Aufgaben zu den Sätzen von Euler und Fermat

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Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh pencil add.png   Aufgabe

Entdeckungen

  1. Wir rechnen modulo 6. Bestimme für alle Elemente a\in \mathbb{Z}_6 die Potenzen a^0, a^1, a^2, ..., a^6.
  2. Führe das gleiche modulo 7 durch.
  3. Führe das gleiche modulo 16 durch.
  4. Suche weitere Module und führe diese Überlegungen durch. Was fällt dir alles auf?

Und wieder Potenzen

Berechne:

  1. 11^{182} mod 19
  2. 19^{1683} mod 24
  3. 17^{918} mod 24

Konstruiere ähnliche Aufgaben und stelle diese den anderen Mitgliedern deiner Lerngruppe!

Mal ein Beweis

Sei p eine Primzahl.

Beweise: \forall a:\mathbb{Z}. a^{p}\equiv a mod p

Zur Eulerschen Phi-Funktion

  1. Berechne \varphi(32), \varphi(64), \varphi(128), \varphi(27), \varphi(81), \varphi(243), \varphi(49), \varphi (25), \varphi (125), ... fällt Ihnen was auf? Können Sie für diese und ähnliche Fälle eine allgemeine Regel ableiten?
  2. Befasse dich einmal mit folgenden Zahlen und der Eulerschen Phi-Funktion. Vielleicht schreibst du dir die Fälle mal systematisch auf und versuchst, eine Regelmäßigkeit zu entdecken... und zwar für: 15=3\cdot 5, 20=4\cdot 5, 30=5\cdot 6, 36=4\cdot 9

Lösungen