Quadratische Funktionen/Kapitel 5: Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a und Google Maps im Unterricht/Geomorphologie: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
< Quadratische Funktionen(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Michael Schober
K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung)
 
(Aufgabennummerierung)
 
Zeile 1: Zeile 1:
{{Lernpfad-M|<big>'''Die Scheitelpunkts- und Normalform und der Parameter a'''</big>
== Küstenlandschaften ==




'''In diesem Lernpfad werden alle erlernten Parameter zusammengeführt! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''


*'''Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''
=== Deutsche Nordseeküste ===
*'''Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''
*'''Die Normalform und der Parameter a'''
*'''Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''
}}


{{Aufgaben|1=1
|2=
[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://www.google.de/maps?q=Deutschland+&hl=de&ll=54.072283,9.51416&spn=3.952034,7.064209&sll=40.763641,-73.963737&sspn=0.159402,0.220757&t=k&hnear=Deutschland&z=7 Überblick]
# Nenne und zeige deinem "Partner" die einzelnen Meere, Inselgruppen sowie die einzelnen Inseln.
# Informiere Dich über verschiedene [[:zum.de:Faecher/Ek/BAY/gym/Ek11/l-1-2-3.htm|Küstenformen]].}}


Aus den vorherigen Lerneinheiten kennst du die Eigenschaften der einzelnen Parameter.
=== Deutsche Küstenlandschaft im Verbund mit historischen Karten ===
 
Du weißt zum einen, dass der Vorfaktor a für eine Streckung, Stauchung und Spiegelung der Parabel verantwortlich ist und zum anderen, dass die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> eine Verschiebung der Parabel in der Ebene bewirken.
Wir wollen im Folgenden, diese Eigenschaften, zusammen mit der Scheitelpunkts- und Normalform betrachten.
 
Als erstes beginnen wir mit der Scheitelpunktsform und dem Parameter a.


{{Aufgaben|1=2
|2=
[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=54.488189,8.912659&spn=0.122248,0.220757&t=h&z=12 Nordstrand heute]<br><br>
[[File:Rungholt.jpg|miniatur|200px]]
[[File:Alt-nordstrand auf bleau-karte.jpg|miniatur|200px|]]<br>
Nordstrand 1662 vor der "Zweiten groten Manndränke"
# Vergleiche die alte Karte mit der heutigen Situation. Findest Du möglich Erklärungen?<br>
# Lies den unten beigefügten Text von [http://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Storm Theodor Storm]. Wovon erzählt Storm in den ersten beiden Absätzen? Kläre die Begriffe Koog und Fennen, von denen Storm im folgenden Absatz erzählt. 
# Informiere Dich über die Geschichte [http://www.boelling.de/rungholt/start.htm  Rungholts]: [http://www.zdf.de/ZDFmediathek/beitrag/bilderserie/1139656/Rungholt-Reichtum-durch-Salz?bc=sts;sta&bildIndex=2 Dokumentation]
}}


 
{{Zitat|'''Quellentext:'''
 
Einst waren große Eichenwälder an unsrer Küste, und so dicht standen in ihnen die Bäume, daß ein Eichhörnchen meilenweit von Ast zu Ast springen konnte, ohne den Boden zu berühren. Es wird erzählt, daß bei Hochzeiten, welche durch den Wald zogen, die Braut ihre Krone habe vom Haupte nehmen müssen; so tief hing das Gezweig herab. In den Tagen des Hochsommers war unablässig Schattenkühle unter diesen Waldesdomen, die damals noch der Eber und der Luchs durchstreiften, indessen oben, nur von den Augen der revierenden Falken gesehen, ein Meer von Sonnenschein auf ihren Wipfeln flutete.
<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Die Scheitelpunktsform und der Parameter a'''</u></big></div>
Aber diese Wälder sind längst gefallen; nur mitunter gräbt man aus schwarzen Moorgründen oder aus dem Schlamm der Watten noch eine versteinerte Wurzel, die uns Nachlebende ahnen läßt, wie mächtig einst im Kampfe mit den Nordweststürmen jene Laubkronen müssen gerauscht haben. Wenn wir jetzt auf unsern Deichen stehen, so blicken wir in die baumlose Ebene wie in eine Ewigkeit; und mit Recht sagte jene Halligbewohnerin, die von ihrem kleinen Eiland zum erstenmal hierherkam: »Mein Gott, wat is de Welt doch grot; un et gifft ok noch en Holland!«
<br>
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
|-
| <ggb_applet height="450" width="450" showResetIcon="true" filename="Verschiebendergqf.ggb" /> ||
 
'''Aufgabe:'''  
 
* Versuche mit Hilfe des "GeoGebra-Applets" den Lückentext zu lösen
 
* Bediene dafür die Schieberegler a, y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub>, um dir die Eigenschaften der einzelnen Parameter ins Gedächtnis zu holen
 
* Ziehe mit gehaltener, linker Maustaste, das passende Puzzleteil in die freien Felder
 
 
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
 
<div class="lueckentext-quiz">
Die Scheitelpunktsform mit dem Paramter a besitzt die Gleichung '''y = a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''. Die allgemeine Scheitelpunktsform wird dabei um den Parameter '''a''' erweitert. Dadurch kommt neben der '''Verschiebung''' der Parabel noch die '''Streckung, Stauchung und Spiegelung''' dazu. Ferner gilt festzuhalten, dass sowohl die Verschiebung der Parabel in der '''Ebene''', sowie die Veränderung durch den Vorfaktor a, '''unabhängig''' voneinander betrachtet werden.
   
   
</div>
Und wie erquicklich die Luft auf diesen Deichen weht! Ich komme eben heim; wo hätte ich besser den Sonntagmorgen feiern können!
|}
Schon hatte unten in den Kögen der erste warme Frühlingsregen die unabsehbaren Wiesenlandschaften grün gemacht; schon weideten wieder die unzähligen Rinder auf der Rasendecke, in welcher die Wassergräben zwischen den einzelnen Fennen wie Silberstreifen in der Morgensonne funkelten. Von hüben und drüben, abwechselnd und sich antwortend, in unendlicher Abtönung, erhob sich Gebrüll und klang weit über die Ebene hinaus. Und wie lebendig die Stare waren, diese geflügelten Freunde der Rinder! In lärmendem Zuge kamen sie vom Koge herauf, schwenkten vor mir hin und wider und fielen dann in dichtem Schwarm auf die Krone des Deiches nieder, um gleich darauf, hurtig um sich pickend, seewärts an der Böschung hinabzuspazieren|[http://gutenberg.spiegel.de/buch/3477/1 Theodor Storm - Eine Halligfahrt]}}
 
<br><br><br>
 
Um die wichtigsten Eigenschaften aller Parameter zu wiederholen, lies das folgende Merke und überprüfe, ob dir alle Eigenschaften klar sind.
 
 
{{Merke|
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' gilt: 
* Für den Parameter a gilt:
** Der Parameter a sorgt für eine '''Streckung''', '''Stauchung''' und/oder '''Spiegelung''' der Parabel
** Für '''a > 1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''oben''' geöffnet
** Für '''0 < a < 1''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''oben''' geöffnet
** Für '''a < -1''' ist der Graph '''gestreckt''' und nach '''unten''' geöffnet
** Für '''-1 < a < 0''' ist der Graph '''gestaucht''' und nach '''unten''' geöffnet
 
* Für den Parameter x<sub>s</sub> gilt:
** Der Parameter x<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' entlang der x-Achse
** Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''rechts''' 
** Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''links''' 
 
* Für den Parameter y<sub>s</sub> gilt:
** Der Parameter y<sub>s</sub> sorgt für eine '''Verschiebung''' auf der y-Achse
** Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung nach '''oben'''
** Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung nach '''unten'''
}}
 
Nachdem du nun dein Wissen aufgefrischt hast, kann auch gleich geübt werden!
 
 
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Aufgaben zu "f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''</u></big></div>
 
 
 
<big>'''1. Aufgabe:'''</big>
 
Du siehst hier sowohl ein paar Graphen, als auch ein paar Funktionsvorschriften der Form
"f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>". Versuche die jeweils richtigen Pärchen zu finden.
 
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{|
|-
| [[Bild:Parabelkeins.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkzwei.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkdrei.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkvier.png|180px]]  ||||  [[Bild:Parabelkfünf.png|180px]]
|-
| <strong> y = [x - 2,5]<sup>2</sup> - 1,5 </strong>  |||| <strong> y = -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1 </strong> |||| <strong> y = [x + 3,5]<sup>2</sup>  </strong> |||| <strong> y = 5[x + 2,5]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y = 2[x - 4]<sup>2</sup> - 3 </strong>
|}
</div>
 
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
Ich nehme an, dass das kein Problem für dich war. Bei dieser Aufgabe war es nämlich noch nicht nötig den Vorfaktor a zu bestimmen. 
 
Jetzt wollen wir das Ganze ein wenig erschweren!  
 
Kannst du dich noch erinnern, wie man den Vorfaktor a bestimmt?
 
 
 
 
<big>'''2. Aufgabe:'''</big>
 
Finde zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsvorschrift!
 
Falls du nicht genau weißt, wie du vorgehen sollst, öffne die anschließende Hilfe!
 
Tipp! Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei "f(x) = ax<sup>2</sup>".
 
Nach dem Bild wird dein Ergebnis abgefragt.
 
 
[[Bild:ParabelAufgabe2Station2-2.jpg|left]]
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
 
'''Hilfe:''' <br>
{{versteckt|
{{Merke|
'''Anleitung zur Bestimmung des Vorfaktors a:''' <br>
* Der Startpunkt zum Bestimmen des Vorfaktors ist der Scheitelpunkt<br>
* Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
* Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br>
* Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Vorfaktor a <br>
* Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, dann ist der Wert von a positiv <br>
* Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, dann ist der Wert von a negativ  <br>
}}
}}
<br>
<br>
'''Wie ist dein Ergebnis:'''
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''a] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y <math>=</math> 1[x - 4]<sup>2</sup> - 3 ) (!y <math>=</math> 3[x – 4]<sup>2</sup> + 3 ) (y <math>=</math> 2[x – 4]<sup>2</sup> - 3 )
</div>
<br>
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''b] Wie lautet die richtige Funktionsgleichung für den Graph?''' (!y =<math>=</math> -2[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (y = <math>=</math> -4[x + 2]<sup>2</sup> + 1) (!y <math>=</math> -0,5[x + 2]<sup>2</sup> + 1)
</div>
<br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
<big>'''3. Aufgabe - Multiple Choice:'''</big>
 
Betrachte die Funktionsvorschriften genau und kreuze die richtigen Aussagen an.
Achtung! Es können auch mehrere Antworten richtig sein!
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''f(x) <math>=</math> -2x<sup>2</sup> + 5''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet)(Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel hat den höchsten Punkt bei [0, 5]) (Die Parabel ist gestreckt) (!Die Parabel ist gestaucht) (!Die Parabel ist um 2 Einheiten nach links verschoben)
 
'''f(x) <math>=</math> (x - 3)<sup>2</sup> - 2''' (!Die Parabel ist gestaucht)(Die Parabel hat den tiefsten Punkt bei [0, -2])(Die Parabel verläuft durch den Punkt [0, 7]) (!Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel) (Die Parabel ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben)
 
'''f(x) <math>=</math> 6 + 2 (x + 2)<sup>2</sup>''' (!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(!Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach rechts verschoben)(Die Parabel ist nach oben geöffnet ) (Die Parabel wurde um 2 Einheiten nach links verschoben) (!Die Parabel ist gestaucht) (Die Parabel ist gestreckt)
 
'''Die gestreckte Parabel ist um 2 Einheiten nach links und um 4 Einheiten nach oben verschoben''' (!y <math>=</math> 4 [x - 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 2 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 3 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)(!y <math>=</math> 0,5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 5 [x + 2]<sup>2</sup> - 4)(!y <math>=</math> 0,8 [x - 2]<sup>2</sup> + 4)(y <math>=</math> 1,77 [x + 2]<sup>2</sup> + 4)
 
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
 
<big>'''4. Aufgabe - KNIFFELAUFGABE:'''</big>
 
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''Welche der folgenden Funktionsvorschriften hat eine Nullstelle? Achtung! Die Aufgabe ist nur durch logisches Denken zu lösen, es ist keine Rechnung erforderlich!''' (y <math>=</math> 2 [x – 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 2 [x + 5]<sup>2</sup> + 1 ) (y <math>=</math> - [x + 1]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> -3 [x – 1]<sup>2</sup> -1)
</div>
 
 
'''Hilfe:''' <br>
Falls du Hilfe brauchst, kannst du dir hier einen Tipp holen!<br>
{{versteckt|
Eine Nullstelle ist der Punkt an dem der Graph die x-Achse schneidet!}}
 
 
'''Lösung:'''<br>
{{Lösung versteckt|
 
[[Bild:ParabelStation2Aufgabe4.jpg|left]]
Die richtigen Lösungen sind y <math>=</math> 2 [x – 3]<sup>2</sup> - 2 und y <math>=</math> - [x + 1]<sup>2</sup> + 2, deren Graphen farbig hervorgehoben sind. <br>
Wie du in der Grafik erkennen kannst, kommt es nur auf den Parameter y<sub>s</sub> und den Vorfaktor a an. <br>
Ist der Vorfaktor a positiv und der Parameter y<sub>s</sub> zugleich negativ, so liegt der Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der x-Achse. <br>
Da die Parabel durch den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet ist, muss es Nullstellen geben.
<br>
Genau umgekehrt verhält es sich für den Fall, dass der Vorfaktor a negativ und der Parameter y<sub>s</sub> positiv ist. 
}}
<br><br>
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Die Normalform und der Parameter a'''</u></big></div>
 
 
Auch bei der Normalform ändert sich nicht viel, wenn der Parameter a dazukommt.
 
Wieder kommt es darauf an, die Normal- in die Scheitelpunktsform und die Scheitelpunkts- in die Normalform umzuformen.
 
<br>
<u>Von der Scheitelpunktsform zur Normalform:</u>
 
Da es sich genauso verhält wie im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigt, wirst du die Umformung wieder selbst vornehmen.
 
 
<big>'''Aufgabe:'''</big>
 
Du hast die Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> 2(x - 3)<sup>2</sup> - 4 gegeben.  
Diese Form soll nun durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme <br>
auf die Form f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c gebracht werden.
 
Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!
 
<div class="lueckentext-quiz">
{|
|-
|  || <u>  </u> || 
|-
| 1. || y<math>=</math>  || a[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> <br> 
|-
| 2. || y<math>=</math>  || <strong> 2[x - 3]<sup>2</sup> -  4 </strong> <br> 
|-
| 3. || y<math>=</math> || <strong> 2[x<sup>2</sup> - 6x + 9] - 4 </strong> <br>
|-
| 4. || y<math>=</math> || <strong> 2x<sup>2</sup> - 12x + 14 </strong> <br>
|-
| 5. || y<math>=</math> || <strong> ax<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>
|}
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 
{{Merke|
Die Normalform f(x) <math>=</math> ax<sup>2</sup> + bx + c entsteht aus der Scheitelpunktsform f(x) <math>=</math> a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> durch '''ausmultiplizieren''' und '''zusammenfassen''' der Terme. <br>
}}
 
 
Betrachten wir nun die andere Richtung.
 


<u>Von der Normal- zur Scheitelpunktsform:</u>
{{Aufgaben|1=3
|2=
[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=54.458015,8.915577&spn=0.030585,0.055189&t=h&z=14 Landgewinnung bei Nordstrand]
[[File:Deichvorlandnordstrand.jpg|miniatur|200px|Deichvorland mit Grüppen und Fennen]][[File:Schobuellbuhne042006.jpg|miniatur|200px|Lahnungen]]
[[File:Priel_Nordsee.JPG|miniatur|200px|Priel]]


Diese Umformung funktioniert genauso wie das im Lernpfad '''"Die Normalform f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gezeigte Verfahren. Mittels quadratischer Ergänzung gelangt man zur Scheitelpunktsform.  
# Versuche die Begriffe rechts zu klären. {{Lösung versteckt|}}
# Wo im Bild erkennst Du Lahnungen, den Deich, Priele? [[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=54.46475,8.725934&spn=0.007645,0.013797&t=k&z=16 Die Hallig Südfall]
#
#
# [[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [http://maps.google.de/maps?hl=de&ll=53.699959,7.289429&spn=0.249186,0.441513&t=k&z=11 Norderney]


Zur Wiederholung klicke dich durch die folgende Anleitung:<br>
<br>


1. Schritt: Gegeben ist die Parabel p <br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt1.jpg]] 
}}
}}


===Talformen===


2. Schritt: Faktor ausklammern <br>
{{Aufgaben|1=4
{{versteckt|
|2=
[[Bild:UmformungSchritt2.jpg]] 
[[File:Google Maps.svg|50px]] Maps [https://maps.google.de/maps?hl=de&ll=49.881031,10.171967&spn=0.073669,0.132351&t=k&z=13 Mainschleife bei Volkach]
}}
# Informiere Dich über unterschiedliche [[:zum.de:Faecher/Ek/BAY/gym/Ek11/tal.htm|Talformen in Mittelgebirgen]].
 
# Betrachte auch das [[:zum.de:Faecher/Ek/BAY/gym/Ek11/mainst.htm|Stereobild]] mit einer Rot-Grün-Brille! - Welche Talformen siehst Du?
 
# Wo im Luftbild siehst Du einen Umlaufberg?
3. Schritt: Quadratische Ergänzung<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt3.jpg]] 
}}
 
 
4. Schritt: Binom erzeugen<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt4.jpg]]
}}
 
 
5. Schritt: Äußere Klammer auflösen<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt5.jpg]] 
}} 
 
 
6. Schritt: Scheitelkoordinaten<br>
{{versteckt|
[[Bild:UmformungSchritt6.jpg]] 
}}
 
Um das ein wenig einzuüben löse die folgende Aufgabe!
 
 
 
<big>'''Aufgabe: Zuordnung - Gruppe'''</big>
 
Nimm dir ausnahmsweise mal ein Blatt zur Hand und stell zu den vorgegebenen quadratischen Funktionen die Scheitelpunktsform auf und ordne anschließend die entsprechenden Scheitelpunktsformen, Scheitelkoordinaten und Graphen den Funktionsgleichungen zu.  
 
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
| f(x)<math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14 || f(x)<math>=</math> 2(x + 3)<sup>2</sup> - 4  || <math>S(-3\!\,|\!\,-4)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung1.jpg]] ||
|-
| f(x)<math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x -41 || f(x)<math>=</math> -3(x - 4)<sup>2</sup> + 7  || <math>S(4\!\,|\!\,7)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung2.jpg]] ||
|-
| f(x)<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2 || f(x)<math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3  || <math>S(1\!\,|\!\,-3)</math> || [[Bild:Station3AufgabeZuordnung3.jpg]]
|}
</div>
 
 
'''Lösung:'''<br>
Falls du Probleme mit der quadratischen Ergänzung hattest, kannst du sie dir hier anschauen! <br>
{{Lösung versteckt|
      f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 12x + 14
          <math>=</math> 2 [x<sup>2</sup> + 6x] + 14
          <math>=</math> 2 [x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14
          <math>=</math> 2 [(x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>] + 14
          <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 2(3<sup>2</sup>) + 14
          <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 18 + 14
          <math>=</math> 2 (x + 3)<sup>2</sup> - 4
 
      f(x) <math>=</math> -3x<sup>2</sup> + 24x - 41
          <math>=</math> -3 [x<sup>2</sup> - 8x] - 41
          <math>=</math> -3 [x<sup>2</sup> - 8x + 4<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41
          <math>=</math> -3 [(x - 4)<sup>2</sup> - 4<sup>2</sup>] - 41
          <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> -[-3(-4<sup>2</sup>)] - 41
          <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 48 - 41
          <math>=</math> -3 (x - 4)<sup>2</sup> + 7


      f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> - 2x - 2
Hier werden noch Ergänzungen einfließen.  
          <math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2
          <math>=</math> (x - 1)<sup>2</sup> - 3
   
}}
}}




Jetzt kennst und kannst du wirklich alles zur quadratischen Funktion.
----
Stelle dein Wissen in der vierten und letzten Station unter Beweis.
Hier wird noch mal alles zuvor Erlernte in vermischten Aufgaben abgefragt.
Viel Erfolg!
 
 
 
<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Vermischte Aufgaben zur quadratischen Funktion'''</u></big></div>
 
 
 
<big>'''1. Aufgabe: Schüttelrätsel'''</big>
 
Finde die unverdrehte Lösung zu den verdrehten Wörtern!
 
Du kannst deine Ergebnisse erst überprüfen, wenn alle Felder ausgefüllt sind!
 
<div class="schuettel-quiz">
 
Eine Funktion der Form f(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c nennt man '''quadratische''' Funktion. <br>
 
Durch Umformen mit Hilfe der quadratischen '''Ergänzung''' erhält man die '''Scheitelpunktsform''' f(x) = a(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>. <br>
 
An der Scheitelpunktsform kann man die '''Koordinaten''' für den '''Scheitelpunkt''' ablesen. <br>
 
Der Scheitelpunkt gibt dabei den '''höchsten''' oder '''tiefsten''' Punkt der Parabel an. <br>
 
Hat die Parabel einen höchsten Punkt, so ist sie nach '''unten''' geöffnet und der Parameter a ist '''negativ'''. <br>
 
Ist der Vorfaktor hingegen positiv, dann besitzt die Parabel einen '''tiefsten''' Punkt und die Parabel ist nach '''oben''' geöffnet. <br>
 
Außerdem bewirkt der Parameter a eine '''Streckung''', '''Stauchung''', und oder eine "Spiegelung" der Parabel. <br>
 
Nimmt der Vorfaktor einen Wert zwischen -1 und +1 an, so wird die Parabel '''gestaucht'''. <br>
 
Ist hingegen der Vorfaktor a kleiner -1 oder größer +1, so wird die Parabel '''gestreckt'''. <br>
Neben der Streckung und Stauchung der Parabel durch den Parameter a, existieren noch die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, die für eine '''Verschiebung''' der Parabel in der '''Ebene''' verantwortlich sind. <br>
 
Für y<sub>s</sub> > 0 wird die Parabel nach '''oben''' verschoben und für y<sub>s</sub> < 0 nach '''unten'''. <br>
 
Ähnlich verhält es sich mit dem Parameter x<sub>s</sub>, der für eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung sorgt. <br>
 
Hier wird für x<sub>s</sub> > 0 nach '''rechts''' und für x<sub>s</sub> < 0 nach '''links''' verschoben.
 
 
</div>
 
 
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
 
 
 
<big>'''2. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE'''</big>
 
 
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5 <br>
<br>
 
<div class="multiplechoice-quiz">
'''In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse und wie bestimmt man diesen Punkt?'''
(!Man kann die Koordinaten nur mittels quadratischer Ergänzung bestimmen)
(Schnittpunkt mit y-Achse: [0; -2,5])   
(Durch Einsetzen des bekannten x-Wertes bestimmt man den y-Wert)
(!Schnittpunkt mit y-Achse: [1; 2,5])
</div>
 
 
'''Tipp!''' <br>
{{versteckt|
Überlege dir, was gelten muss, wenn die Parabel die y-Achse schneidet.
}}
 
'''Hilfe:''' <br>
{{versteckt|
Du kennst einen Koordinantenpunkt. An der Stelle, an der die Parabel die y-Achse schneidet ist der x-Wert 0. Setze diesen Wert in die Gleichung ein und bestimme den zugehörigen y-Wert. 
}}
 
'''Erklärung:''' <br>
{{versteckt|
Wenn die Parabel die y-Achse schneidet ist der y-Wert vorgegeben, er ist 0. Diesen Wert setzt man in die Funktionsgleichung ein und bestimmt den y-Wert.
      y <math>=</math> 0,5x<sup>2</sup> - x - 2,5     
      y <math>=</math> 0,5(0)<sup>2</sup> - 0 - 2,5
      y <math>=</math> -2,5
}}
 
 
 
 
<big>'''3. Aufgabe: Multiple Choice'''</big>
 
'''Finde die richtigen Lösungen! Es können auch mehrere Antworten möglich sein!'''
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 gilt:''' (Die Parabel schneidet die y-Achse)(!Die Parabel schneidet die x-Achse)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 2]) (!Die Parabel hat den Scheitelpunkt [2, 0]) (!Der Scheitelpunkt, ist der Punkt, an dem die Parabel die x-Achse schneidet)
 
 
'''Diese Funktion ist keine quadratische Funktion:''' (!y <math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>)(!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3 - 5x)(y <math>=</math> 2x<sup>3</sup> + 2x + 3) (y <math>=</math> 8 + 2x) (!y <math>=</math> [x + 3][x - 3])
 
 
'''Für die Funktion f(x) <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 2x gilt:''' (Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung)(!Die Parabel ist nach unten geöffnet)(Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist gestreckt)
 
 
'''Für den Graph der Funktion f(x) <math>=</math> -2 [x + 3]<sup>2</sup> - 2 gilt:''' (Der Graph geht nicht durch den Koordinatenursprung)(Der Graph ist identisch mit y <math>=</math> -2x<sup>2</sup> -12x -20)(!Der Graph ist eine verschobene Normalparabel) (!Der Graph ist nach oben geöffnet)
 
 
'''Welche der folgenden Parabeln hat den Scheitelpunkt S(3, -2)?''' (!y <math>=</math> 2x<sup>2</sup> + 3x + 3) (y <math>=</math> -3[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (y <math>=</math> 5[x - 3]<sup>2</sup> - 2) (!y <math>=</math> 12 [x + 3] - 2)
 
 
'''Wenn die Parabel die x-Achse nicht schneidet, dann gilt:''' (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Parameter y<sub>s</sub> ist negativ) (y <math>=</math> 2[x - 5]<sup>2</sup> + 2) (!y <math>=</math> [x + 6]<sup>2</sup> - 1) 


</div>
[[Musterbeispiele für den Unterrichtseinsatz von Google Maps]]
<br>


'''Spitze!'''
----


Nun kennst du die "Quadratische Funktion" und kannst mit ihr arbeiten!!!
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Geologie|!]]
[[Kategorie:Google Maps]]

Version vom 15. Dezember 2012, 23:29 Uhr

Küstenlandschaften

Deutsche Nordseeküste

Aufgabe 1

Google Maps.svg Maps Überblick

  1. Nenne und zeige deinem "Partner" die einzelnen Meere, Inselgruppen sowie die einzelnen Inseln.
  2. Informiere Dich über verschiedene Küstenformen.


Deutsche Küstenlandschaft im Verbund mit historischen Karten

Aufgabe 2

Google Maps.svg Maps Nordstrand heute

Rungholt.jpg
Alt-nordstrand auf bleau-karte.jpg

Nordstrand 1662 vor der "Zweiten groten Manndränke"

  1. Vergleiche die alte Karte mit der heutigen Situation. Findest Du möglich Erklärungen?
  2. Lies den unten beigefügten Text von Theodor Storm. Wovon erzählt Storm in den ersten beiden Absätzen? Kläre die Begriffe Koog und Fennen, von denen Storm im folgenden Absatz erzählt.
  3. Informiere Dich über die Geschichte Rungholts: Dokumentation


Zitat
Quellentext:

Einst waren große Eichenwälder an unsrer Küste, und so dicht standen in ihnen die Bäume, daß ein Eichhörnchen meilenweit von Ast zu Ast springen konnte, ohne den Boden zu berühren. Es wird erzählt, daß bei Hochzeiten, welche durch den Wald zogen, die Braut ihre Krone habe vom Haupte nehmen müssen; so tief hing das Gezweig herab. In den Tagen des Hochsommers war unablässig Schattenkühle unter diesen Waldesdomen, die damals noch der Eber und der Luchs durchstreiften, indessen oben, nur von den Augen der revierenden Falken gesehen, ein Meer von Sonnenschein auf ihren Wipfeln flutete. Aber diese Wälder sind längst gefallen; nur mitunter gräbt man aus schwarzen Moorgründen oder aus dem Schlamm der Watten noch eine versteinerte Wurzel, die uns Nachlebende ahnen läßt, wie mächtig einst im Kampfe mit den Nordweststürmen jene Laubkronen müssen gerauscht haben. Wenn wir jetzt auf unsern Deichen stehen, so blicken wir in die baumlose Ebene wie in eine Ewigkeit; und mit Recht sagte jene Halligbewohnerin, die von ihrem kleinen Eiland zum erstenmal hierherkam: »Mein Gott, wat is de Welt doch grot; un et gifft ok noch en Holland!«

Und wie erquicklich die Luft auf diesen Deichen weht! Ich komme eben heim; wo hätte ich besser den Sonntagmorgen feiern können!

Schon hatte unten in den Kögen der erste warme Frühlingsregen die unabsehbaren Wiesenlandschaften grün gemacht; schon weideten wieder die unzähligen Rinder auf der Rasendecke, in welcher die Wassergräben zwischen den einzelnen Fennen wie Silberstreifen in der Morgensonne funkelten. Von hüben und drüben, abwechselnd und sich antwortend, in unendlicher Abtönung, erhob sich Gebrüll und klang weit über die Ebene hinaus. Und wie lebendig die Stare waren, diese geflügelten Freunde der Rinder! In lärmendem Zuge kamen sie vom Koge herauf, schwenkten vor mir hin und wider und fielen dann in dichtem Schwarm auf die Krone des Deiches nieder, um gleich darauf, hurtig um sich pickend, seewärts an der Böschung hinabzuspazieren
Theodor Storm - Eine Halligfahrt


Aufgabe 3

Google Maps.svg Maps Landgewinnung bei Nordstrand

Deichvorland mit Grüppen und Fennen
Lahnungen
Priel
  1. Versuche die Begriffe rechts zu klären.
  1. Wo im Bild erkennst Du Lahnungen, den Deich, Priele? Google Maps.svg Maps Die Hallig Südfall
  2. Google Maps.svg Maps Norderney


Talformen

Aufgabe 4

Google Maps.svg Maps Mainschleife bei Volkach

  1. Informiere Dich über unterschiedliche Talformen in Mittelgebirgen.
  2. Betrachte auch das Stereobild mit einer Rot-Grün-Brille! - Welche Talformen siehst Du?
  3. Wo im Luftbild siehst Du einen Umlaufberg?
Hier werden noch Ergänzungen einfließen.



Musterbeispiele für den Unterrichtseinsatz von Google Maps