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(Satz zur Restklassen)
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== Kongruenz als Äquivalenzrelation ==
+
== Restklassenaddition ==
  
Satz: Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.
 
  
zu zeigen: Die Kongruenzrelation ist...<br />
 
(1) reflexiv: <math>\forall a \in \mathbb {Z}</math>: <math> a \equiv b\ mod\ m </math> <br />
 
(2) symmetrisch: <math>\forall a,b \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \Rightarrow b \equiv a\ mod\ m</math> <br />
 
(3) transitiv: <math>\forall a,b,c \in \mathbb {Z} </math>: <math> a \equiv b\ mod\ m \ \wedge \ b \equiv c\ mod\ m
 
\Rightarrow a \equiv c\ mod\ m </math>
 
  
Trage hier die zugehörigen Beweise ein.
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== Restklassenmultiplikation ==
  
{{PHHDLückeMitText|<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />}}
 
  
== Rechnen mit Kongruenzen ==
 
  
  
Satz: Seien <math>a,b,c,d \in \mathbb {Z}</math> und <math>m \in \mathbb{N}</math> mit <math>a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m</math> dann gilt...<br />
 
<br />{{PHHDLückeMitText|
 
(1) <math>a+c \equiv b+d\ mod\ m</math><br /><br />
 
'''Beweis:'''<br />
 
<math>m|(a-b) \wedge m|(c-d)</math><br />
 
<math>\Rightarrow m|(a-b)+(c-d)</math><br />
 
<math>\Rightarrow m|a+c-b-d</math><br />
 
<math>\Rightarrow m|(a+c)-(b+d)</math><br />
 
 
 
'''Führe die Beweise zu (2) und (3)'''<br />
 
 
(2) <math>a-c \equiv b-d\ mod\ m</math><br /><br />
 
'''Beweis:'''<br />
 
<br /><br /><br /><br /><br />
 
(3) <math>a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m</math><br /><br />
 
'''Beweis:'''<br /><br /><br /><br /><br /><br />
 
 
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== Fragen ==
 
== Fragen ==

Version vom 26. November 2012, 14:45 Uhr

Druckversion

Definition Restklassen

Es sei  a \ \in \ \mathbb{Z} und  m \ \in \ \mathbb{N}.
Jede Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }

bezeichnet man als Restklasse modulo m. 
Jedes x \in \overline {a} heißt Repräsentant von \overline {a}.

Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als R_m.

Beispiel:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_5 = \big {\overline {0},\overline {1},\overline {2},\overline {3},\overline {4}\big} = \Big { \big {...-5,0,5,10,...}, \big {-4,1,6,...},...\Big }
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_7 = {



Satz zur Restklassen

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

Seien a,b \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb {N}.
Dann gilt:a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: \overline {a} = \overline {b}.
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also
(1) \overline {a} \subseteq \overline {b} und (2) \overline {b} \subseteq \overline {a}

zu (1): zeige \overline {a} \subseteq \overline {b}
Sei x \in \overline {a}, dann gilt x \equiv a\ mod\ m (Definition Restklasse).
Außerdem gilt a \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \in \overline {b} (_____________________________)
\Rightarrow \overline {a} \subseteq \overline {b} (_____________________________)

zu (2): zeige \overline {b} \subseteq \overline {a}








"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: \overline {a} = \overline {b}
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m

a \in \overline {a} \Rightarrow a \in \overline {b} \Rightarrow a \equiv b \ mod \ m

b \in \overline {b} \Rightarrow

Restklassenaddition

Restklassenmultiplikation

Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!