Wir erforschen den Boden/Wir ermitteln die Bakterienkeimzahl mit einem Testgerät

Super! Jetzt hast du alle wichtigen Inhalte wiederholt und trainiert. Jetzt solltest du in der Lage sein, mögliche Klausuraufgaben zu lösen. Viel Spaß!

Aufgabe 1

Aufgrund einer Veränderung des Produktionsablaufes behauptet ein Smartpohnehersteller, dass von den produzierten Smartphones statt bisher 6% weniger fehlerhaft sind. In einem linksseitigen Test mit 100 zufällig entnommenen Smartphones, soll die Nullhypothese " Der Anteil der defekten Smartphones beträgt 6%" auf einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden.

a) Bestimme die Entscheidungsregel für den Test.
b) Beschreibe die zugehörigen Fehlerarten im Sachzusammenhang.

a) 1. Schritt:$H_0:p\geq0,05$ und $H_1:p<0,05$
2. Schritt: n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl der überprüften Smartphones, die defekt sind. X ist im Grenzfall $B_{100,0.05}$- verteilt.
4. Schritt: $P(X\leq kr)\leq0,05$
Durch Ablesen der Tabelle erhält man kr=1.
Annahmebereich: {2, ...,100} und Verwerfungsbereich: {0,1}.
b) Bei dem Fehler 1. Art sind tatsächlich mindestens 5% der hergestellten Smartphones defekt, durch den Test wird aber vermutet, dass der Anteil der kaputten Smartphones unter 5% liegt.
Beim Fehler 2. Art sind tatsächlich weniger als 5% der hergestellten Smartphones defekt, der Test erkennt dies aber nicht. Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise nicht verworfen.

Aufgabe 2

Viele Universitäten in Deutschland bieten neu gemeinsame Busfahrten zum King`s Day nach Amsterdam an. Durch ein Signifikanztest soll überprüft werden, ob durch dieses Angebot an dem Tag mehr Menschen aus Deutschland anreisen als sonst. Im letzten Jahr kamen 34% aller Besucher aus Deutschland. Für den Test werden zufällig 100 Menschen beim King`s Days befragt und das Signifikanzniveau $\alpha$ wird auf 5% festgelegt.

a) Führe einen passenden Signifikanztest durch und formuliere die zugehörige Entscheidungsregel.
b) In der Umfrage kommt raus, dass 45 der Befragten aus Deutschland kommen. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?

a) 1. Schritt: $H_0:p\leq0,34$ und $H_1:p>0,34$
2. Schritt: $n=100$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt:X= Anzahl der 100 Befragten, die aus Deutschland angereist sind. X ist im Grenzfall $B_{100,0.34}$ -verteilt
4. Schritt: $P(X\geq kr)\leq0,05\Rightarrow1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$
$P(X\leq kr-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle kr-1=42 => kr=43
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn das Stichprobenergebnis im Intervall von {43...100}liegt. Der Annahmebereich ist das Intervall zwischen {0,...42}.
b) Das Ergebnis liegt im Verwerfungsbereich. Somit kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgegangen werden, dass der Anteil der aus Deutschland angereisten Besucher*innen gestiegen ist.

Aufgabe 3

Ein Präsidentschaftskanditat aus den USA hat in der zwei Monat zurück liegenden Umfrage einen Stimmenanteil von 50% Prozent erzielt. Nun interessiert er sich, ob sein Stimmenanteil sich verändert hat. Er will dies mit einem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen und lässt zufällig 1000 Menschen befragen.Das Signifikanzniveau wird auf 5% festgelegt.

a) Führe den Signifikanztest durch und bestimme die Entscheidungsregel

a) 1. Schritt:$H_0:p=0,5$ und $H_1:p\neq0,5$
2. Schritt $n=1000$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}
3. Schritt: X ist die Anzahl von den 1000 Menschen, die ihn wählen würden. X ist $B_{1000;0,5}- verteilt$
4. Schritt: 1.) $P(X\leq kr)\leq 0,025$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=468.
2.) $P(X\leq kr-1)\geq0,975$
Aus Ablesen der Tabelle folgt kr=532.
Annahmebereich: {469,...531}.
Verwerfungsbereich: {0,..468}$\cup${532,.., 1000}.