Aufgaben zu Kongruenzen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh pencil add.png   Aufgabe

Vermischte Aufgaben

1. Ein wunderbares Beispiel für Modulo-Rechnung ist die Zeit.

  • Wie viel Uhr ist es in 100 Stunden? In 1000 Stunden? In 10000 Sekunden? Welcher Wochentag ist in 1000000 Tagen?
  • Wo kommt Modulo-Rechnung noch im Alltag vor?


2. Untersuchen Sie, welchen Rest Quadratzahlen modulo 8 lassen. Fällt Ihnen etwas auf? Beweisen Sie Ihre Vermutung!

3. Was ist die letzte Dezimalziffer von 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, ..., 3^{50}, 3^{5000}?

  • Wie kann man sich der Lösung dieses Problems nähern?
  • Geben Sie eine Regel an!
  • Beweisen Sie, dass Ihre Regel gilt.


4. Wir rechnen modulo n. Man sagt: Zu einem Element a ist das Element b invers genau dann, wenn a\cdot b \equiv 1 mod n.

  • Suchen Sie zu verschiedenen n und a das inverse Element b zu a.
  • Für welche a gibt es bei einem gegebenen n kein Inverses?
  • Gibt es Elemente n, bei denen es für jedes a<n ein Inverses gibt? Welche sind das?


Ein paar Beweise

Führe jeweils einen Beweis!

  • 1) \forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b\in\mathbb{Z}.\forall n\in\mathbb{N}_0. a\equiv b mod m \Rightarrow a^n \equiv b^n mod m
  • 2) \forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c,d\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c mod m \wedge ggT(c,m)=d \Rightarrow a \equiv b mod \frac{m}{d}
  • 3) \forall m\in \mathbb{N}.\forall a,b,c\in\mathbb{Z}. a\cdot c\equiv b\cdot c mod m \wedge ggT(c,m)=1 \Rightarrow a \equiv b mod m