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| ==Das bestimmte Integral== | | ==Die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math>== |
| Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> immer durch die Obersumme <math>O_n</math> und die Untersumme <math>U_n</math> (jeweils bestehend aus <math>n</math> Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann: <br><br>
| | Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe. <br> |
| <div align="center">
| | Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen. <br> |
| <math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> </div> <br><br>
| | Neben dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall <math>[a; b]</math> abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze <math>b</math> ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und '''Funktionswert''' abgebildet. <br> |
| Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br>
| | {{Aufgaben-M|6| |
| <div align="center">
| | # Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der ''Flächeninhaltsfunktion'' <math>F(x)</math>. |
| <math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math>
| | # Versuche, die Funktionsvorschrift von <math>F(x)</math> zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten <math>b</math> und <math>F</math> angegeben. |
| </div>
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| Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:
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| {{Kastendesign1|
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| BORDER = #97BF87|
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| BACKGROUND = #AADDAA|
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| BREITE =100%|
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| INHALT= Die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> nennt man das '''bestimmte Integral''' von <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, in Zeichen: <br>
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| <div align="center">
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| <math> | |
| \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n
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| </math> | |
| </div>
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| Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.
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| BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
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| ÜBERSCHRIFT=Definition|
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| }} | | }} |
| <br><br> | | <br> |
| {{Merke-M|
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| Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d<math>x</math>" ist ein sog. ''Differential'' und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. <br>
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| Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> sind die ''Grenzen des Integrals''. <math>a</math> ist die '''untere Grenze''', <math>b</math> die '''obere Grenze'''. <br>
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| Die Funktion <math>f(x)</math>, also alles, was ''unter'' dem Integral steht (alles außer d<math>x</math>), wird '''Integrand''' genannt. <br>
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| Zwischen dem Integranden <math>f(x)</math> und dem Differential d<math>x</math> steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte <math>f(x)</math> und deren Breite durch das Differential d<math>x</math> gegeben sind.
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| <math>f(x) \cdot \mathrm{d}x</math> ist dann der Flächeninhalt (Höhe <math>\cdot</math> Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
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| }}
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| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|4|Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder [https://www.geogebra.org geogebra.org]) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.
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| Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.
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| # <math>f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
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| # <math>f(x)= \sqrt{x}</math> im Intervall <math>[0;8]</math>
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| # <math>f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
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| }}
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| <div align="center"> | | <div align="center"> |
| <ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" /> | | <ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="flaechen_fkt.ggb" /> |
| </div> | | </div> |
| | | <br> |
| {{Lösung versteckt|{{Lösung| | | {{Lösung versteckt|{{Lösung| |
| # A <math>=</math> 7
| | <math>F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3</math>. <br> |
| # A <math>=</math> 15.08
| | An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor <math>\frac{1}{3}</math> ist. |
| # A <math>=</math> 6.15
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| }}}} | | }}}} |
| <br><br>
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| {{Aufgaben-M|5| | | {{Aufgaben-M|7| |
| Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:
| | Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann! |
| # Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
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| # Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
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| # Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
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| }} | | }} |
| <br> | | <br> |
| <div align="center"> | | <div align="center"> |
| <ggb_applet height="400" width="600" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="best_integral.ggb" /> | | <ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="integral_wert.ggb" /> |
| </div> | | </div> |
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| Applet auf geogebra.org: [https://www.geogebra.org/m/zJr5DWGA Link]
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| {{Lösung versteckt|{{Lösung| | | {{Lösung versteckt|{{Lösung| |
| # Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von '''orientierten Flächeninhalten'''. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
| | Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. <br> |
| # Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
| | <math>\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math> |
| # Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.
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| }}}} | | }}}} |
| <br> | | <br> |
| | | Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende |
| ==Berechnung des bestimmten Integrals von Hand==
| | {{Frage| |
| An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen! <br>
| | Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion? |
| Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur ''Integration'' (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen. <br>
| | }} |
| Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen. <br>
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| Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.
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| # {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_linFkt.pdf|Arbeitsblatt lineare Funktion}}
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| # {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf|Information quadratische Funktion}}
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| <br><br><br> | | <br><br><br> |
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| {{Navigation Lernpfad Integral}}
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