Benutzer:PascalHänle/Folgen und Grenzwert und Logarithmusfunktion: Unterschied zwischen den Seiten

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==Folgen und Grenzwerte==
=== Lernpfad zur Logarithmusfunktion ===
Beim Spiel Mensch ärgere Dich nicht benötigt man eine 6 um mit dem ersten Männchen ins Spiel einzusteigen.
[[Datei:Mensch ärgere Dich nicht .jpg|mini]]
<br />{{Box|Aufgabe 1|'''a)''' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei Würfe, vier Würfe, fünf Würfe, …, n Würfe genügen, um ins Spiel zu kommen. Stelle hierzu eine Folge in expliziter Schreibweise auf.


{{Box|Info zur Bearbeitung| Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Logarithmusfunktion. Was ihr jeweils zu tun habt steht in der Aufgabenstellung. Teilweise gibt es Buttons mit "Tipp" und "Lösung". Wenn ihr auf diese klickt, öffnet sich entsprechend ein Tipp zur Bearbeitung oder die Lösung der Aufgabe.|Info}}


'''b)''' Stelle die ersten 6 Folgeglieder graphisch dar und notiere Deine Vermutung wie sich die Folgenglieder für wachsendes n verhalten und welche Werte diese annehmen.{{Lösung versteckt|Hier als Beispiel die graphische Darstellung für die Folge der Quadratzahlen[[Datei:Beipspielfolge.png|rand|400x400px|Graphische Darstellung der ersten 6 Folgeglieder für die Folge der Quadratzahlen.]]|Hife anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Box|Erkundung der Logarithmusfunktion|
(Sollte euch das Applet nicht angezeigt werden hilft es i.d.R. ein paar mal die Seite zu aktualisieren.)


'''c)''' Überprüfe deine Vermutung mit Hilfe des GeoGebra Applets und der Tabelle. {{Lösung versteckt|<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/fkffrq7y?embed" width="800" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
'''a)''' Zoomt in dem GeoGebra-Applet ganz nah an die y-Achse heran und folgt dem Verlauf des Graphen. Was fällt euch auf?
|Applet anzeigen|Applet verbergen}}  
 
'''b)''' Zoomt wieder raus. Probiert die verschiedenen Schieberegler aus. Verändert dabei immer nur einen und notiert euch welchen Einfluss die jeweilige Änderung auf den Funktionsgraphen hat.  
 
<ggb_applet id="wfgskyd3" width="700" height="500" border="888888" />|Arbeitsmethode}}
 
{{Box| Nice to know!|
Was ist der Logarithmus überhaupt?
{{LearningApp|width:80%|height:250px|app=16879906}}
|Merke}}
 
{{Box| Die Ableitung des natürlichen Logarithmus|
Die Ableitung von <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> kann mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen
 
<math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math>
 
berechnet werden.
 
'''Aufgabe:''' Leite mit Hilfe der obigen Ableitungsregel den natürlichen Logarithmus ab.
 
{{Lösung versteckt|1= Da <math>\bar{f}(x)=ln(x)</math> ist <math>f(x)=e^x</math>. Setzte diese entsprechend (teilweise ja die Ableitung) in die Formel ein.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1= <math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{f'(\bar{f}(x))}</math>
 
<math>\bar{f}'(x)=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}</math>|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}


{{Box|Aufgabe 2|'''a)''' Wie verhalten sich die Folgenglieder bei wachsender Platznummer n? Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der drei Folgen.  
{{Box|Ableiten verschiedener ln-Funktionen|
Hier kommen die Folgen hin.  
Leite die folgenden orangenen Funktionen ab und ordne sie dann ihrer Ableitung zu. Notiere die eventuelle Fragen oder Unklarheiten.


1) a_n = 3 + 1/(2n)        2) b_n = 3 - 1/(2n)            3) c_n = 3 + ((-1)^n)/(2n)
{{LearningApp|width:50%|height:1000px|app=16881552}}


'''b)''' Überprüfe Deine Vermutung mit Hilfe der Tabelle. {{Lösung versteckt|<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/yxt2my2n?embed" width="500" height="800" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>|Tabelle anzeigen|Tabelle verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=v(u(x))</math>, dann <math>f'(x)=v'(u(x))\cdot u'(x)</math> |2= Tipp: Kettenregel|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=v(x)\cdot u(x)</math>, dann <math>f'(x)=v'(x)\cdot u(x)+v(x)\cdot u'(x)</math> |2= Tipp: Produktregel|3=Tipp verbergen}}


{{Lösung versteckt|1= <math>f(x)=\frac{v(x)}{u(x)}</math>, dann <math>f'(x)=\frac{v'(x)\cdot u(x)-v(x)\cdot u'(x)}{u(x)^2}</math> |2= Tipp: Quotientenregel|3=Tipp verbergen}}
|Arbeitsmethode}}
|Arbeitsmethode}}

Version vom 24. Januar 2021, 16:49 Uhr

Lernpfad zur Logarithmusfunktion

Info zur Bearbeitung
Bearbeitet die folgenden Aufgaben zur Logarithmusfunktion. Was ihr jeweils zu tun habt steht in der Aufgabenstellung. Teilweise gibt es Buttons mit "Tipp" und "Lösung". Wenn ihr auf diese klickt, öffnet sich entsprechend ein Tipp zur Bearbeitung oder die Lösung der Aufgabe.


Erkundung der Logarithmusfunktion

(Sollte euch das Applet nicht angezeigt werden hilft es i.d.R. ein paar mal die Seite zu aktualisieren.)

a) Zoomt in dem GeoGebra-Applet ganz nah an die y-Achse heran und folgt dem Verlauf des Graphen. Was fällt euch auf?

b) Zoomt wieder raus. Probiert die verschiedenen Schieberegler aus. Verändert dabei immer nur einen und notiert euch welchen Einfluss die jeweilige Änderung auf den Funktionsgraphen hat.

GeoGebra


Nice to know!

Was ist der Logarithmus überhaupt?


Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung von kann mit Hilfe der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen

berechnet werden.

Aufgabe: Leite mit Hilfe der obigen Ableitungsregel den natürlichen Logarithmus ab.

Da ist . Setzte diese entsprechend (teilweise ja die Ableitung) in die Formel ein.


Ableiten verschiedener ln-Funktionen

Leite die folgenden orangenen Funktionen ab und ordne sie dann ihrer Ableitung zu. Notiere die eventuelle Fragen oder Unklarheiten.



, dann
, dann
, dann