Worksheet

Division mit Rest

Vervollständige, was man unter "Division mit Rest" versteht .

Es sei $a \ \in \ \mathbb{Z}$ und $b \ \in \ \mathbb{N}$ .
Dann $\exist ! q,r \in \mathbb {Z}$ mit

Trage hier noch weitere Beispiele ein.

$27 =\ q\ \cdot \ 8 \ + \ r \qquad q = \ 27 \ div \ 8 \ = 3 \qquad r = \ 27 \ mod \ 8 \ = 3$

$-14 =\ q\ \cdot \ 9 \ + \ r \qquad q = \ -14 \ div \ 9 \ = .... \qquad r = \ -14 \ mod \ 9 = ....$

Definition: Kongruenz

Es sei $m \ \in \ \mathbb{N}$ und $a,b \ \in \ \mathbb{Z}$ .
a ist genau dann kongruent zu b modulo m, wenn a mod m = b mod m
Man schreibt:
$a \equiv b\ mod\ m$

Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.

Satz zur Kongruenz

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

$a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow m |(a-b)$

Beweis in zwei Richtungen:

" $\Rightarrow$ " (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung $a \equiv b\ mod\ m$
Zu zeigen: $m |(a-b)$
$a \equiv b\ mod\ m$ (Voraussetzung)
$\Rightarrow \ a \ mod\ m = b\ mod\ m$ (Def. Kongruenz)

$\Rightarrow \exist q_1, q_2 \in \mathbb {Z}$ mit

" $\Leftarrow$ " (Rückrichtung)

Es gelte: $m |(a-b)$
zu zeigen: $a \equiv b\ mod\ m$
$m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}$ : $a = m \cdot q_1 + r_1$ und $b = m \cdot q_2 + r_2$
$\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)$

Kongruenz als Äquivalenzrelation

Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.

zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...
(1) reflexiv: $\forall a \in \mathbb {Z}$ : $a \equiv a\ mod\ m$
(2) symmetrisch: $\forall a,b \in \mathbb {Z}$ : $a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m$
(3) transitiv: $\forall a,b,c \in \mathbb {Z}$ : $a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m \Rightarrow a \equiv c\ mod\ m$