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Aktuelle Version vom 11. Dezember 2016, 15:30 Uhr
Motivation
Als Motivation gelte einmal folgendes Beispiel: Ich habe 
Bonbons. Wenn ich diese Bonbons an 
Personen verteile, bleiben 
Bonbons übrig. Wenn ich sie an 
Personen verteile, bleiben 
Bonbons übrig. Wie viele Bonbons habe ich?
Das kann man ja evtl. noch durch Ausprobieren lösen. Wie sieht es aber mit folgendem Problem aus...
Eine alte Frau geht über den Marktplatz. Ein Pferd tritt auf ihre Tasche und zerbricht die gekauften
Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte den Schaden ersetzen und fragt die alte Frau, wie viele Eier
in ihrer Tasche waren. Sie weiß die exakte Zahl nicht mehr, aber sie erinnert sich, dass genau ein Ei
übrig bleibt, wenn sie beim Auspacken die Eier immer zu zweit aus der Tasche nimmt. Das Gleiche
geschieht, wenn sie die Eier immer zu dritt, zu viert, zu fünft und zu sechst aus der Tasche nimmt.
Nur wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bleibt kein Ei übrig. Was ist die kleinste Zahl
an Eiern, welche die alte Frau in ihrer Tasche haben kann?
Aber zurück zum Ausgangsproblem mit den Süßigkeiten...
Erarbeitung anhand eines Beispiels
Warum funktioniert der Chinesische Restsatz? Übernehme das Beispiel aus den Videos und mache dir ergänzende Notizen dazu.
Verallgemeinerung auf zwei Moduln
Es seien 
und 
teilerfremd und das folgende Kongruenzsystem, das es zu lösen gilt:
-
mod
-
mod
Man bestimmt Zahlen 
und 
folgendermaßen:
Dann ist eine Lösung 
, denn
Weitere Lösungen ergeben sich durch
Ganz allgemein: Der chinesische Restsatz
Die Zahlen 
seien paarweise teilerfremd. Dann besitzt das Kongruenzsystem
- mod
- ...
-
mod 
eine Lösung 
mit 
und alle weiteren Lösungen 
liegen in derselben Kongruenzklasse wie modulo 
bzw. 
.
Vervollständige den Beweis und mache dir gegebenenfalls Randnotizen:
Man bildet 
Dann gilt 
Das Eier-Problem
Versuche das Problem der alten Frau mit ihren kaputten Eiern zu lösen. Stelle ein Kongruenzsystem auf und löse es.
Fragen
Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!
