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Main>Katja Heimlich |
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| {{Quadratische Funktionen erkunden}} | | {{Lernpfad-M|<big>'''Brüche kürzen und erweitern'''</big> |
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| {{Box
| | ''Erweitern und Kürzen; gleichnamige Brüche; Größenvergleich von positiven rationalen Zahlen'' |
| |Info
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| |In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
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| #herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
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| #entdecken, welche Parameter es in der [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] quadratischer Funktionen gibt.
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| Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.
| | *'''Zeitbedarf:''' |
| |Hervorhebung1
| | *'''Material:''' |
| }} | | }} |
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| | {{Kurzinfo-1|M-digital}} |
| | ==Wiederholung == |
| | [[Bild:Comic_bruch.gif]] |
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| == Quadratische Funktionen verändern ==
| | Weißt du denn, was ein Bruch ist? |
| Wenn du dir die Bilder von der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen im Alltag|Quadratische Funktionen im Alltag]] noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x<sup>2</sup>) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
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| <gallery mode="packed-hover"><gallery mode="packed-hover">
| | Auf geht's, eine kleine Wiederholung kann niemandem schaden! |
| Datei:Golden-gate-bridge-388917 640.jpg
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| Datei:Planten un Blomen.JPG
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| Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg
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| Datei:Elbphilharmonie Hamburg.JPG
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| </gallery>
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| | ===Puzzle === |
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| | [[Bild:BildalsLinkzumPuzzle.jpg]] |
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| Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.
| | Ein kleines [http://www.lernpfad.ln0.de/puzzlehtml.htm Puzzlespiel] wird dir helfen herauszufinden, was alles zu einem Bruch gehört. |
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| | ===Quiz: Welcher Bruchteil ist blau gefärbt? === |
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| {{Video}} [http://www.dlr.de/portaldata/1/resources//webcast/dlr_parabelfluege_320x240.mp4 Video: Parabelflug des DLR]
| | Ein [http://www.lernpfad.ln0.de/Br%fcche%20zuordnen%20WDH/Bruchzuordnungsquiz.htm Quiz] zum Wiederholen, welche Bruchteile gezeigt werden. |
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| | ===Bruchteile kreativ anmalen === |
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| Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der {{pdf-extern|http://www.dlr.de/rd/Portaldata/28/Resources/dokumente/publikationen/Broschuere_Parabelflug_lowres.pdf|Broschüre}} des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.
| | ==Einführung Erweitern == |
| | .............. |
| | ===Suchbild === |
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| | [[Bild:Zahlenstrahl.png]] |
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| == Strecken, Stauchen und Spiegeln==
| | [http://www.lernpfad.ln0.de/Fehlersuchbild/fehlersuchbild.htm Starte Suchbild] |
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| {{Box
| | ===Bruchteile anmalen === |
| |Achtung
| | ... |
| |Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Normalform|die Parameter der Normalform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt '''"Verschiebung in x-Richtung"'''.
| | ===Zusammenhang zwischen bestimmten Brüchen === |
| |Hervorhebung1
| | Verstelle zuerst den Nenner und dann den Zähler. |
| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=2x^2</math>, (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math> und (3) <math>y=-x^2</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
| |
| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| | |
| '''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, als Funktion <math>f</math> eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph von <math>g</math> verändern. Was passiert?
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| <!--<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eK5MmMmb/width/700/height/500/border/888888" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>-->
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| {{Box
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| |Aufgabe
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| |In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
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| {{LearningApp|app=pm1vv0zbj16|height=375px}}
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| |Üben
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| }}
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| {{Box
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| |Knobelaufgabe
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| |Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
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| {{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
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| |Üben
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| }}
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| | |
| == Verschiebung in x-Richtung ==
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| {{Box
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| |Aufgabe
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=(x-2)^2</math> (2) <math>y=(x+2)^2</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| {{Lösung versteckt|Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die zwei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.}}
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| | |
| '''b)''' Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| }}
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| In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler d betätigen und dadurch den Graph verändern.
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| <!--<iframe scrolling="no" src="https://www.Lösung verstecktra.org/material/iframe/id/grh32PSP/width/800/height/487/border/888888" width="800px" height="487px" style="border:0px;"> </iframe>-->
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| <div class="box ueben">
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| == Aufgabe ==
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| '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.
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| '''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.
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| [[Datei:Verschiebung horizontal.JPG|rahmenlos|Gespräch horizontale Verschiebung|750px]]
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| '''b)''' Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion <math>y=(x+3)^2</math>.
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| {{Lösung versteckt|'''1.''' Zeichne eine Tabelle wie sie in Aufgabenteil a) dargestellt ist in deinen Hefter.
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| '''2.''' Füge zunächst nur die x-Werte hinzu, für die du die Tabelle erstellen möchtest - zum Beispiel von -6 bis 2.
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| '''3.''' Wie ist der Term <math>y=(x+3)^2</math> im Vergleich zu <math>y=x^2</math> verschoben? Schau dir an, mit welchem Trick Merle und Fabian die Tabelle in Aufgabenteil a) erstellt haben.}}
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| {{Lösung versteckt|Die Tabelle für <math>y=(x+3)^2</math> sieht wie folgt aus:
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| <!--
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| {| class="wikitable float left"
| |
| |- style="background-color:#FFFFFF"
| |
| | |
| | style="width:3em"|'''x'''||style="text-align:center"|-6 ||style="text-align:center"|-5 ||style="text-align:center"|-4 ||style="text-align:center"|-3 ||style="text-align:center"|-2 ||style="text-align:center"|-1 ||style="text-align:center"|0 ||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|2
| |
| | |
| |-
| |
| | style="width:3em"|'''y'''||style="text-align:center"|9 || style="text-align:center"|4||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|0 ||style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"|4 ||style="text-align:center"|9 ||style="text-align:center"|16 ||style="text-align:center"|25
| |
| | |
| |}-->
| |
| }}
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| </div>
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:
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| '''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
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| '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| | Findest du noch 2 weitere Bruchpaare, die den gleichen Wert haben? |
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| == Verschiebung in y-Richtung ==
| | Schreibe dir diese Brüche auf deinen Laufzettel. |
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| | <ggb_applet height="500" width="750" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Bruchteile_vergleichen.ggb" /> |
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| <div class="box ueben">
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| == Aufgaben ==
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| '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | ;[[Bild:Feststellung.gif]] Scheinbar sehen einige Brüche unterschiedlich aus, haben aber den gleichen Wert. |
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3</math> (2) <math>y=x^2-3</math> ?
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| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| {{Lösung versteckt|Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die beiden Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.}}
| |
| '''b)''' Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren? }}
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| In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler e betätigen und dadurch den Graph verändern.
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| <iframe scrolling="no" src="https://www.Lösung verstecktra.org/material/iframe/id/HcpKPj4G/width/677/height/550/border/888888" width="677px" height="550px" style="border:0px;"> </iframe>
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| </div> | | </div> |
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| {{Box
| | ....... |
| |Aufgaben
| |
| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | ==Erweitern == |
| | ... |
| | ===Wir gehen Pizza essen === |
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| Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.
| | ===Hinführung zur Rechnung === |
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| '''a)''' Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für folgende quadratische Funktionen:
| | ===Spiel: Welche Brüche gehören zusammen? === |
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| [[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]]
| | ===Mit welchen Zahlen darfst du erweitern? === |
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| {{Lösung versteckt|Nutze für die Abstände auf der x- und y-Achse jeweils 1 Kästchen und gehe in Einserschritten voran.}}
| | ===Spiel: Lückensätze === |
| | <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;"> |
| | ;[[Bild:Comic_Merke.gif]] Ein Bruch wird erweitert, indem man den Zähler und den Nenner mit der selben Zahl multipliziert. |
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]}}
| | Beispiel: <math>\frac{1}{3}=\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{5}{15}</math> |
| | |
| '''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1) y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4) y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp.
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| | |
| {{Lösung versteckt|[[Datei:Beispiel-Tipp Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|600px|Beispiel-Tipp]]}}
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| |Üben
| |
| }}
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| <div class="box ueben">
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| == Aufgabe ==
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| '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.
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| | |
| [[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]]
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| {{Lösung versteckt | |
| |Schaue dir noch einmal die [https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln/binomische-formeln Binomischen Formeln] an.
| |
| }}
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| {{Lösung versteckt
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| |Die Terme <math>f(x)=(x+3)^2</math> und <math>f(x)=x^2+9</math> sind nicht gleich.
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| }} | |
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| Man darf das Quadrat nicht einfach in die Klammer von <math>f(x)=(x+3)^2</math> ziehen: <math>f(x)=(x+3)^2\neq x^2+3^2</math>
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| | |
| Die erste Binomische Formel besagt vielmehr:
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| | |
| <math>f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9</math>.
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| </div> | | </div> |
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| | ==Übungen zum Erweitern == |
| | ===Berechne den erweiterten Bruch === |
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| {{Box
| | ===Mit welcher Zahl wurde erweitert? === |
| |Merke
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| |Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:
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| | |
| '''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
| |
| | |
| '''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
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| |Merksatz
| |
| }}
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| == Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte ==
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| {{Box
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| |Aufgaben
| |
| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
| |
| | |
| Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.
| |
| |Üben
| |
| }}
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| | |
| | |
| {{Box
| |
| |Merke
| |
| |Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| | |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
| |
| | |
| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
| |
| | |
| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
| |
| | |
| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| | |
| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| | |
| | |
| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt:
| |
| | |
| '''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
| |
| | |
| '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.
| |
| |Merksatz
| |
| }}
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| | |
| | |
| {{Box
| |
| |Merke
| |
| |Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt:
| |
| | |
| '''e > 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.
| |
| | |
| '''e < 0''': Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.
| |
| |Merksatz
| |
| }}
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| [[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]]
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| Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math>. Diese Form heißt '''Scheitelpunktform''', da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>S(d|e)</math> der Parabel angeben.
| |
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|
| Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen erkunden/Übungen|Übungen]].
| | ===Quiz: Richtig oder falsch erweitert? === |
|
| |
|
| | ===Erweiterung auf einen gleichen Wert === |
|
| |
|
| | ===Quiz: Welcher Bruch wurde erweitert? === |
|
| |
|
| [[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link={{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform]]
| | ==Gleichnamigkeit == |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| | ===Erweiterung auf einen Nenner === |
| | .... |
|
| |
|
| | ==Hinführung Kürzen == |
|
| |
|
| Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
| | {{mitgewirkt|* '' Vorname Nachname''}} |
Scheinbar sehen einige Brüche unterschiedlich aus, haben aber den gleichen Wert.
Ein Bruch wird erweitert, indem man den Zähler und den Nenner mit der selben Zahl multipliziert.
