Orbitalmodell für Chemiker

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Gleich einmal eine Vorbemerkung ... vermutlich werden Physiker die Hände über dem Kopf zusammenschlagen, wenn sie meine Zusammenfassung lesen. Sicher ist sie unvollständig und oberflächlich. Ich möchte aber für den Chemieunterricht eine Erklärung für das Orbitalmodell zusammenstellen, das zwar ausführlich ist, also alle Grundlagen aufgreift, aber nicht so tief geht, damit man auch ohne viel Grundwissen den Zusammenhang verstehen kann. Ich will nicht ein Orbitalmodell aufdrücken ... so ist es halt ... sondern einigermaßen aufzeigen, wie es zu diesem Modell kam. BirgitLachner


Inhaltsverzeichnis

Vorgeschichte

Vor der Aufstellung des Orbitalmodells der Atome, gab es einige Entdeckungen und Beobachtungen, die den Weg bereiteten. Sie sind wichtig, um die Bedeutung des Orbitalmodells besser zu verstehen.

Modellvorstellung vom Licht

  1. Die Theorie, das Licht eine Teilchenstrahlung ist, wurde 1669 von Isaac Newton aufgestellt. Nach ihm sollte das Licht aus winzigen Partikeln bestehen, die von der Lichtquelle herausgeschleudert werden. Mit dieser Theorie lassen sich wesentliche Lichteigenschaften, wie die geradlinige und allseitige Ausbreitung, erklären. Max Planck machte Ende des 19. Jahrhunderts die Entdeckung, dass Energie nicht kontinuierlich abgegeben wird, sondern dass nur ganz bestimmte Energiemengen experimentell erfasst werden kann. Er schlussfolgerte daraus, dass die Energie eines Lichtstrahles in Form von Energiepäckchen, den Quanten, transportiert wird. Dies bedeutet, dass Licht einen Teilchencharakter haben muss. Licht verhält sich wie ein Strahl aus schnellfliegenden Korpuskeln, den Photonen. Jedes Photon transportiert eine gewisse Menge an Energie.
  2. Bereits 1677 stellte Christian Huygens der Newtonschen Theorie das Modell Licht als Welle entgegen. Damit lassen sich andere Lichteigenschaften, wie Beugung („Ablenkung“ von Wellen Beispiel) und Interferenz (Überlagerungserscheinungen beim Zusammentreffen von Wellen Beispiel), erklären. Heinrich Hertz wies 1886 experimentell nach, dass Licht aus elektromagnetischen Wellen (eine Welle aus gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern siehe auch [1]) besteht. Am Ende des 19. Jahrhunderts schien die elektromagnetische Wellennatur des Lichtes absolut gesichert zu sein.

Zusammenfassung: Auch gemäß der Relativitätstheorie besitzt ein Photon zwar keine Ruhemasse, transportiert aber eine Energie, der eine Masse zugeordnet werden kann. Gleichzeitig aber zeigt es typische Wellen-Eigenschaften.

Welleneigenschaften von Elektronen

Nachdem Robert Millikan 1911 die Ladung des Elektrons bestimmte, konnte bald auch seine Masse gemessen werden. Zahlreiche Experimente mit Elektronenstrahlen wie Ablenkung im elektrischen und magnetischen Feld sprachen für die korpuskulare (zu lat. corpusculum: "Teilchen") Natur der Elektronen. Im Bild [2] sehen wir eine Aufnahme von Elektronenspuren in einer sogenannten Blasenkammer.

Wie bereits erwähnt, zeigt Licht, je nach Versuchsbedingungen Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Warum sollten dann nicht aus Symmetriegründen bewegte Materieteilchen, d.h. massebehaftete Objekte wie Elektronen, umgekehrt auch Welleneigenschaften zeigen?

Es gab mehrere Experimente, die dies bewiesen:

De Broglie

Louis de Broglie stellte 1923 als Erster in seiner Doktorarbeit eine Wellentheorie von Teilchen auf. Die Experimente mit Licht lieferten zwei Beziehungen zwischen den Teilchengrößen E, p und den Wellengrößen ν und λ:

Hypothese von de Broglie
  1. Zu jedem bewegten Teilchen gehört eine Welle mit Wellenlänge λ = h / p .
  2. Zwischen der Frequenz der Welle und der Energie E des Teilchens gilt die Beziehung: E = h ν.

HINWEIS: h ist eine Naturkonstante, das sogenannte Plancksche Wirkungsquantum. Sie steht im Zusammenhang mit der Tatsache, das physikalische Eigenschaften nicht jeden beliebigen kontinuierlichen Wert, sondern nur bestimmte diskrete Werte annehmen können.

De Broglie vermutete, dass dieser Zusammenhang nicht nur für Photonen, sondern auch für Elektronen und andere materielle Teilchen zutrifft. Jedes Teilchen mit einer Masse besitzt eine Wellenlänge, sogar ein Elektron. Jedoch die Wellenlänge makroskopische Objekte wie z.B einem Golfball ist so klein, daß man sie nicht messen kann.

Die Behauptung de Broglies wurde 1927 durch Elektronenbeugung bei Graphit bewiesen. Man nennt diese gemeinsamen Eigenschaften von Wellen und Teilchen Welle-Teilchen-Dualismus.

Doppelspalt-Experiment

Ein weiteres Experiment macht den Wellencharakter der Elektronen vielleicht besser verständlich. Das Doppelspaltexperiment [3] zeigt Elektronen, die auf ein Hindernis mit zwei eng beieinander liegenden Spalten gesendet werden. Unter Annahme des klassischen Teilchenmodells der Elektronen würde man hinter den Spalten zwei klar voneinander abgetrennte „Peaks“ (Häufungen) in der Verteilung der nachgewiesenen Elektronen erwarten, wie sie schematisch im oberen Teilbild der Abbildung dargestellt sind. Das kann man sich so vorstellen, als ob man Kugeln durch zwei Schlitze fallen ließe; diese werden zwei Haufen unter den Schlitzen bilden. Die tatsächlich beobachteten Messergebnisse stimmen insofern mit dem Teilchenmodell überein, als jedes Elektron auf dem Schirm zu einem einzelnen Leuchtpunkt führt (siehe Abbildung [4] und erster Modellversuch auf dieser Seite).

Die längere Ausführung des Experimentes macht sichtbar, wo wie viele Elektronen auftreffen, wodurch sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Elektronen ergibt. Die Wahrscheinlichkeit (man könnte auch sagen, die durchschnittliche Häufigkeit) beim Doppelspaltexperiment ist im vorletzten Bild unten zu sehen. Dabei geben die Höhen der Kurve die Häufigkeit an. Statt zweier Maxima , wie es bei Teilchen der Fall sein müsste (wie oben im Bild vermutet), zeigen sich mehrere Spitzen - ein ausgeprägtes Interferenzmuster. Diese Interferenzmuster lassen sich mit einem Teilchenmodell der Elektronen bei Beibehaltung der Grundlagen der klassischen Partikelmechanik nicht vereinbaren.

Zum Verständnis des Versuchs bitte auf dieser Seite den dritten Versuche durchgehen.

Widersprüche im Bohr'schen Atommodell

Nach dem Bohrschen Atommodell kreist ein Elektron um den Atomkern wie ein Planet um die Sonne. Analog zum Planeten sollte das Elektron unter dem Ausgleich der Fliehkräfte nicht in den positiv geladenen Kern stürzen. Die Bewegung v im Bild wird durch die Elektrische Anziehungskraft F_el auf eine Kreisbahn gezwungen. Ein kreisendes Teilchen aber verfügt immer über eine Zentripetalbeschleunigung (Für eine Kreisbewegung ist eine ständigen Richtungsänderung nötig ... neben der geradlinigen Bewegung v, muss sich das Teilchen im Bild auch immer ein wenig nach innen bewegen -> Richtungsänderung = Beschleunigung. Zentripetal steht senkrecht auf Zentrifugal!!). Wenn aber Ladungen beschleunigt werden, erzeugen sie ein elektromagnetisches Feld. Das Elektron müsste dann Energie in Form von elektromagnetischen Wellen abstrahlen und folglich immer langsamer werden. Sehr bald würde es auf einer Spiralbahn in den Kern fallen.

Warum also senden Elektronen auf Bohrschen Bahnen im Widerspruch zur klassischen Physik keine elektromagnetische Strahlung aus? Wieso bleiben Atome stabil?

Mit der Vorstellung des Elektrons als ein klassisches Teilchen kommen wir hier nicht weiter. De Broglie erklärte die Stabilität der Atome, indem er die Bohrsche Elektronenschalen mit der Annahme von Elektronenwellen interpretierte. Als Wellenerscheinung kann ein Elektron nämlich dann keine Energie im Raum übertragen, wenn das Wellenbild zeitlich im Raum steht. Beispiel für lineare und kreisförmige stehende Wellen.

Wann können sich stehende Elektronenwellen in einem Atom ausbilden? Unter Verwendung der Formeln der Bohrcshen Radien der Elektronenschalen und der Hypothesen von de Broglie konnte bestimmt werden, welche Wellenlänge zu welcher Elektronen-Schale gehört. Umgekehrt: Ein Elektron darf demnach den Atomkern nur auf solchen Bahnen umkreisen, deren Umfang ein ganzzahliges Vielfaches seiner Wellenlänge darstellt (Bild dazu). Auf diesen Bahnen entstehen dann stehende Elektronenwellen. Dies bedeutet, dass weder Energie noch Masse transportiert wird. Damit kann das Elektron auf dieser Bahn nicht strahlen.

Heisenberg'sche Unschärferelation

Werner Heisenberg (1901-1976) machte ebenfalls eine Entdeckung, die wesentlich zur Entwicklung einer neuen Theorie der Quantenmechanik (beschreibt das Verhalten von mikroskopischen Objekte wie Elektronen, Photonen usw.) und neuen Sichtweise des Atomaufbaus beitrug. 1927 formulierte er, dass Position und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig genau gemessen werden können, sondern nur mit einer gewissen Unschärfe. Kennt man den Ort eines Teilchen genau, so kann man dessen Bewegung nicht genau erkennen. Umgekehrt: Kennt man die Bewegung eines Objektes sehr genau, kann man wenig über dessen genauen Ort aussagen. Man nennt deshalb diese Beziehung die Heisenbergsche Unschärferelation.

Folgerung: Man kann nichts über eine genaue Bahn des Elektrons (wie im Bohrschen Modell) aussagen, sondern nur eine Wahrscheinlichkeit seines Aufenthaltsortes annehmen, die berechnet werden kann.

Schrödinger

Die Idee von de Broglie, die diskrete Energien eines Systems als stehende Wellen zu verstehen, entwickelte Erwin Schrödinger im Jahre 1926 zu einer mathematischen Theorie, der Wellenmechanik weiter. Er beschrieb das Verhalten eines Mikroobjekts durch eine Wellenfunktion Ψ (gelesen: Psi). Für Photonen stellt die elektrische Feldstärke E (oder die magnetische Feldstärke B) eine solche Funktion dar.

Die Wellenfunktion beschreibt den Zustand (Ort, Bewegungsrichtung, Energieinhalt, ...) eines Elementarteilchens im Ortsraum. Da Elektronen sich wie Wellen verhalten können, verwendete Schrödinger eine dreidimensionale Wellengleichung Ψ(x, y, z) und konnte so die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der sich ein Teilchen mit einem bestimmten Energieinhalt an einem bestimmten Ort aufhält.

Übrigens verwendet man sogenannte Quantenzahlen, zur Beschreibung von Eigenschaften bestimmter Teilchen. Ein Satz von Quantenzahlen charakterisiert einen Zustand eines mikroskopischen Systems vollständig. Sie können im Gegensatz zu Beschreibungsgrößen der klassischen Mechanik nur diskrete Werte annehmen. Es gibt verschiedene Quantenzahlen für jeweils verschiedene Eigenschaften oder auch für die unterschiedlichen Teilchen.

  • Die Hauptquantenzahl n beschreibt im Schalenmodell die Schale, auf der sich das Elektron befindet. Sie bezeichnet das grundlegende Energieniveau, und kann beliebige natürliche Zahlen größer Null annehmen. Im Unterschied zum Bohrschen Atommodell ist eine Schale hier keine definierte Kreisbahn, sondern ein Bereich, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons relativ groß ist.
  • Die Nebenquantenzahl l oder auch Drehimpulsquantenzahl l steht für die Stärke einer Drehung des Elektrons. Sie kann 0 sowie beliebige natürliche Zahlen annehmen, muss aber auf jeden Fall kleiner als n sein.
  • Die magnetische Quantenzahl des Drehimpuls, wird mit m bezeichnet, und beschreibt die räumliche Ausrichtung, die das Orbital bezüglich eines äußeren Magnetfeldes einnimmt. Die Orbitale für sind energetisch gleich, nur wenn von außen ein Magnetfeld angelegt wird, lassen sie sich unterscheiden. Sie darf betragsmäßig nicht größer sein als die Nebenquantenzahl l, darf dafür aber auch negative Werte annehmen.
  • Die Spinquantenzahl s des Elektrons beschreibt die Orientierung des Spins (Drehung um die eigene Achse) des Elektrons. Sie ist halbzahlig.

Übersicht:

  • n = 1, 2, 3, ...
  • l = 0, 1, 2, ..., (n - 1)
  • m = - l, - (l - 1), ..., 0, ..., + (l - 1), + l
  • s = 1/2 und -1/2

Das Orbitalmodell

Aufgrund der vorherigen Erkenntnisse kann man nun folgendes über die bisherigen Atommodell sagen:

  1. Klar ist immer noch, dass ein Atom aus einem sehr kleinen und kompakten Kern und einer sehr viel größeren Elektronenhülle besteht.
  2. Wie schon vom Schalenmodell bekannt, bewegen sich die Elektronen um den Kern herum, aber nicht auf genau definierten Bahnen.
  3. Man kann den Aufenthaltsort von Elektronen aufgrund der Unschärferelation nie genau angeben. Es ist nur möglich zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man ein Elektron an einer bestimmten Stelle antreffen kann.

So ergibt sich für jede der möglichen Kombinationen an Quantenzahlen ein charakteristischer Aufenthaltsraum, in denen sich die Elektronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aufhalten. Diese Aufenthaltsräume nennt man auch Orbitale.

Hier nun einige Beispiele von Orbitalen: [5] Je heller eine Stelle, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dort ein Elektron anzutreffen.

Auswirkung der Quantenzahlen

Wie die Orbitale aussehen, hängt mit den Quantenzahlen zusammen.

  • Die Hauptquantenzahl n gibt die Schale an. Diese werden oft wie Bohrsche Bahnen mit großen Buchstaben K, L, M, N usw. bezeichnet. Je größer n ist, desto größer ist auch das Orbital und desto weiter entfernt sind die Elektronen meist vom Kern. Zur Bezeichnung des Orbitals mit immer die Hauptquantenzahl angegeben.
  • Die Nebenquantenzahl bestimmt das Aussehen des Orbitals. Je nach Wert von l sehen sie unterschiedlich aus. Man verwendet Buchstaben, die sich ursprünglich aus der Sprektroskopie abgeleitet haben. Mit dem Aussehen haben sie aber nichts zu tun. Man verwendet
Name ausgeschrieben Wert von l Aussehen
s-Orbital sharp l = 0 radialsymmetrisch
p-Orbital principal l = 1 hantelförmig in den drei Raumachsen
d-Orbital diffuse l = 2 gekreuzte Doppelhantel
f-Orbital fundamental l = 3 rosettenförmig
s-Orbitale: Für jedes Mögliche n mit l=0 ist das Orbital Kugelförmig um den Kern angeordnet. [6]. Das Orbital 1s hat dann n = 1 und l = 0, 2s hat n = 2 und l = 0, usw. ... Die höheren s-Orbitale besitzen Knotenebenen, insgesamt sind sie kugelig und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit verschiebt sich weiter vom Kern weg.
p-Orbitale: Wenn l = 1 ist, ergibt sich ein ein hantelförmiges Orbital. Da für l = 1 die Magnetquantenzahlen m = 1; 0; -1 möglich sind, gibt es 3 mögliche Ausrichtungen, die dieses hantelförmige Orbital einnehmen kann. Siehe auch
Die einzelnen Orbitale einer Schale bezeichnet man auch als Unterschalen. So gibt es für n = 1 nur eine Unterschale und n = 2 insgesamt 4 Unterschalen: 2s, 2px, 2py, 2pz (die Indizes x,y,z geben die Orientierung im Raum an!).
d-Orbitale: Für l = 2 gibt es 5 mögliche Magnetquantenzahlen m: von -2 bis 2. Die Orbitale sind meist gekreuzte Doppelhanteln. Siehe auch
f-Orbitale: Wie man sich denken kann ... es gibt wiederum mehr und ihr Aussehen wird immer komplexer. Siehe auch

Bisher ist die Spinquantenzahl gar nicht aufgetaucht!? Grund dafür ist, dass die Spinquantenzahl keinen Einfluß auf die Form der Orbitale hat. Der Energiegehalt eines Elektrons ist unabhängig davon, ob es sich in die eine oder die andere Richtung dreht.

"Bilder" von Orbitalen: http://n.ethz.ch/student/simonbr/physik_simulationen_hatom.html, http://www.orbitale.mathenvision.de/

Verteilung der Elektronen

Quellen

Siehe auch