Main>Walla Marina |
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| = <span style="color: green">Umformen von Termen</span> = | | == Beschreibung == |
| ==<span style="color: green">Äquivalente Terme </span> ==
| | Selbst fotographiert und beschnitten. |
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| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">
| | Autor: Birgit Lachner |
| '''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
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| {|
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| ! width="910" |
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| |-
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| | valign="top" |
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| {|
| | [[Kategorie:Stoffeigenschaft]][[Kategorie:Stoffeigenschaften]][[Kategorie:Stoffeigenschaft]][[Kategorie:Säure]] |
| ! width="600" |
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| ! width="10" |
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| |-
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| | valign="top" |
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| <br /> <br /> Übertrage die Zeichnung in dein Heft und überlege dir zwei verschiedene Terme, mit denen du den Flächeninhalt der <span style="color: green">grün</span> markierten Fläche ausrechnen kannst. (Hinweis: b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>=b)
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| Tipp: In der vorherigen Aufgabe gab es auch 2 Möglichkeiten den Flächeninhalt zu errechnen.
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| |} <br /> <br />
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| | valign="top" |
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| [[Bild:einstieg_addierensubtrahieren_neu.jpg]] <br /> <br />
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| |}
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| <popup name="Lösung">
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| 1. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks aus 2b•4 und zieht den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks 2b ab. Also: A<sub>1</sub> (b)= 2b•4-2b
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| 2. Möglichkeit: Man rechnet den Flächeninhalt eines kleinen Rechtecks aus 2b und nimmt ihn mal drei. Also A<sub>2</sub> (b)= 3•2b
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| Bei jeder Einsetzung für b müssen die beiden unterschiedlich aussehenden Terme dasselbe Ergebnis ergeben, weil es lediglich verschiedene Rechenwege zur Berechnung des gleichen Flächeninhalts sind. Diese Terme sind <u>'''gleichwertig'''</u>.
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| </popup>
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| <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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| Zwei Terme, die bei jeder möglichen Einsetzung einer Zahl für die Variable jeweils den gleichen Wert annehmen, heißen <u>'''gleichwertig'''</u> oder <u>'''äquivalent'''</u>.
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| Durch Anwendung der Rechengesetze kannst du einen Term in einen äquivalenten Term umformen.
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| <span style="color: green"><u>Rechengesetze:</u></span>
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| {|width="99%"
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| |width="40%" style="vertical-align:top"|
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| * '''Kommutativgesetz (KG)''': für alle rationalen Zahlen a, b gilt:
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| ::a+b = b+a
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| ::a•b = b•a
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| * '''Assoziativgesetz (AG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
| |
| ::a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c
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| ::a•(b•c) = (a•b)•c = a•b•c
| |
| * '''Distributivgesetz (DG)''': für alle rationalen Zahlen a, b, c gilt:
| |
| ::a•(b+c) = a•b+a•c
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| :für alle rationalen Zahlen a, b, c (a<math>\neq</math> 0) gilt:
| |
| ::(b+c):a = b:a+c:a
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| |width="50%" style="vertical-align:top"|
| |
| |width="70%" style="vertical-align:center"|
| |
| [[Bild:erklärwurm.gif]]
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| |}
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| </div>
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| <br />
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| ''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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| <br />
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| T(a;b)= 3a+(7b+2a)
| |
| : <sup>(KG)</sup>= 3a+(2a+7b)
| |
| :<sup>(AG)</sup>= (3a+2a)+7b
| |
| := 5a+7b
| |
| | |
| Durch geschicktes Anwenden der Rechengesetze kannst du einen Term zu einem äquivalenten Term vereinfachen.
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| Vereinfache nun selbst folgende Terme:
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| a)T(a;b)= 7a+(9b+6a)
| |
| | |
| b)T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
| |
| | |
| c)T(a;b)= (3+5•x)•x
| |
| | |
| <popup name="Lösung">
| |
| a) T(a;b)= 7a+(9b+6a)
| |
| :<sup>(KG)</sup>= 7a+(6a+9b)
| |
| :<sup>(AG)</sup>= (7a+6a)+9b
| |
| := 13a+9b
| |
| | |
| b) T(a;b)= 2•(a•3)•b+4•(a•5)•b
| |
| :<sup>(KG)</sup>= 2•(3•a)•b+4•(5•a)•b
| |
| : <sup>(AG)</sup>=(2•3)•a•b+(4•5)•a•b
| |
| := 6ab+20ab
| |
| := 26ab
| |
| | |
| c)T(a;b)= (3+5•x)•x
| |
| :<sup>(DG)</sup>= 3•x+5•x•x
| |
| := 3x+5x<sup>2</sup>
| |
| </popup> </div>
| |
| <br /><br />
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| | |
| ==<span style="color: green">Addieren und Subtrahieren äquivalenter Termglieder </span> ==
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| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
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| <br />Überlege, ob du folgende Terme vereinfachen kannst:
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| *5•x+3•x=
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| | |
| *5•x-3•x=
| |
| <popup name="Lösung">
| |
| *5•x+3•x= 8•x=8x
| |
| | |
| *5•x-3•x= 2•x= 2x
| |
| </popup>
| |
| <br />
| |
| <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
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| {|width="99%"
| |
| |width="100%" style="vertical-align:top"|
| |
| Gleichartige Glieder werden addiert, indem man die [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht/Umformen von Termen/Koeffizienten|Koeffizienten]] addiert und die gemeinsame Variable beibehält:
| |
| ::<span style="color: red">m</span>•x+<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m+n</span>)•x
| |
| | |
| Gleichartige Glieder werden subtrahiert, indem man vom Koeffizienten des Minuenden den Koeffizienten des Subtrahenden subtrahiert und die gemeinsame Variable beibehält:
| |
| ::<span style="color: red">m</span>•x-<span style="color: red">n</span>•x=(<span style="color: red">m-n</span>)•x
| |
| |width="50%" style="vertical-align:top"|
| |
| |width="50%" style="vertical-align:center"|
| |
| [[Bild:erklärwurm.gif]]
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| |}
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| </div>
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| <br />
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| ''' <span style="color: blue">Beispiel</span>'''
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| <br />T(x)= 9•x-6+7•x+8 = 9x+7x-6+8 = 16x+2
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| <br />Um einen Term übersichtlicher zu machen, solltest du die Teilterme nach dem Alphabet ordnen und dann die Teilterme mit gleicher Variable zusammenfassen.<br />
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| Fasse nun selbst folgende Terme so weit wie möglich zusammen:
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| * T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z
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| * T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math>
| |
| * T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9)
| |
| <popup name="Lösung">
| |
| | |
| * T(z)= 8•z<sup>2</sup>-7+3•z+(4•z<sup>2</sup>+2•z<sup>2</sup>)-2z =
| |
| := 8z<sup>2</sup>-7+3z+6z<sup>2</sup>-2z =
| |
| := 8z<sup>2</sup>+6z<sup>2</sup>+3z-2z-7 =
| |
| := 14z<sup>2</sup>+z-7
| |
| * T(n)= 2,2•n+2,8•n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ n(2.7+0,3n)\right]</math> =
| |
| := 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+ <math>\left[ 2,7n+0,3n^2)\right]</math> =
| |
| := 2,2n+2,8n<sup>2</sup>-0,25+2,7n+0,3n<sup>2</sup> =
| |
| := 2,8n<sup>2</sup>+0,3n<sup>2</sup>+2,2n+2,7n-0,25 =
| |
| := 3,1n<sup>2</sup>+4,9n-0,25
| |
| * T(a;b)= 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+a(2b+9) =
| |
| := 4a<sup>2</sup>-2a+3b+2-8b<sup>2</sup>+2ab+9a =
| |
| := 4a<sup>2</sup>-2a+9a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2 =
| |
| := 4a<sup>2</sup>+7a+2ab-8b<sup>2</sup>+3b+2
| |
| </popup> </div>
| |
| <br />
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| ==<span style="color: green">Multiplizieren eines Produkts mit einer Zahl und Dividieren eines Produkts durch eine Zahl </span> ==
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| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
| |
| <br />Überlege, wie du mit Hilfe der Rechengesetze den folgenden Term vereinfachen kannst.
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| | |
| T(x)= (3•a)•2
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| <popup name="Lösung">
| |
| T(x)= (3•a)•2=
| |
| :<sup>(AG)</sup> = 3•(a•2) =
| |
| :<sup>(KG)</sup> = 3•(2•a) =
| |
| :<sup>(AG)</sup> = (3•2)•a =
| |
| : = 6•a
| |
| : = 6a
| |
| </popup>
| |
| <br />
| |
| <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
| |
| {|width="99%"
| |
| |width="1000%" style="vertical-align:top"|
| |
| Man multipliziert ein Produkt mit einer Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren mit dieser Zahl multipliziert.
| |
| :(<span style="color: red">4</span>•a)•<span style="color: red">3</span> = 4•(a•3) = 4•(3•a) = (<span style="color: red">4•3</span>)•a = <span style="color: red">12</span>•a = 12a
| |
| |width="50%" style="vertical-align:top"|
| |
| |width="70%" style="vertical-align:center"|
| |
| [[Bild:erklärwurm.gif]] | |
| |}
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| | |
| </div>
| |
| <br />
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| | |
| Überlege nun, wie du folgenden Term vereinfachen kannst.
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| | |
| T(a)= (14•a):2
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| <popup name="Lösung">
| |
| T(a)= (14•a):2=
| |
| := <math>\frac{14*a}{2}</math>
| |
| | |
| | |
| := <math>\frac{7*a}{1}</math>
| |
| | |
| | |
| := 7•a
| |
| := 7a
| |
| </popup>
| |
| <br />
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| <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
| |
| {|width="99%"
| |
| |width="100%" style="vertical-align:top"|
| |
| Man dividiert ein Produkt durch eine Zahl, indem man '''einen''' der Faktoren durch diese Zahl dividiert.
| |
| : (<span style="color: red">9</span>•a):<span style="color: red">3</span> = <math>\frac{9*a}{3}</math> = <math>\frac{3*a}{1}</math> = <span style="color: red">3</span> •a = 3a
| |
| |width="50%" style="vertical-align:top"|
| |
| |width="70%" style="vertical-align:center"|
| |
| [[Bild:erklärwurm.gif]] | |
| |}
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| | |
| </div><br />
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| ''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''
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| Forme möglichst einfache Terme:
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| * (-6n):2
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| * 24•0,5b
| |
| * 2m•6
| |
| * 25y:(-0,1)
| |
| * <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math>
| |
| * (2y+5y-6y)•2
| |
| <popup name="Lösung">
| |
| | |
| * (-6n):2= <math>\frac{-6n}{2}</math> = <math>\frac{-3n}{1}</math> = -3n
| |
| * 24•0,5b= (24•0,5)•b= 12•b= 12b
| |
| * 2m•6= (2•6)•m= 12•m= 12m
| |
| * 25y:(-0,1)= <math>\frac{25y}{-0,1}</math> = <math>\frac{-250y}{1}</math> = -250y
| |
| * <math>\left( \frac{x}{4} +\frac{x}{12} \right) :3</math> = <math>\left( \frac{3x}{12} +\frac{x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{4x}{12}\right) :3</math> = <math>\left( \frac{x}{3}\right) :3</math> = <math>\frac{x}{3} *\frac{1}{3} </math> = <math>\frac{x}{9} </math>
| |
| * (2y+5y-6y)•2= y•2= 2y
| |
| </popup> </div>
| |
| <br />
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| ==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
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| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''
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| Prüfe, ob die Terme äquivalent sind
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| <big>''' 1: '''</big>
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| T<sub>1</sub> (x)= 5x-2x+6x
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| | |
| T<sub>2</sub> (x)= 2•x•2+5x
| |
| (äquivalent) (!nicht äquivalent)
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| <big>''' 2 : '''</big>
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| T<sub>1</sub> (y)= 4y-3•4y+15
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| | |
| T<sub>2</sub> (y)= 3•5+2y-4y-6y
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| | |
| (!äquivalent) (nicht äquivalent)
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| | |
| <big>''' 3: '''</big>
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| | |
| T<sub>1</sub> (y;z)= 2y-3+z
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| T<sub>2</sub> (y;z)= 5y•2+z+5-8y-8
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| | |
| (äquivalent) (!nicht äquivalent)
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| <big>''' 4: '''</big>
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| T<sub>1</sub> (z)= 4•<math>\frac{3}{2}</math> -2z
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| | |
| T<sub>2</sub> (z)= 6+8z-5•20%-z•9
| |
| | |
| (!äquivalent) (nicht äquivalent)
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| <big>''' 5: '''</big>
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| T<sub>1</sub> (r)= 3r-2<sup>3</sup> r+5-r
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| T<sub>2</sub> (r)= 3•r•2
| |
| (!äquivalent) (nicht äquivalent)
| |
| | |
| </div>
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| <br><br><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
| |
| | |
| </div>
| |
| <br />
| |
| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
| |
| Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man seine Grundseite c verdoppelt und die dazugehörige Höhe h<sub>c</sub> verdreifacht?
| |
| <popup name="Lösung">
| |
| A = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub><br />
| |
| A <sub>neu</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•2•c•3•h<sub>c</sub> = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•2•3 = <math>\frac{1}{2}</math>•c•h<sub>c</sub>•6 = A•6 = 6A
| |
| | |
| Der Flächeinhalt des Dreiecks versechsfacht sich.
| |
| </popup> </div>
| |
| <br />
| |
| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
| |
| Wie ändert sich das Volumen eines Quaders, wenn man die Länge verdoppelt, die Breite vervierfacht und die Höhe halbiert?
| |
| <popup name="Lösung">
| |
| V = l•b•h<br />
| |
| V<sub>neu</sub> = 2•l•4•b• <math>\frac{1}{2}</math> •h = 2•4•<math>\frac{1}{2}</math>•l•b•h = 4•l•b•h<br />
| |
| Das Volumen des Quaders vervierfacht sich.
| |
| </popup> </div>
| |
| <br />
| |
| <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
| |
| Finde heraus, welcher der beiden unteren Terme jeweils der äquivalente zum oberen, ursprünglichen Term ist. Notiere die Buchstaben hinter der richtigen Lösung und überprüfe dein Lösungswort.
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| | |
| | |
| {| class="wikitable center"
| |
| |- style="background: #DDFFDD;"
| |
| ! ursprünglicher Term
| |
| ! 3x+2x<sup>2</sup>-x+3x<sup>2</sup>
| |
| ! 7x+x
| |
| ! x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x<sup>3</sup>
| |
| ! x•x•x
| |
| ! x+x-2x
| |
| ! x-2x
| |
| ! x+x+3x<sup>2</sup>
| |
| |-
| |
| | 1.Vorschlag
| |
| | 5x<sup>2</sup>+2x [S]
| |
| | 7x<sup>2</sup> [E]
| |
| | x+2x<sup>3</sup> [H]
| |
| | x<sup>3</sup> [T]
| |
| | 0 [Z]
| |
| | -x [E]
| |
| | 3x<sup>4</sup> [?]
| |
| |-
| |
| | 2.Vorschlag
| |
| | 6x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup> [F]
| |
| | 8x [P]
| |
| | 3x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup> [I]
| |
| | 3x [L]
| |
| | x<sup>2</sup>-2x [E]
| |
| | -2x<sup>2</sup> [R]
| |
| | 2x+3x<sup>2</sup> [!]
| |
| |}
| |
| <br />
| |
| Lösungswort: <big><u style="color:blue;background:blue">SPITZE! </u></big><br />(Zum Sichtbarmachen mit der Maus markieren)</div>
| |
| <br /><br />
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