Worksheet: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Rechnen mit Kongruenzen)
(Arbeitsblatt)
 
(9 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
−
[http://wiki.zum.de/index.php?title=PH_Heidelberg/Bausteine/Kongruenzen/Worksheet&printable=yes Druckversion]
+
[https://wiki.zum.de/index.php?title=PH_Heidelberg/Bausteine/Kongruenzen/Worksheet&printable=yes Druckversion]
  
−
== Definition: Division mit Rest ==
+
== Division mit Rest ==
−
Vervollständige die Definition.
+
Vervollständige, was man unter "Division mit Rest" versteht .
 
{{PHHDLückeMitText|Es sei <math> a \ \in \ \mathbb{Z}</math> und <math> b \ \in \ \mathbb{N}</math>.<br>
 
{{PHHDLückeMitText|Es sei <math> a \ \in \ \mathbb{Z}</math> und <math> b \ \in \ \mathbb{N}</math>.<br>
 +
Dann <math>\exist ! q,r \in \mathbb {Z}</math> mit
 
<br><br /><br /><br /><br />
 
<br><br /><br /><br /><br />
 
}}
 
}}
Zeile 11: Zeile 12:
  
 
{{PHHDLückeMitText|<math>
 
{{PHHDLückeMitText|<math>
−
27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r<br />
+
27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r \qquad
−
q  = \ 27 \ div \ 8 \ = 3<br />
+
q  = \ 27 \ div \ 8 \ = 3 \qquad
−
r  = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3<br /></math>
+
r  = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3 </math> <br><br>
−
<br /><br />
+
<math>
−
<math>-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r<br />
+
-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r \qquad
−
q = \ -14 \ div \ 9 \ = <br />
+
q = \ -14 \ div \ 9 \ = .... \qquad
−
r = \ -14 \ mod \ 9 = <br /></math>
+
r = \ -14 \ mod \ 9 = .... </math>
 
}}
 
}}
−
 
  
 
== Definition: Kongruenz ==
 
== Definition: Kongruenz ==
−
Vervollständige die Definition.
+
Es sei <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math> und <math> a,b \ \in \ \mathbb{Z}</math>.<br />
−
{{PHHDLückeMitText|Es sei <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math> und <math> a,b \ \in \ \mathbb{Z}</math>.<br>
+
a ist genau dann kongruent zu b modulo m, wenn a mod m = b mod m<br>
−
<br><br /><br /><br />}}
+
Man schreibt:<br />
 +
<math> a \equiv b\ mod\ m </math> <br />
 +
 
  
 
Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.
 
Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.
 
{{PHHDLückeMittel}}
 
{{PHHDLückeMittel}}
−
 
  
 
== Satz zur Kongruenz ==
 
== Satz zur Kongruenz ==
Zeile 62: Zeile 63:
  
 
zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...<br />
 
zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...<br />
−
(1) reflexiv: <math>\forall a \in \mathbb {Z}</math>: <math> a \equiv b\ mod\ m </math> <br />
+
(1) reflexiv: <math>\forall a \in \mathbb {Z}</math>: <math> a \equiv a\ mod\ m </math> <br />
 
(2) symmetrisch: <math>\forall a,b \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m</math> <br />
 
(2) symmetrisch: <math>\forall a,b \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m</math> <br />
 
(3) transitiv: <math>\forall a,b,c \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m  
 
(3) transitiv: <math>\forall a,b,c \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m  
Zeile 72: Zeile 73:
  
 
== Rechnen mit Kongruenzen ==
 
== Rechnen mit Kongruenzen ==
 +
 +
 
Satz: Seien <math>a,b,c,d \in \mathbb {Z}</math> und <math>m \in \mathbb{N}</math> mit <math>a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m</math> dann gilt...<br />
 
Satz: Seien <math>a,b,c,d \in \mathbb {Z}</math> und <math>m \in \mathbb{N}</math> mit <math>a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m</math> dann gilt...<br />
−
<br />
+
<br />{{PHHDLückeMitText|
 
(1) <math>a+c \equiv b+d\ mod\ m</math><br /><br />
 
(1) <math>a+c \equiv b+d\ mod\ m</math><br /><br />
−
Beweis:<br />
+
'''Beweis:'''<br />
 
<math>m|(a-b) \wedge m|(c-d)</math><br />
 
<math>m|(a-b) \wedge m|(c-d)</math><br />
 
<math>\Rightarrow m|(a-b)+(c-d)</math><br />
 
<math>\Rightarrow m|(a-b)+(c-d)</math><br />
Zeile 81: Zeile 84:
 
<math>\Rightarrow m|(a+c)-(b+d)</math><br />
 
<math>\Rightarrow m|(a+c)-(b+d)</math><br />
  
−
Führe die Beweise zu (2) und (3)<br />
 
  
−
(2) <math>a-c \equiv b-d\ mod\ m</math><br />
+
'''Führe die Beweise zu (2) und (3)'''<br />
−
Beweis:<br />
+
  
−
(3) <math>a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m</math><br />
+
(2) <math>a-c \equiv b-d\ mod\ m</math><br /><br />
−
Beweis:<br />
+
'''Beweis:'''<br />
 +
<br /><br /><br /><br /><br />
 +
(3) <math>a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m</math><br /><br />
 +
'''Beweis:'''<br /><br /><br /><br /><br /><br />
 +
 
 +
}}
  
 
== Fragen ==
 
== Fragen ==
Zeile 94: Zeile 100:
  
 
{{PHHDLückeGroß}}
 
{{PHHDLückeGroß}}
 +
 +
 +
 +
[[Kategorie:Arbeitsblatt Mathematik PH Heidelberg|Kongruenzen]]

Aktuelle Version vom 11. Dezember 2016, 18:01 Uhr

Druckversion

Division mit Rest

Vervollständige, was man unter "Division mit Rest" versteht .

Es sei a \ \in \ \mathbb{Z} und b \ \in \ \mathbb{N}.
Dann \exist ! q,r \in \mathbb {Z} mit




Trage hier noch weitere Beispiele ein.

27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r \qquad q = \ 27 \ div \ 8 \ = 3 \qquad r = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3

-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r \qquad q = \ -14 \ div \ 9 \ = .... \qquad r = \ -14 \ mod \ 9 = ....

Definition: Kongruenz

Es sei m \ \in \ \mathbb{N} und a,b \ \in \ \mathbb{Z}.
a ist genau dann kongruent zu b modulo m, wenn a mod m = b mod m
Man schreibt:
a \equiv b\ mod\ m


Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.







Satz zur Kongruenz

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow m |(a-b)

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: m |(a-b)
a \equiv b\ mod\ m (Voraussetzung)
\Rightarrow \ a \ mod\ m = b\ mod\ m (Def. Kongruenz)

\Rightarrow \exist q_1, q_2 \in \mathbb {Z} mit











"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: m |(a-b)
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m
m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}: a = m \cdot q_1 + r_1 und b = m \cdot q_2 + r_2
\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)
















Kongruenz als Äquivalenzrelation

Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.

zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...
(1) reflexiv: \forall a \in \mathbb {Z}: a \equiv a\ mod\ m
(2) symmetrisch: \forall a,b \in \mathbb {Z} : a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m
(3) transitiv: \forall a,b,c \in \mathbb {Z} : a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m \Rightarrow a \equiv c\ mod\ m

Trage hier die zugehörigen Beweise ein.




























Rechnen mit Kongruenzen

Satz: Seien a,b,c,d \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb{N} mit a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m dann gilt...


(1) a+c \equiv b+d\ mod\ m

Beweis:
m|(a-b) \wedge m|(c-d)
\Rightarrow m|(a-b)+(c-d)
\Rightarrow m|a+c-b-d
\Rightarrow m|(a+c)-(b+d)


Führe die Beweise zu (2) und (3)

(2) a-c \equiv b-d\ mod\ m

Beweis:





(3) a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m

Beweis:






Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!











Von „https://wiki.zum.de/index.php?title=PH_Heidelberg/Bausteine/Kongruenzen/Worksheet&oldid=359393“