Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion und Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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==Die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math>==
{{Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.}}
Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe. <br>
{{Babel-1|M-digital}}
Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen. <br>
__NOTOC__
Neben dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall <math>[a; b]</math> abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze <math>b</math> ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und '''Funktionswert''' abgebildet. <br>
===1. Das Flächenproblem===
{{Aufgaben-M|6|
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?<br>
# Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der ''Flächeninhaltsfunktion'' <math>F(x)</math>.
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
# Versuche, die Funktionsvorschrift von <math>F(x)</math> zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten <math>b</math> und <math>F</math> angegeben.
===2. Unter- und Obersumme===
}}
[[bild:Integral1.png|right]]
<br>
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
<div align="center">
*Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="flaechen_fkt.ggb" />
**Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
</div>
**Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
<br>
**Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
** [[Mathematik-digital/Einführung in die Integralrechnung Lösung|Lösung]]
<math>F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3</math>. <br>
*Zusammmenfassung im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt 1}}
An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor <math>\frac{1}{3}</math> ist.
*{{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung zur Berechnung bestimmter Integrale}}
}}}}
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
<br>
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
{{Aufgaben-M|7|
 
Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann!
=== 3. Negative Fläche? ===
}}
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]
<br>
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!]
<div align="center">
 
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="integral_wert.ggb" />
=== 4. Integralfunktion ===
</div>
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
<br>
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt 4}}.
Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. <br>
 
<math>\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>
===5. Aufgaben===
}}}}
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]
<br>
 
Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende
===6. Hauptsatz der Integralrechnung ===
{{Frage|
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Satz mit ausführlichem Beweis]
Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion?
 
}}
{{Mitgewirkt|
<br><br><br>
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] 22:11, 25. Feb 2007 (CET)
<div align="center">
*[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]] 22:29, 25. Feb 2007 (CET)}}
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</div>

Version vom 25. Februar 2007, 21:29 Uhr

Lernpfad
Einführung in die Integralrechnung
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.


Vorlage:Babel-1

1. Das Flächenproblem

2. Unter- und Obersumme

Integral1.png

3. Negative Fläche?

4. Integralfunktion

  • Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
  • Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
  • Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Pdf20.gif Arbeitsblatt 4.

5. Aufgaben

6. Hauptsatz der Integralrechnung

Vorlage:Mitgewirkt

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