Stufe aus der vorhergehenden entsteht.
  • Woher kommt der Name Pythagorasbaum?

Pythagoras-Baum und verschiedene Winkel

Verändere nun in dem Applet auch den Winkel:

  • Untersuche die Bäume für 10° und 80°. Welcher Zusammenhang besteht?
  • Bei welchem Winkel wird der Baum achsensymmetrisch?
  • Wie verändert sich das Aussehen der Bäume bei Winkeln zwischen 1° und 45°?

Spielen im pythagoräischen Garten

Durch ziehen am roten Punkt dieses Applets kannst du den Pythagorasbaum verändern. Findest du den Broccoli?

Farne

Farn

Es gibt auch Fraktale, die Ähnlichkeit mit einem Farn haben.
Eine Möglichkeit diese Pflanzen nachzubilden zeigt folgendes Applet.
Die Ausgangsfigur besteht hier jeweils aus Strecken.
Versuche durch Ziehen an den Endpunkten das folgende Bild zu erzeugen.

















Weitere Informationen

Anwendungen

Kurs 2: Drachenfalten einmal anders

Arbeitsblätter mit Lösungen

  • Pdf20.gif 1 Arbeitsblätter zu Kurs 2
  • Pdf20.gif 1 Lösung

Weitere Links

Kurs 3: Dreimal Sierpinski

Arbeitsblätter mit Lösungen

  • Pdf20.gif 1 Arbeitsblätter
  • Pdf20.gif 1 Lösung

Weitere Links

Maria Eirich und Andrea Schellmann, 21.07.2006