Main>Roland Weber |
Main>Petra Bader |
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| Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
| | <div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;"> |
| | [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[6. Stufe|6. Stufe]] - [[6. Stufe|6. Stufe]] |
| | </div> |
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| == Einstiegsaufgaben == | | ==1. Stufe== |
| | | <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" |
| ===== Blumenvase =====
| | filename="3_xn.ggb" /> |
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| <ggb_applet width="443" height="548" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
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| In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
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| <math>h(t)=0,001(t+8)^3</math>
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| Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
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| ===== Barringer-Krater =====
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| [[Datei:Meteor.jpg|400px]]
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| In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
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| Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden:
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| <math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0<=x<=300</math>
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| ''Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin''
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| Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
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| == Durchschnittliche Änderungsrate ==
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| ===== Blumenvase =====
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| Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?<br>
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| Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?<br>
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| ...
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| == Sekantensteigung ==
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| ===== Barringer-Krater =====
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| Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man ''Sekante''. <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die Sekantensteigung.
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| {{Aufgaben-M|1|
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| Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind:
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| x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub> und f(x<sub>1</sub>)-f(x<sub>0</sub>)
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| ''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)''
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| }}
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| <br><br>
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <br><br>
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| In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
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| {{Aufgaben-M|2|
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| Nähern sie den Punkt B immer dem Punkt A. Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.
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| :{{Lösung versteckt|1= Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion.
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| {{Kasten_blau|
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| Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''.
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| ''Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.''
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| }}
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| {{Aufgaben-M|3|
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| Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet.
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| * Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und C(1,5;f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
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| * Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1;1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 3.
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| * Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
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| * die Steigung ist (ungefähr) 2.
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|4|
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| * Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1;1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
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| * Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| * Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>.
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| * Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>.
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| * Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
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| {{Kasten_blau|
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| Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.
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| }}
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| }}
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| Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>.
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| {{Aufgaben-M|5|
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| Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x<sub>0</sub>+h, f(x<sub>0</sub>+h)
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| f(x<sub>0</sub>+h)-f(x<sub>0</sub>) zu finden sind.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|6|
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| gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>.
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| Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=\frac{1}{10^n}</math> mit n gleich 1, 2, 3,...)
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| ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.''
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| Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben.
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| }}
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| {{Aufgaben-M|7|
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| * ''das gleiche mit einer anderen Funktion''
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| * ''irgendwas zur zeitlichen und inhaltlichen Differenzierung''
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| }}
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| == Differenzenquotient ==
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| Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
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| Plenumsphase?
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| Möglicher Inhalt:
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| Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
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| == Differentialquotient ==
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| {{Kastendesign1|
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| BORDER = #97BF87|
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| BACKGROUND = #AADDAA|
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| BREITE =100%|
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| INHALT= Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten
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| Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet.
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| BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
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| ÜBERSCHRIFT=Information|
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| }}
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| Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>)
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| * beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt,
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| * beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert.
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| <br><br>
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| <ggb_applet width="650" height="600" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br><br />
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| {{Protokollieren|}}Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
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| <br>
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| {{Aufgaben-M|17|
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| Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten Sie den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft.
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| }}
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| Andere Schreibweise:
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| Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen.
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| {{Aufgaben-M|18|
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| Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h.
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| }}
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| :{{Lösung versteckt|1=
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| <math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
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| <br><br>
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| Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten.
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| <br><br> | | <br><br> |
| <ggb_applet width="650" height="600" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
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| <br> <br>
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| {{untersuchen|}} Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
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| }}
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| <br /><br />
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| {{Aufgaben-M|19|
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| Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben:
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1]
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| * [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2]
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| }}
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| <br>
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| {{Aufgaben-M|8|
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| ''Rohfassung'' Betrachte noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben:
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| * Was waren die Problemstellungen?
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| * Was waren die ersten Lösungsansätze?
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| * Wie sieht die mathematische Lösung aus?
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| }}
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| == Ableitungsfunktion ==
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| [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Ableitungsfunktion]
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| ''Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.''
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| Kontext plus Übung
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| ''Diagnoseinstrument''
| | <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" |
| | filename="4_axnc.ggb" /> |