Worksheet: Unterschied zwischen den Versionen
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{{PHHDLückeMitText|Es sei <math> a \ \in \ \mathbb{Z}</math> und <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math>.<br> | {{PHHDLückeMitText|Es sei <math> a \ \in \ \mathbb{Z}</math> und <math> m \ \in \ \mathbb{N}</math>.<br> | ||
Jede Menge <math>\overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }</math> bezeichnet man als Restklasse modulo m. <br />Jedes <math>x \in \overline {a} </math> heißt Repräsentant von <math>\overline {a}</math>.<br /> | Jede Menge <math>\overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }</math> bezeichnet man als Restklasse modulo m. <br />Jedes <math>x \in \overline {a} </math> heißt Repräsentant von <math>\overline {a}</math>.<br /> | ||
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Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen. | Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen. | ||
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+ | Dann gilt:<math>a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}</math><br /> | ||
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Beweis in zwei Richtungen:<br /> | Beweis in zwei Richtungen:<br /> | ||
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Es gilt nach Voraussetzung <math>a \equiv b\ mod\ m </math> <br /> | Es gilt nach Voraussetzung <math>a \equiv b\ mod\ m </math> <br /> | ||
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− | <math>\ | + | (1) <math>\overline {a} \subseteq \overline {b}</math> und (2) <math>\overline {b} \subseteq \overline {a}</math> <br /> |
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− | <math>\ | + | zu (1): zeige <math>\overline {a} \subseteq \overline {b}</math><br /> |
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+ | Außerdem gilt <math>a \equiv b\ mod\ m</math> (_____________________________)<br /> | ||
+ | <math>\Rightarrow x \equiv b\ mod\ m</math> (_____________________________) <br /> | ||
+ | <math>\Rightarrow x \in \overline {b}</math> (_____________________________)<br /> | ||
+ | <math>\Rightarrow \overline {a} \subseteq \overline {b}</math> (_____________________________)<br /> | ||
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+ | zu (2): zeige <math>\overline {b} \subseteq \overline {a}</math> | ||
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− | Es gelte: <math> | + | Es gelte: <math>\overline {a} = \overline {b}</math><br /> |
zu zeigen: <math>a \equiv b\ mod\ m </math><br /> | zu zeigen: <math>a \equiv b\ mod\ m </math><br /> | ||
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− | <math>\ | + | <math>a \in \overline {a} \Rightarrow a \in \overline {b} \Rightarrow a \equiv b \ mod \ m</math><br /> |
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Version vom 26. November 2012, 14:41 Uhr
Definition Restklassen
Es sei und
.
Jede Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }
bezeichnet man als Restklasse modulo m.
Jedesheißt Repräsentant von
.
Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als .
Beispiel:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_5 = \big {\overline {0},\overline {1},\overline {2},\overline {3},\overline {4}\big} = \Big { \big {...-5,0,5,10,...}, \big {-4,1,6,...},...\Big }
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_7 = {
Satz zur Restklassen
Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.
Seien und
.
Dann gilt:
Beweis in zwei Richtungen:
"
" (die eine Richtung)
Es gilt nach Voraussetzung
Zu zeigen: .
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also
(1) und (2)
zu (1): zeige
Sei , dann gilt
(Definition Restklasse).
Außerdem gilt (_____________________________)
(_____________________________)
(_____________________________)
(_____________________________)
zu (2): zeige
"
" (Rückrichtung)
Es gelte:
zu zeigen:
Kongruenz als Äquivalenzrelation
Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.
zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...
(1) reflexiv: :
(2) symmetrisch: :
(3) transitiv: :
Trage hier die zugehörigen Beweise ein.
Rechnen mit Kongruenzen
Satz: Seien und
mit
dann gilt...
(1)
Beweis:
Führe die Beweise zu (2) und (3)
(2)
Beweis:
(3)
Beweis:
Fragen
Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!