Restklassen und Algebraische Strukturen: Unterschied zwischen den Versionen

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== Definition Gruppe ==
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{{PHHDLernziel|
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Eine algebraische Struktur <math>(G;\circ)</math> heißt genau dann ''Gruppe'', wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
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# (Ab) Die Operation <math>\circ</math> ist in <math>G</math> abgeschlossen: <math>\forall a,b \in G: \exists c \in G: a\circ b=c</math>.
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# (Ass) Die Operation <math>\circ</math> ist assoziativ: <math>\forall a,b,c \in G: (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)</math>.
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# (Neu) In <math>G</math> gibt es bezüglich der Operation <math>\circ</math> ein neutrales Element: <math>\exists n \in G: \forall a \in G: a\circ n = n\circ a = a</math>
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# (Inv) Zu jedem Element aus <math>G</math> gibt es ein inverses Element: <math>\forall a\in G: \exists\overline{a} \in G: a\circ\overline{a}=\overline{a}\circ a=n</math> '''ODER''' <math>\forall a\in G: \exists a^{-1} \in G: a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=n</math>
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Eine Gruppe ist eine ''kommutative Gruppe'' oder eine ''abelsche Gruppe'', wenn außerdem das folgende Axiom gilt:
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{{PHHDWorksheet|[[/Worksheet|Worksheet zu Restklassen und Algebraische Strukturen]]}}
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{|
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|width="650" valign="top" |
  
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:5. (Kom) Die Operation <math>\circ</math> ist kommutativ: <math>\forall a,b \in G: a\circ b = b\circ a</math>
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{{PHHDAktivität|Arbeite die folgenden Videos durch und fülle dabei das Worksheet aus!
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== Vorüberlegungen ==
  
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Eine algebraische Struktur ist eine Halbgruppe, wenn die Axiome (Ab) und (Ass) erfüllt sind.
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{{#ev:youtube|91bTabKYDrE}}
  
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== Restklassen und (Halb-)Gruppen ==
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== Definition Gruppe ==
  
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Wie steht es um <math>(\mathbb{Z}_m;\oplus)</math>? Schreiben Sie sich zunächst die Verknüpfungstafel von <math>(\mathbb{Z}_4;\oplus)</math> auf und überlegen Sie sich an diesem konkreten Fall, welche Axiome gelten. Anschließend beweisen wir allgemein:
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{{#ev:youtube|BqoO5HDdGAY}}
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# (Ab) Es gilt: <math>\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b}</math>. Nach Definition der Restklassenaddition ist die Operation <math>\oplus</math> abgeschlossen.<br /><br />
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# (Ass) Hier hilft uns die Tatsache, dass die Operation <math>+</math> in <math>\mathbb{Z}</math> assoziativ ist: <math>(\overline{a}\oplus\overline{b})\oplus\overline{c}=\overline{a+b}\oplus\overline{c}=\overline{(a+b)+c}=\overline{a+(b+c)}=\overline{a}\oplus\overline{b+c}=\overline{a}\oplus(\overline{b}\oplus\overline{c})</math>. Somit ist auch die Operation <math>\oplus</math> in <math>\mathbb{Z}_m</math> assoziativ.<br /><br />
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# (Neu) Es ist offensichtlich <math>\overline{0}</math> neutrales Element, denn: <math>\overline{a}\oplus\overline{0}=\overline{a+0}=\overline{a}</math> und <math>\overline{0}\oplus\overline{a}=\overline{0+a}=\overline{a}</math><br /><br />
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# (Inv) Es gibt zu jedem <math>\overline{a}</math> ein inverses Element, nämlich <math>\overline{a^{-1}}</math>: <math>\overline{a}\oplus\overline{a^{-1}}=\overline{a+ a^{-1}}=\overline{m}=\overline{0}</math>
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Somit handelt es sich bei <math>(\mathbb{Z}_m;\oplus)</math> um eine Gruppe.
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== Restklassen und (Halb-)Gruppen ==
  
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Es handelt sich sogar um eine kommutative Gruppe, denn: <math>\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b}=\overline{b+a}=\overline{b}\oplus\overline{a}</math><br /><br />
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{{#ev:youtube|WHyQsVqG7iQ}}
  
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Aber wie sieht's mit <math>(\mathbb{Z}_m;\otimes)</math> aus? Schreibe dir die Verknüpfungstafeln von <math>(\mathbb{Z}_4;\otimes)</math> und <math>(\mathbb{Z}_5;\otimes)</math> auf.
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{{#ev:youtube|LnzKQvEt1zs}}
  
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{{PHHDLückeMitText|<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />}}
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{{#ev:youtube|2uYufusFEDQ}}
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Offensichtlich gelten alle Axiome - bis auf __________.<br />
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Daher handelt es sich bei <math>(\mathbb{Z}_m;\otimes)</math>nicht um eine Gruppe, sondern nur um eine Halbgruppe.<br />
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Da auch (Kom) und (Neu) gelten, ist es sogar eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element (bzw. mit Einselement, weil bzgl. der Multiplikation die 1 neutral ist).
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== Ring ==
 
== Ring ==
  
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Eine Struktur <math>(R;+;\cdot)</math> heißt Ring genau dann, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
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{{#ev:youtube|cRTATYhP1hs}}
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# <math>(R;+)</math> ist kommutative Gruppe.
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# <math>(R;\cdot)</math> ist Halbgruppe.
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# (Dis) Es gilt das Distributivgesetz: <math>\forall a,b,c:R. a\cdot(b+c)=(a\cdot b) + (a\cdot c)</math> und <math>(b+c)\cdot a=(b\cdot a) + (c\cdot a)</math>
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Wenn <math>(R;\cdot)</math> zusätzlich kommutativ ist, spricht man von einem ''kommutativen Ring''. Wenn es außerdem ein Neutralelement bzgl. der Multiplikation gibt, spricht man von einem ''kommutativen Ring mit Einselement''.
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{{PHHDLückeMitText|Überprüfen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe sind: <math>(\mathbb{N};+;\cdot)</math>, <math>(\mathbb{Z};+;\cdot)</math>, <math>(\mathbb{Q};+;\cdot)</math><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />}}
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=== Satz ===
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Für alle natürlichen Zahlen n bildet die Menge der Restklassen modulo n mit den Restklassenaddition und -multiplikation einen kommutativen Ring mit Einselement, also: <math>(\mathbb{Z}_n;\oplus;\otimes)</math> ist kommutativer Ring mit Einselement.
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{{PHHDLückeMitText|Wir haben das meiste schon bewiesen. Was fehlt noch? Beweise!<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />}}
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== Restklassen und multiplikative Inverse ==
 
== Restklassen und multiplikative Inverse ==
  
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Sie erinnern sich an die Frage, wann ein Element <math>a</math> in <math>\mathbb{Z}_m</math> ein multiplikatives Inverses hat? Diese Frage können wir jetzt ein für alle Mal und vor allem für alle Fälle beantworten.
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{{#ev:youtube|P1LTElH7Kjw}}
  
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Es muss gelten:
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== Körper ==
  
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<math>a\ \cdot\ (a^{-1}) \equiv 1</math> mod <math>m</math>
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{{#ev:youtube|5OhCNQoUlck}}
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Dies ist genau dann der Fall, wenn
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<math>m\ |\ (a\ \cdot\ (a^{-1})\ -1)</math>
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also genau dann, wenn ein <math>q</math> existiert, sodass
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<math>m\ \cdot\ q = a\ \cdot\ (a^{-1})\ -1</math>
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bzw.
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<math>a\ \cdot\ (a^{-1})\ +\ m\ \cdot\ (-q) = 1</math>
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Diese Gleichung ist mit den Unbekannten <math>a^{-1}</math> und <math>q</math> genau dann lösbar, wenn <math>ggT(a,m)=1</math>. (Dies wissen wir, weil wir uns mit [[PH_Heidelberg/Bausteine/Diophantische_Gleichungen|diophantischen Gleichungen]] auskennen.)
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In <math>(\mathbb{Z}_m;\otimes)</math> existiert somit genau dann für jedes <math>a\in\mathbb{Z}_m\setminus\{0\}</math> ein Inverses, wenn <math>m</math> eine Primzahl ist.
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Damit ist es sinnvoll, gleich eine weitere algebraische Struktur einzuführen:
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== Körper ==
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Eine Struktur <math>(R;+;\cdot)</math> mit mindestens zwei Elementen heißt genau dann Körper , wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
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}}
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# <math>(R;+)</math> ist kommutative Gruppe.
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# <math>(R\setminus\{0\};\cdot)</math> ist kommutative Gruppe.
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# (Dis) Es ist <math>\cdot</math> mit <math>+</math> distributiv verbunden.
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Wir können also festhalten:
 
  
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<math>(\mathbb{Z}_m;\oplus;\otimes)</math> ist genau dann ein Körper, wenn <math>m</math> eine Primzahl ist.
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{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
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[[Kategorie:Mathematik an der PH Heidelberg]]

Aktuelle Version vom 27. Januar 2013, 17:32 Uhr

Farm-Fresh sheduled task.png   Lernziele

Nachdem du diesen Baustein durchgearbeitet hast, kannst du ...


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Fülle beim Durcharbeiten dieses Bausteins das folgende Worksheet aus: Worksheet zu Restklassen und Algebraische Strukturen

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Arbeite die folgenden Videos durch und fülle dabei das Worksheet aus!

Vorüberlegungen

Definition Gruppe

Restklassen und (Halb-)Gruppen

Ring

Restklassen und multiplikative Inverse

Körper


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