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(Kongruenz als Äquivalenzrelation)
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zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...<br />
 
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(1) reflexiv                 <math>\forall a \in \mathbb {Z}</math>: <math> a \equiv b\ mod\ m </math> <br />
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(1) reflexiv: <math>\forall a \in \mathbb {Z}</math>: <math> a \equiv b\ mod\ m </math> <br />
(2) symmetrisch             <math>\forall a,b \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m</math> <br />
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(2) symmetrisch: <math>\forall a,b \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m</math> <br />
(3) transitiv               <math>\forall a,b,c \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m  
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(3) transitiv: <math>\forall a,b,c \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m  
\Rightarrow a \equiv c\ mod\ m
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\Rightarrow a \equiv c\ mod\ m </math>
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Trage hier die zugehörigen Beweise ein.
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== Fragen ==
 
== Fragen ==

Version vom 15. November 2012, 22:58 Uhr

Druckversion

Definition: Division mit Rest

Vervollständige die Definition.

Es sei  a \ \in \ \mathbb{Z} und  b \ \in \ \mathbb{N}.





Trage hier noch weitere Beispiele ein.


27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r<br />
q  = \ 27 \ div \ 8 \ = 3<br />
r  = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3<br />

-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r<br />
q = \ -14 \ div \ 9 \ = <br />
r = \ -14 \ mod \ 9 = <br />


Definition: Kongruenz

Vervollständige die Definition.

Es sei  m \ \in \ \mathbb{N} und  a,b \ \in \ \mathbb{Z}.




Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.








Satz zur Kongruenz

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow m |(a-b)

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: m |(a-b)
a \equiv b\ mod\ m (Voraussetzung)
\Rightarrow \ a \ mod\ m = b\ mod\ m (Def. Kongruenz)

\Rightarrow \exist q_1, q_2 \in \mathbb {Z} mit











"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: m |(a-b)
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m
m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}: a = m \cdot q_1 + r_1 und b = m \cdot q_2 + r_2
\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)
















Kongruenz als Äquivalenzrelation

Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.

zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...
(1) reflexiv: \forall a \in \mathbb {Z}:  a \equiv b\ mod\ m
(2) symmetrisch: \forall a,b \in \mathbb {Z} :  a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m
(3) transitiv: \forall a,b,c \in \mathbb {Z} :  a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m 
\Rightarrow a \equiv c\ mod\ m

Trage hier die zugehörigen Beweise ein.





























Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!