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(Definition Restklasse)
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== Definition Restklasse ==
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== Definition Restklassen ==
 
{{PHHDLückeMitText|Es sei <math> a \ \in \ \mathbb{Z}</math> und <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math>.<br>
 
{{PHHDLückeMitText|Es sei <math> a \ \in \ \mathbb{Z}</math> und <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math>.<br>
 
Jede Menge <math>\overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }</math> bezeichnet man als Restklasse modulo m. <br />Jedes <math>x \in \overline {a} </math> heißt Repräsentant von <math>\overline {a}</math>.<br />
 
Jede Menge <math>\overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }</math> bezeichnet man als Restklasse modulo m. <br />Jedes <math>x \in \overline {a} </math> heißt Repräsentant von <math>\overline {a}</math>.<br />
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== Definition: Kongruenz ==
 
Es sei <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math> und <math> a,b \ \in \ \mathbb{Z}</math>.<br />
 
a ist genau dann kongruent zu b modulo m, wenn a mod m = b mod m<br>
 
Man schreibt:<br />
 
<math> a \equiv b\ mod\ m </math> <br />
 
  
  
Formuliere die Definition in anderer Form bzw. in eigenen Worten.
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== Satz zur Restklassen ==
{{PHHDLückeMittel}}
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== Satz zur Kongruenz ==
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Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.
 
Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.
  
{{PHHDLückeMitText|<math>a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow m |(a-b)</math><br />
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{{PHHDLückeMitText|Seien <math>a,b \in \mathbb {Z}</math> und <math>m \in \mathbb {N}</math>.<br />
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Dann gilt:<math>a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}</math><br />
 
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Beweis in zwei Richtungen:<br />
 
Beweis in zwei Richtungen:<br />
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Es gilt nach Voraussetzung <math>a \equiv b\ mod\ m </math>  <br />
 
Es gilt nach Voraussetzung <math>a \equiv b\ mod\ m </math>  <br />
Zu zeigen: <math>m |(a-b)</math><br />
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Zu zeigen: <math>\overline {a} = \overline {b}</math>.<br />
<math>a \equiv b\ mod\ m </math> (Voraussetzung)<br />
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Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also<br />
<math>\Rightarrow \ a \ mod\ m = b\ mod\ m</math>   (Def. Kongruenz)<br />
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(1) <math>\overline {a} \subseteq \overline {b}</math> und (2) <math>\overline {b} \subseteq \overline {a}</math> <br />
 
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<math>\Rightarrow \exist q_1, q_2 \in \mathbb {Z}</math> mit
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zu (1): zeige <math>\overline {a} \subseteq \overline {b}</math><br />
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Sei <math>x \in \overline {a}</math>, dann gilt <math>x \equiv a\ mod\ m</math> (Definition Restklasse).<br />
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Außerdem gilt <math>a \equiv b\ mod\ m</math> (_____________________________)<br />
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<math>\Rightarrow x \equiv b\ mod\ m</math>  (_____________________________) <br />
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<math>\Rightarrow x \in \overline {b}</math>  (_____________________________)<br />
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<math>\Rightarrow \overline {a} \subseteq \overline {b}</math> (_____________________________)<br />
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zu (2): zeige <math>\overline {b} \subseteq \overline {a}</math>
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==== "<math>\Leftarrow</math>" (Rückrichtung) ====
 
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Es gelte: <math>m |(a-b)</math><br />
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Es gelte: <math>\overline {a} = \overline {b}</math><br />
 
zu zeigen: <math>a \equiv b\ mod\ m </math><br />
 
zu zeigen: <math>a \equiv b\ mod\ m </math><br />
<math>m |(a-b)\Rightarrow \exist q_1, q_2, r_1, r_2 \in \mathbb {Z}</math>: <math>a = m \cdot q_1 + r_1</math> und <math>b = m \cdot q_2 + r_2</math><br />
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<math>\Rightarrow m| \Big((q_1 \cdot m + r_1) - (q_2 \cdot m + r_2)\Big)</math><br />
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<math>a \in \overline {a} \Rightarrow a \in \overline {b} \Rightarrow a \equiv b \ mod \ m</math><br />
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<math>b \in \overline {b} \Rightarrow</math>
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Version vom 26. November 2012, 14:41 Uhr

Druckversion

Definition Restklassen

Es sei  a \ \in \ \mathbb{Z} und  m \ \in \ \mathbb{N}.
Jede Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }

bezeichnet man als Restklasse modulo m. 
Jedes x \in \overline {a} heißt Repräsentant von \overline {a}.

Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als R_m.

Beispiel:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_5 = \big {\overline {0},\overline {1},\overline {2},\overline {3},\overline {4}\big} = \Big { \big {...-5,0,5,10,...}, \big {-4,1,6,...},...\Big }
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_7 = {



Satz zur Restklassen

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

Seien a,b \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb {N}.
Dann gilt:a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: \overline {a} = \overline {b}.
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also
(1) \overline {a} \subseteq \overline {b} und (2) \overline {b} \subseteq \overline {a}

zu (1): zeige \overline {a} \subseteq \overline {b}
Sei x \in \overline {a}, dann gilt x \equiv a\ mod\ m (Definition Restklasse).
Außerdem gilt a \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \in \overline {b} (_____________________________)
\Rightarrow \overline {a} \subseteq \overline {b} (_____________________________)

zu (2): zeige \overline {b} \subseteq \overline {a}








"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: \overline {a} = \overline {b}
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m

a \in \overline {a} \Rightarrow a \in \overline {b} \Rightarrow a \equiv b \ mod \ m
b \in \overline {b} \Rightarrow



Kongruenz als Äquivalenzrelation

Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.

zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...
(1) reflexiv: \forall a \in \mathbb {Z}:  a \equiv b\ mod\ m
(2) symmetrisch: \forall a,b \in \mathbb {Z} :  a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m
(3) transitiv: \forall a,b,c \in \mathbb {Z} :  a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m 
\Rightarrow a \equiv c\ mod\ m

Trage hier die zugehörigen Beweise ein.




























Rechnen mit Kongruenzen

Satz: Seien a,b,c,d \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb{N} mit a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m dann gilt...


(1) a+c \equiv b+d\ mod\ m

Beweis:
m|(a-b) \wedge m|(c-d)
\Rightarrow m|(a-b)+(c-d)
\Rightarrow m|a+c-b-d
\Rightarrow m|(a+c)-(b+d)


Führe die Beweise zu (2) und (3)

(2) a-c \equiv b-d\ mod\ m

Beweis:





(3) a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m

Beweis:






Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!