Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Abschlusstest

Du bist nun am Ende des Lernpfades zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung angekommen.

Um dein Wissen über Wahrscheinlichkeiten zu testen, bearbeite alle Aufgaben des folgenden Abschlusstest, der durchmischt Aufgaben zu allen Themen dieses Lernpfades erhält.

Die Lösungen enthalten nur die Antworten, jedoch nicht den Lösungsweg, sondern ein Hinweis zu dem Themengebiet, den du wiederholen solltest, falls die jeweilige Aufgabe noch nicht so gut geklappt hat.

Abschlusstest

Aufgabe 2

Zuordnung
Bestimme, ob es sich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente handelt oder nicht.

Zufallsexperiment	Eine Karte aus einem Kartenstapel ziehen	Wettervorhersage	Glücksrad drehen	Eine Person befragen, welche Partei sie wählen wird
kein Zufallsexperiment	Hütchenspielen	Testen wann Wasser zu kochen beginnt

Aufgabe 3

Bei dem jährlichen Schulfest findet eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65 schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

a) eine schwarze Kugel zu ziehen?

b) keine rote Kugel zu ziehen?

c) eine rote oder weiße Kugel zu ziehen?

<popup name="Lösung">

a) P("schwarze Kugel") = 0,7558 => 75,58%

b) P("keine rote Kugel") = 0,7907 => 79,07%

c) P("weiße oder rote Kugel") = 0,2442 => 24,42%

</popup>

Aufgabe 4

Man wählt eine zufällige Zahl zwischen 13 und 53. Gib die Ereignismenge und die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:

a) Die Zahl ist ungerade

b) Die Zahl ist durch 4 teilbar

c) Die Zahl ist eine Primzahl und gerade

d) Die Zahl enthält die Ziffer 5

<popup name="Lösung"> Lösung für a):

A: Eine ungerade Zahl wird gezogen

A = {13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53}

P(A) = 0,5122 => 51,22%

Lösung für b):

B: Eine Zahl wird gezogen, die durch 4 teilbar ist

B = {16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52}

P(B) = 0,2439 => 24,39%

Lösung für c):

C: Eine Zahl wird gezogen, die Primzahl ist und gerade

C = { }

P(C) = 0

Lösung für d):

D: Die Zahl die gezogen wird, enthält die Ziffer 5

D = {15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53}

P(D) = 0,1951 => 19,51% </popup>

Aufgabe 5

In einer Box sind 12 verschieden farbige Kugeln, darunter befindet sich eine rote Kugel.

a) Es werden nacheinander vier Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich die rote Kugel nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Nächstes die rote Kugel zu ziehen?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im vierten Zug die rote zu ziehen, wenn die drei zuvor gezogenen Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden?

<popup name="Lösung"> Lösung für a):

P("rote Kugel ziehen") = 0,125 => 12,5%

Lösung für b):

P("rote Kugel ziehen") = 0,0833 => 8,33% </popup>

Aufgabe 6

Ein nicht fairer Würfel mit den Augenzahlen 1-4 hat bei 500 Testdurchläufen folgende Daten geliefert:

Augenzahl	Eins	Zwei	Drei	Vier
Anzahl	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a) Wie häufig fällt die Augenzahl 3?

b) Wie häufig fällt eine gerade Augenzahl?

c) Wie wahrscheinlich ist es, dass nicht die 1 fällt?

<popup name="Lösung">

a) P(A) =

b) P(B) =

c) P(C) =

</popup>

Aufgabe 7

Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

a) A: Es handelt sich um ein „E“.

b) B: Es handelt sich um einen Konsonanten.

c) C: Es handelt sich um einen Vokal.

<popup name="Lösung">

a) P(A) = 0,1176

b) P(B) = 0,647

c) P(C) = 0,3529

</popup>

Aufgabe 8

In einem Würfelspielt steht folgende Spielregel: "Man werfe zwei Würfel und bilde die größtmögliche Zahl aus den beiden Augenzahlen" (Beispiel: Wenn man eine 2 und eine 4 würfelt, ist das die Zahl 42)

a) Gib den Ergebnisraum für dieses Spiel an.

b) Gib folgende Ereignismengen an:

1) A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.

2) B: Die Zahl enthält mindestens eine 4.

3) D: Die Zahl ist größer als 50.

<popup name="Lösung">

a) $\Omega$ = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 32, 42, 52, 62, 33, 43, 53, 63, 44, 54, 64, 55, 65, 66}

b)

1) A = {11, 22, 33, 44, 55, 66}

2) B = {41, 42, 43, 44, 54, 64}

3) C = {53, 54, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 66}

</popup>

Aufgabe 9

In einem Hut befinden sich 100 Lose. Davon sind 30 kleine Gewinne, 10 große Gewinne und 2 Hauptgewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

a) etwas zu gewinnen?

b) einen großen Gewinn zu ziehen?

c) keinen Hauptgewinn zu ziehen?

<popup name="Lösung">

a) P("Gewinn") = 0,42 => 42%

b) P("großer Gewinn") = 0,1 => 10%

c) P("kein Hauptgewinn") = 0,98 => 98%

</popup>

Aufgabe 10

Im Sommer 2009 gab es in Berlin folgende Zahlen an Schulabgängern:

Gesamtzahl	mit allgemeiner Hochschulreife	mit mittlerem Schulabschluss	Hauptschulabschluss	ohne Schulabschluss
24 600	11 600	6 400	4 500	2 100

Berechne die Wahrscheinlichkeit...

a) dass ein Schulabgänger im Jahr 2009 mit mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.

b) dass ein Schüler mit allgemeiner Hochschulreife oder mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.

c) dass ein Schüler mit Schulabschluss von der Schule gegangen ist.

<popup name="Lösung">

a) P("mittlerer Schulabschluss") = 0,2602 => 26,02%

b) P("Hochschuleife oder mittlerer Schulabschluss") = 0,7317 => 73,17%

c) P("Schulabschluss") = 0,9146 => 91,46%

</popup>

Aufgabe 11

<popup name="Lösung"> 4+3=7 </popup>

Aufgabe 12

Zwei Würfel werden geworfen und es wird anschließend die Summe der Augenzahlen notiert.

a) Gib den Ergebnisraum $\Omega$ für dieses Experiment an.

b) Warum ist dies kein Laplace-Experiment?

<popup name="Lösung"> Lösung für a):

= {2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Lösung für b): Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Ergebnisse aus der Ergebnismenge nicht gleichwahrscheinlich sind.

So hat die Augensumme 2 nur eine Kombination der Würfel, die dazu führt (beide Würfel zeigen eine 1). Daher gilt:

P("Augensumme 2") = $\frac{1}{36} = 0,0278$ => 2,78%

Die Augensumme 3 hat schon zwei mögliche Kombinationen, die zu dem Ergebnis führt (erster Würfel zeigt 1 und zweiter Würfel zeigt 2 | Erster Würfel zeigt 2 und zweiter Würfel zeigt 1)

P("Augensumme 3") = $\frac{2}{36} = 0,0556$ => 5,56%

=> Daher handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment </popup>