Aufgaben zu Kongruenzen: Unterschied zwischen den Versionen

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== Vermischte Aufgaben ==
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# Ein wunderbares Beispiel für Modulo-Rechnung ist die Zeit.
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{{PHHDVorwissen|
## Wie viel Uhr ist es in 100 Stunden? In 1000 Stunden? In 10000 Sekunden? Welcher Wochentag ist in 1000000 Tagen?
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* [[../Kongruenzen|Kongruenzen]]
## Wo kommt Modulo-Rechnung noch im Alltag vor?
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# Untersuchen Sie, welchen Rest Quadratzahlen modulo 8 lassen. Fällt Ihnen etwas auf? Beweisen Sie Ihre Vermutung!
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# Was ist die letzte Dezimalziffer von <math>3^1</math>, <math>3^2</math>, <math>3^3</math>, <math>3^4</math>, <math>3^5</math>, <math>3^6</math>, ..., <math>3^{50}</math>, <math>3^{5000}</math>?
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## Wie kann man sich der Lösung dieses Problems nähern?
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1. Ein wunderbares Beispiel für Modulo-Rechnung ist die Zeit.<br />
## Geben Sie eine Regel an!
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* Wie viel Uhr ist es in 100 Stunden? In 1000 Stunden? In 10000 Sekunden? Welcher Wochentag ist in 1000000 Tagen?
## Beweisen Sie, dass Ihre Regel gilt.
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* Wo kommt Modulo-Rechnung noch im Alltag vor?
# Wir rechnen modulo <math>n</math>. Man sagt: Zu einem Element <math>a</math> ist das Element <math>b</math> invers genau dann, wenn <math>a\cdot b \equiv 1</math> mod <math>n</math>.
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## Suchen Sie zu verschiedenen <math>n</math> und <math>a</math> das inverse Element <math>b</math> zu <math>a</math>.
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2. Untersuchen Sie, welchen Rest Quadratzahlen modulo 8 lassen. Fällt Ihnen etwas auf? Beweisen Sie Ihre Vermutung!
## Für welche <math>a</math> gibt es bei einem gegebenen <math>n</math> kein Inverses?
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## Gibt es Elemente <math>n</math>, bei denen es für jedes <math>a<n</math> ein Inverses gibt? Welche sind das?
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3. Was ist die letzte Dezimalziffer von <math>3^1</math>, <math>3^2</math>, <math>3^3</math>, <math>3^4</math>, <math>3^5</math>, <math>3^6</math>, ..., <math>3^{50}</math>, <math>3^{5000}</math>?
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*Wie kann man sich der Lösung dieses Problems nähern?
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*Geben Sie eine Regel an!
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*Beweisen Sie, dass Ihre Regel gilt.
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4. Wir rechnen modulo <math>n</math>. Man sagt: Zu einem Element <math>a</math> ist das Element <math>b</math> invers genau dann, wenn <math>a\cdot b \equiv 1</math> mod <math>n</math>.
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*Suchen Sie zu verschiedenen <math>n</math> und <math>a</math> das inverse Element <math>b</math> zu <math>a</math>.
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*Für welche <math>a</math> gibt es bei einem gegebenen <math>n</math> kein Inverses?
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*Gibt es Elemente <math>n</math>, bei denen es für jedes <math>a<n</math> ein Inverses gibt? Welche sind das?
  
 
== Ein paar Beweise ==
 
== Ein paar Beweise ==
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* 2) <math>\forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c,d\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c </math> mod <math>m \wedge ggT(c,m)=d \Rightarrow a \equiv b</math> mod <math>\frac{m}{d}</math>
 
* 2) <math>\forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c,d\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c </math> mod <math>m \wedge ggT(c,m)=d \Rightarrow a \equiv b</math> mod <math>\frac{m}{d}</math>
 
* 3) <math>\forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c </math> mod <math>m \wedge ggT(c,m)=1 \Rightarrow a \equiv b</math> mod <math>m</math>
 
* 3) <math>\forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c </math> mod <math>m \wedge ggT(c,m)=1 \Rightarrow a \equiv b</math> mod <math>m</math>
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Version vom 20. November 2012, 13:07 Uhr

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Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh pencil add.png   Aufgabe

1. Ein wunderbares Beispiel für Modulo-Rechnung ist die Zeit.

  • Wie viel Uhr ist es in 100 Stunden? In 1000 Stunden? In 10000 Sekunden? Welcher Wochentag ist in 1000000 Tagen?
  • Wo kommt Modulo-Rechnung noch im Alltag vor?


2. Untersuchen Sie, welchen Rest Quadratzahlen modulo 8 lassen. Fällt Ihnen etwas auf? Beweisen Sie Ihre Vermutung!

3. Was ist die letzte Dezimalziffer von 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, ..., 3^{50}, 3^{5000}?

  • Wie kann man sich der Lösung dieses Problems nähern?
  • Geben Sie eine Regel an!
  • Beweisen Sie, dass Ihre Regel gilt.


4. Wir rechnen modulo n. Man sagt: Zu einem Element a ist das Element b invers genau dann, wenn a\cdot b \equiv 1 mod n.

  • Suchen Sie zu verschiedenen n und a das inverse Element b zu a.
  • Für welche a gibt es bei einem gegebenen n kein Inverses?
  • Gibt es Elemente n, bei denen es für jedes a<n ein Inverses gibt? Welche sind das?

Ein paar Beweise

Beweisen Sie!

  • 1) \forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b\in\mathbb{Z}.\forall n\in\mathbb{N}_0. a\equiv b mod m \Rightarrow a^n \equiv b^n mod m
  • 2) \forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c,d\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c mod m \wedge ggT(c,m)=d \Rightarrow a \equiv b mod \frac{m}{d}
  • 3) \forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c mod m \wedge ggT(c,m)=1 \Rightarrow a \equiv b mod m