Aufgaben zu den Sätzen von Euler und Fermat: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Entdeckungen ===
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[http://wiki.zum.de/index.php?title=PH_Heidelberg/Bausteine/Aufgaben_zu_den_Sätzen_von_Euler_und_Fermat&&printable=yes Druckversion]
# Wir rechnen modulo 6. Bestimme für alle Elemente <math>a\in \mathbb{Z}_6</math> die Potenzen <math>a^0, a^1, a^2, ..., a^6</math>.
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{{PHHDVorwissen|
# Führe das gleiche modulo 7 durch.
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* [[../Sätze_von_Euler_und_Fermat|Sätze_von_Euler_und_Fermat]]
# Führe das gleiche modulo 16 durch.
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}}
# Suche weitere Module und führe diese Überlegungen durch. Was fällt dir alles auf?
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=== Und wieder Potenzen ===
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Berechne:
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# <math>11^{182}</math> mod <math>19</math>
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# <math>19^{1683}</math> mod <math>24</math>
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# <math>17^{918}</math> mod <math>24</math>
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Konstruiere ähnliche Aufgaben und stelle diese den anderen Mitgliedern deiner Lerngruppe!
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=== Mal ein Beweis ===
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{{PHHDAufgabe|
 
Sei <math>p</math> eine Primzahl.
 
Sei <math>p</math> eine Primzahl.
  
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# Berechne <math>\varphi(32), \varphi(64), \varphi(128), \varphi(27), \varphi(81), \varphi(243), \varphi(49), \varphi (25), \varphi (125)</math>, ... fällt Ihnen was auf? Können Sie für diese und ähnliche Fälle eine allgemeine Regel ableiten?
 
# Berechne <math>\varphi(32), \varphi(64), \varphi(128), \varphi(27), \varphi(81), \varphi(243), \varphi(49), \varphi (25), \varphi (125)</math>, ... fällt Ihnen was auf? Können Sie für diese und ähnliche Fälle eine allgemeine Regel ableiten?
 
# Befasse dich einmal mit folgenden Zahlen und der Eulerschen Phi-Funktion. Vielleicht schreibst du dir die Fälle mal systematisch auf und versuchst, eine Regelmäßigkeit zu entdecken... und zwar für: <math>15=3\cdot 5</math>, <math>20=4\cdot 5</math>, <math>30=5\cdot 6</math>, <math>36=4\cdot 9</math>
 
# Befasse dich einmal mit folgenden Zahlen und der Eulerschen Phi-Funktion. Vielleicht schreibst du dir die Fälle mal systematisch auf und versuchst, eine Regelmäßigkeit zu entdecken... und zwar für: <math>15=3\cdot 5</math>, <math>20=4\cdot 5</math>, <math>30=5\cdot 6</math>, <math>36=4\cdot 9</math>
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=== Lösungen ===
 
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* [[PH_Heidelberg/Zahlentheorie/Aufgaben_zu_den_Sätzen_von_Euler_und_Fermat/Lösungen|Lösungen]]
 
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[[Kategorie:Mathematik an der PH Heidelberg]]

Version vom 18. Dezember 2012, 15:39 Uhr

Druckversion

Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh pencil add.png   Aufgabe

Sei p eine Primzahl.

Beweise: \forall a:\mathbb{Z}. a^{p}\equiv a mod p

Zur Eulerschen Phi-Funktion

  1. Berechne \varphi(32), \varphi(64), \varphi(128), \varphi(27), \varphi(81), \varphi(243), \varphi(49), \varphi (25), \varphi (125), ... fällt Ihnen was auf? Können Sie für diese und ähnliche Fälle eine allgemeine Regel ableiten?
  2. Befasse dich einmal mit folgenden Zahlen und der Eulerschen Phi-Funktion. Vielleicht schreibst du dir die Fälle mal systematisch auf und versuchst, eine Regelmäßigkeit zu entdecken... und zwar für: 15=3\cdot 5, 20=4\cdot 5, 30=5\cdot 6, 36=4\cdot 9

Lösungen