Quadratische Funktionen/Kapitel 2: Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform

In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. Wie schon die Überschrift erkennen lässt, sorgt dieser Parameter für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.

Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:

                         f(x)= a$\cdot$x2

Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, müssen wir die Begriffe "Streckung", "Stauchung" und "Spiegelung" erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.

Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.

Aufgabe:

Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!

gestreckt		gestaucht		normal

Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.

STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:

Quadratische Funktion f(x)$=$ax2

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise: * In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau * Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a * Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder Aufgabe: Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a an der quadratischen Funktion im Hinblick auf die Normalparabel? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in y-Richtung. Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a Eins ist, denn dann ist f(x) = 1x2 = x2 identisch der Normalparabel. Ist a > 1, so ist der Graph gestreckt. Ist a < 1, so nennt man den Graph gestaucht. Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax2 für den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt mit den Koordinaten $(0\!\,|\!\,0)$.

Merke

Für die quadratische Funktion f(x)$=$ a$\cdot$x² mit dem positiven Faktor a gilt:

• Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung
• Für a $=$ 1 gilt: Identisch zur Normalparabel, denn f(x)$=$ 1$\cdot$x²$=$ x²
• Für a > 0 gilt:
  • Der Graph ist nach oben geöffnet
  • Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$
  • Für a > 1 gilt: Der Graph ist gestreckt
  • Für a < 1 gilt: Der Graph ist gestaucht

Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.

STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a

Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen kennen, wenn der Parameter a negativ wird!

Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:

Aufgabe und Quiz:

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a, wenn er negativ wird? Quiz: Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten) Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkgt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung) Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)

Merke

Für die quadratische Funktion f(x)$=$ a$\cdot$x² mit dem negativen Faktor a gilt:

• Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der Spiegelung an der x-Achse sowie einer Streckung oder Stauchung in y-Richtung
• Für a $=$ -1 gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; f(x)$=$-1$\cdot$x²$=$ -x²
• Für a < 0 gilt:
  • Der Graph ist nach unten geöffnet
  • Scheitelpunkt S ist höchster Punkt und liegt im Ursprung $S(0\!\,|\!\,0)$
  • Für a < -1 gilt: Der Graph ist gestreckt
  • Für a > -1 gilt: Der Graph ist gestaucht

STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick

Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!

Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen die richtigen Kombinationen zu finden! Lies die Vorgaben und die möglichen Lösungen zuerst genau durch.

	Vorgabe	Passendes Puzzleteil
1.	Vorfaktor a ist negativ	Nach unten geöffnete Parabel
2.	a < -1	Graph ist gestreckt
3.	Scheitelpunkt S für negativen Parameter a	Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]
4.	0 > a > -1	Graph ist gestaucht
5.	Vorfaktor a ist positiv	Nach oben geöffnete Parabel
6.	0 < a < 1	Graph ist gestaucht
7.	Scheitelpunkt S für positiven Parameter a	Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]
8.	a > 1	Graph ist gestreckt
9.	Der Vorfaktor a bewirkt eine…	Streckung oder Stauchung der Normalparabel

STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung

Bisher hast du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler der Geogebraanwendungen ablesen können. Nun wollen wir mal schauen, wie man anhand eines Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall, dass die Parabel weder in x-Richtung noch in y-Richtung verschoben wird, also für "f(x)= a$\cdot$x²". Im nächsten Lernpfad folgt dann die Bestimmung des Parameters a auch für verschobene Parabeln.

Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei, die Vorgehensweise zum Bestimmen des Parameters a zu erkennen.

Quadratische Funktion f(x) = ax2, für positiven und negativen Parameter a:

Hinweis und Aufgaben:

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1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x2". Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse. Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen um die Parabelkurve zu erreichen? (!2) (1) (!3) 2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse. Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen? (!3) (2) (!4) 3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche folgendes Quiz zu lösen: Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert: (!1) (!2) (!3) (4) 4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2. Funktioniert das Ablesen des negativen Parameters a genauso, wie bei positiven Werten von a? (!Nein) (JA) 5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten! Wie lautet der Wert vom Parameter a?? (!1) (-3) (!3)

Merke

Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:

• Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt
  
• Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts
  
• Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve
  
• Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a
  
• Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv
  
• Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ
  

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!

y = -0,5x2		y = 0x2		y = 2x2		y = -4x2		y = 0,5x2

STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)$=$ax²"

1. Aufgabe:

Um mal zu zeigen, woe die Parabel alles im Alltag vorkommt, hast du hier den Ausschnitt einer Brücke gegeben. Beantworte zuerst die Frage und stelle dann den Graph, durch Bedienen des Schiebereglers, richtig ein!

Frage:

Was muss für den Parameter a gelten? (Mehrere Antworten möglich!) (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

2. Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x²".

In der folgenden Geogebra-Anwendung erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschlieschließend, durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen, denn dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

3. Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax²".

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2; 12] verläuft? (!1) (!2) (3) (!4)

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3; 9] verläuft? (1) (!2) (!3) (!4)

Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4; 32] verläuft? (!1) (2) (!3) (!4)

Glückwunsch!

Damit hast du den Lernpfad "Streckung, Stauchung und Spiegelung der quadratischen Funktion" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktionen gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!