Aufgaben zum chinesischen Restsatz: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 19. Juni 2013, 16:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Berechnungen mit dem chinesischen Restsatz

Geben Sie die Lösungen der folgenden Kongruenzsysteme an.

Kongruenzsystem A:

  • x\equiv 2 mod 8
  • x\equiv 4 mod 5

Kongruenzsystem B:

  • x\equiv 3 mod 7
  • x\equiv 8 mod 19

Versuchen Sie sich auch mal an folgendem Kongruenzsystem C:

  • x\equiv 3 mod 5
  • x\equiv 5 mod 7
  • x\equiv 7 mod 9

Können Sie daraus eine allgemeine Vorgehensweise für n Kongruenzgleichungen ableiten?

Lösungen

Weitere Aufgaben

Aufgabe 1

a) x läßt bei Division durch 7 den Rest 4 und bei Division durch 13 den Rest 10.
b) x läßt bei Division durch 11 den Rest 9, bei Division durch 7 den Rest 5 und bei Division durch 3 den Rest 2

Aufgabe 2

Bestimme alle x mit...
a) x \ \equiv\ 7 \ mod\ 13 \ \wedge \ x \ \equiv\ 17 \ mod\ 23
b) x \ \equiv\ 2 \ mod\ 11 \ \wedge \ x \ \equiv \ 1 \ mod\ 7
c) x \ \equiv\ 3 \ mod\ 7 \ \wedge \ x \ \equiv\ 12 \ mod\ 13
d) x \ \equiv\ 48 \ mod\ 95 \ \wedge \ x \ \equiv\ 37 \ mod\ 81
e) x \ \equiv\ 100 \ mod\ 127 \ \wedge \ x \ \equiv\ 102 \ mod\ 133

Aufgabe 3

Suche alle x mit...
a) x \ \equiv\ 217 \ mod\ 373 \ \wedge \ x \ \equiv\ 25 \ mod\ 251
b) x \ \equiv\ 16 \ mod\ 88 \ \wedge \ x \ \equiv\ 37 \ mod\ 55
c) x \ \equiv\ 281 \ mod\ 389 \ \wedge \ x \ \equiv\ 269 \ mod\ 457
d) x \ \equiv\ 15 \ mod\ 88 \ \wedge \ x \ \equiv\ 37 \ mod\ 55

Aufgabe 4

Bestimme x mit...
a) x \ \equiv\ 3 \ mod\ 7 \ \wedge \ x \ \equiv \ 12 \ mod\ 13 \ \wedge \ x \ \equiv\ 1 \ mod\ 5
b) x \ \equiv\ 3 \ mod\ 7 \ \wedge \ x \equiv \ 5 \ mod\ 12 \ \wedge \ x \ \equiv\ 10 \ mod\ 19
c) x \ \equiv\ 20 \ mod\ 23 \ \wedge \ x \equiv \ 20 \ mod\ 31 \ \wedge \ x \ \equiv\ 20 \ mod\ 37
d) x \ \equiv\ 10 \ mod\ 15 \ \wedge \ x \equiv \ 12 \ mod\ 19 \ \wedge \ x \ \equiv\ 20 \ mod\ 28
e) x \ \equiv\ 7 \ mod\ 12 \ \wedge \ x \equiv \ 12 \ mod\ 19 \ \wedge \ x \ \equiv\ 19 \ mod\ 23

Aufgabe 5

Eine alte Frau geht über den Marktplatz. Ein Pferd tritt auf ihre Tasche und zerbricht die gekauften Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte den Schaden ersetzen und fragt die alte Frau, wie viele Eier in ihrer Tasche waren. Sie weiß die exakte Zahl nicht mehr, aber sie erinnert sich, dass genau ein Ei übrig bleibt, wenn sie beim Auspacken die Eier immer zu zweit aus der Tasche nimmt. Das Gleiche geschieht, wenn sie die Eier immer zu dritt, zu viert, zu fünft und zu sechst aus der Tasche nimmt. Nur wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bleibt kein Ei übrig. Was ist die kleinste Zahl an Eiern, welche die alte Frau in ihrer Tasche haben kann?

Aufgabe 6

Die Schüler einer Klasse sollen sich zu Gruppen gleicher Größe ordnen. Sie versuchen zuerst, sich zu Dreiergruppen zusammenzufinden, doch es bleibt ein Schüler übrig. Bei Vierergruppen bleiben 3 Schüler übrig. Bei Fünfergruppen klappt es endlich. Wieviele Schüler sind in der Klasse?

Aufgabe 7

Der Kleinstaat Fabelland mit 33333 Einwohnern hat eine eigene Armee. Bei Übungsmärschen geht man in 5er-Reihen – dann gehen genau 4 Offiziere an der Spitze. Bei Paraden wird in 8er- Reihen marschiert – dann ist vorne das 5-köpfige Musikkorps. Beim jährlichen Manöver gehen alle in 7er- Reihen, und es bleiben genau 3 Mann zum Ziehen der einzigen Kanone Fabellands übrig. Als einmal ein hoher Staatsbesuch kam, stellte man sich in 9er-Reihen vor dem Bahnhof auf, wobei der General und der Trompeter an der Spitze waren. In der Verfassung des Landes steht, dass höchstens 10% aller Einwohner von Fabelland in der Armee sein dürfen. Die Frage ist nun, wieviele Soldaten Fabelland hat.

Lösungen

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