Mengenlehre

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Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh sheduled task.png   Lernziele

Nachdem du diesen Baustein durchgearbeitet hast, kannst du ...

  • mit Mengen und Mengenoperationen sowohl in anschaulicher als auch in formaler Weise umgehen.
  • die Gleichheit zweier Mengen beweisen.
Farm-Fresh pencil add.png   Worksheet

Fülle beim Durcharbeiten dieses Bausteins das folgende Worksheet aus: Worksheet zur Mengenlehre

300px
Farm-Fresh pencil add.png   Aktivität

Arbeite die folgenden Videos durch und fülle dabei das Worksheet aus!



Hier noch die direkten Links zu den Quiz-Elementen, die in die Videos eingebunden sind:

Farm-Fresh pencil add.png   Aktivität

Und noch ein kleines Quiz zu Venn-Diagrammen. Was wird in dem jeweiligen Venn-Diagramm dargestellt?


Die natürlichen Zahlen als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen

Bislang haben wir mit den Peano-Axiomen eine mögliche Art und Weise kennen gelernt, die natürlichen Zahlen strukturell zu fassen. Eine weitere Möglichkeit ist die Charakterisierung der natürlichen Zahlen als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen. Sie kennen zwar das Konzept der Äquivalenzrelation noch nicht, das macht aber an dieser Stelle erst mal nix. Stellen Sie sich vor, Sie nehmen alle 0-elementigen Mengen der Welt und packen diese in einen Sack. Sie nehmen alle einelementigen Mengen und packen diese in einen anderen Sack. Ebenso verfahren Sie mit allen weiteren Mächtigkeiten. Dann schreiben Sie auf den Sack mit den 0-elementigen Mengen die Zahl 0, auf den Sack mit den einelementigen Mengen die Zahl 1 usw. Bei den Säcken handelt es sich um Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen. Wenn Sie nun 3+4 rechnen wollen, dann nehmen Sie sich aus dem Sack 3 einen Repräsentanten heraus, aus dem Sack 4 ebenso einen Repräsentanten (passen Sie aber auf, dass die beiden Repräsentanten disjunkt sind), und vereinigen diese (Addition als Vereinigung zweier Mengen). Anschließend gucken Sie, in welchen Sack Sie die Vereinigungsmenge packen müssen - aha, Sack 7!

Damit haben wir bislang zwei wesentliche Aspekte der natürlichen Zahlen kennen gelernt: den Ordinalzahlaspekt (Peano-Axiome, Zählen als Grundlage) und den Kardinalzahlaspekt (Betrachtungsweise über Mengen). Dies ist ein fachwissenschaftlicher Hintergrund, der ganz wichtig für Grundschul-Mathematikunterricht ist. Kinder gewinnen den Kontakt zu natürlichen Zahlen in der Regel über das Zählen, und gerechnet wird anfangs zählend. Ein wichtiges Ziel der 1. Klasse ist, Kindern eine Mengenvorstellung von Zahlen zu vermitteln und darüber zu flexiblen Rechenstrategien zu führen.