Restklassen und Algebraische Strukturen

Definition Gruppe

Eine algebraische Struktur $(G;\circ)$ heißt genau dann Gruppe, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. (Ab) Die Operation $\circ$ ist in $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: \exists c \in G: a\circ b=c$.
2. (Ass) Die Operation $\circ$ ist assoziativ: $\forall a,b,c \in G: (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$.
3. (Neu) In $G$ gibt es bezüglich der Operation $\circ$ ein neutrales Element: $\exists n \in G: \forall a \in G: a\circ n = n\circ a = a$
4. (Inv) Zu jedem Element aus $G$ gibt es ein inverses Element: $\forall a\in G: \exists\overline{a} \in G: a\circ\overline{a}=\overline{a}\circ a=n$ ODER $\forall a\in G: \exists a^{-1} \in G: a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=n$

Eine Gruppe ist eine kommutative Gruppe oder eine abelsche Gruppe, wenn außerdem das folgende Axiom gilt:

5. (Kom) Die Operation $\circ$ ist kommutativ: $\forall a,b \in G: a\circ b = b\circ a$

Eine algebraische Struktur ist eine Halbgruppe, wenn die Axiome (Ab) und (Ass) erfüllt sind.

Restklassen und (Halb-)Gruppen

Wie steht es um $(\mathbb{Z}_m;\oplus)$? Schreiben Sie sich zunächst die Verknüpfungstafel von $(\mathbb{Z}_4;\oplus)$ auf und überlegen Sie sich an diesem konkreten Fall, welche Axiome gelten. Anschließend beweisen wir allgemein:

1. (Ab) Es gilt: $\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b}$. Nach Definition der Restklassenaddition ist die Operation $\oplus$ abgeschlossen.
   
   
2. (Ass) Hier hilft uns die Tatsache, dass die Operation $+$ in $\mathbb{Z}$ assoziativ ist: $(\overline{a}\oplus\overline{b})\oplus\overline{c}=\overline{a+b}\oplus\overline{c}=\overline{(a+b)+c}=\overline{a+(b+c)}=\overline{a}\oplus\overline{b+c}=\overline{a}\oplus(\overline{b}\oplus\overline{c})$. Somit ist auch die Operation $\oplus$ in $\mathbb{Z}_m$ assoziativ.
   
   
3. (Neu) Es ist offensichtlich $\overline{0}$ neutrales Element, denn: $\overline{a}\oplus\overline{0}=\overline{a+0}=\overline{a}$ und $\overline{0}\oplus\overline{a}=\overline{0+a}=\overline{a}$
   
   
4. (Inv) Es gibt zu jedem $\overline{a}$ ein inverses Element, nämlich $\overline{a^{-1}}$: $\overline{a}\oplus\overline{a^{-1}}=\overline{a+ a^{-1}}=\overline{m}=\overline{0}$

Somit handelt es sich bei $(\mathbb{Z}_m;\oplus)$ um eine Gruppe.

Es handelt sich sogar um eine kommutative Gruppe, denn: $\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b}=\overline{b+a}=\overline{b}\oplus\overline{a}$

Aber wie sieht's mit $(\mathbb{Z}_m;\otimes)$ aus? Schreibe dir die Verknüpfungstafeln von $(\mathbb{Z}_4;\otimes)$ und $(\mathbb{Z}_5;\otimes)$ auf.

Offensichtlich gelten alle Axiome - bis auf __________.
Daher handelt es sich bei $(\mathbb{Z}_m;\otimes)$nicht um eine Gruppe, sondern nur um eine Halbgruppe.
Da auch (Kom) und (Neu) gelten, ist es sogar eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element (bzw. mit Einselement, weil bzgl. der Multiplikation die 1 neutral ist).

Ring

Eine Struktur $(R;+;\cdot)$ heißt Ring genau dann, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. $(R;+)$ ist kommutative Gruppe.
2. $(R;\cdot)$ ist Halbgruppe.
3. (Dis) Es gilt das Distributivgesetz: $\forall a,b,c:R. a\cdot(b+c)=(a\cdot b) + (a\cdot c)$ und $(b+c)\cdot a=(b\cdot a) + (c\cdot a)$

Wenn $(R;\cdot)$ zusätzlich kommutativ ist, spricht man von einem kommutativen Ring. Wenn es außerdem ein Neutralelement bzgl. der Multiplikation gibt, spricht man von einem kommutativen Ring mit Einselement.

Überprüfen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe sind: $(\mathbb{N};+;\cdot)$, $(\mathbb{Z};+;\cdot)$, $(\mathbb{Q};+;\cdot)$

Satz

Für alle natürlichen Zahlen n bildet die Menge der Restklassen modulo n mit den Restklassenaddition und -multiplikation einen kommutativen Ring mit Einselement, also: $(\mathbb{Z}_n;\oplus;\otimes)$ ist kommutativer Ring mit Einselement.

Beweis: Das meiste haben wir schon bewiesen. Was fehlt noch? Beweisen Sie!

Restklassen und multiplikative Inverse

Sie erinnern sich an die Frage, wann ein Element $a$ in $\mathbb{Z}_m$ ein multiplikatives Inverses hat? Diese Frage können wir jetzt ein für alle Mal und vor allem für alle Fälle beantworten.

Es muss gelten:

$a\cdot x \equiv 1$ mod $m$

Dies ist genau dann der Fall, wenn

$m|(a\cdot x -1)$

also genau dann, wenn ein $q$ existiert, sodass

$m\cdot q = a\cdot x -1$

bzw.

$a\cdot x + m\cdot(-q) = 1$

Diese Gleichung ist mit den Unbekannten $x$ und $q$ genau dann lösbar, wenn $ggT(a,m)=1$. (Dies wissen wir, weil wir uns mit diophantischen Gleichungen auskennen.)

In $(\mathbb{Z}_m;\otimes)$ existiert somit genau dann für jedes $a\in\mathbb{Z}_m\setminus\{0\}$ ein Inverses, wenn $m$ eine Primzahl ist.

Damit ist es sinnvoll, gleich eine weitere algebraische Struktur einzuführen:

Körper

Eine Struktur $(R;+;\cdot)$ mit mindestens zwei Elementen heißt Körper genau dann, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. $(R;+)$ ist kommutative Gruppe.
2. $(R\setminus\{0\};\cdot)$ ist kommutative Gruppe.
3. (Dis) Es ist $\cdot$ mit $+$ distributiv verbunden.

Wir können also festhalten:

$(\mathbb{Z}_m;\oplus;\otimes)$ ist genau dann ein Körper, wenn $m$ eine Primzahl ist.