Worksheet: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Satz zur Kongruenz)
(Satz zur Kongruenz)
Zeile 37: Zeile 37:
 
<br />
 
<br />
 
Beweis in zwei Richtungen:<br />
 
Beweis in zwei Richtungen:<br />
<br />
+
==== "<math>\Rightarrow</math>" (die eine Richtung) ====
"<math>\Rightarrow</math>" (die eine Richtung)
+
  
 
Es gilt nach Voraussetzung <math>a \equiv b\ mod\ m </math>  <br />
 
Es gilt nach Voraussetzung <math>a \equiv b\ mod\ m </math>  <br />
Zeile 48: Zeile 47:
 
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
  
"<math>\Leftarrow</math>" (Rückrichtung)
+
 
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
+
==== "<math>\Leftarrow</math>" (Rückrichtung) ====
 +
Es gelte: <math>m |(a-b)</math><br />
 +
zu zeigen: <math>a \equiv b\ mod\ m </math><br />
 +
<math>m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}</math>: <math>a = m \cdot q_1 + r_1</math> und <math>b = m \cdot q_2 + r_2</math><br />
 +
<math>\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)</math><br />
 +
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 +
 
 
}}
 
}}
  

Version vom 15. November 2012, 22:38 Uhr

Druckversion

Definition: Division mit Rest

Vervollständige die Definition.

Es sei  a \ \in \ \mathbb{Z} und  b \ \in \ \mathbb{N}.





Trage hier noch weitere Beispiele ein.


27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r<br />
q  = \ 27 \ div \ 8 \ = 3<br />
r  = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3<br />

-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r<br />
q = \ -14 \ div \ 9 \ = <br />
r = \ -14 \ mod \ 9 = <br />


Definition: Kongruenz

Vervollständige die Definition.

Es sei  m \ \in \ \mathbb{N} und  a,b \ \in \ \mathbb{Z}.




Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.








Satz zur Kongruenz

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow m |(a-b)

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: m |(a-b)
a \equiv b\ mod\ m (Voraussetzung)
\Rightarrow \ a \ mod\ m = b\ mod\ m (Def. Kongruenz)

\Rightarrow \exist q_1, q_2 \in \mathbb {Z} mit











"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: m |(a-b)
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m
m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}: a = m \cdot q_1 + r_1 und b = m \cdot q_2 + r_2
\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)
















Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!