Alles rund um Quadratische Funktionen und Meinungslinie: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br />
Bei der '''Meinungslinie''' handelt es sich um eine [[Methode]] für den Unterricht. Die Meinungslinie eignet sich besonders für Phasen, wenn Schülerinnen und Schüler sich zu einem inhaltlichen Problem positionieren müssen. Mittels Kreppband wird im Raum auf dem Boden eine Linie gezogen, die eine Seite der Klasse ist dann „Pro ...“, die andere Seite im Raum ist dann „Contra ...“. Die Schülerinnen und Schüler haben dann die Möglichkeit sich im Raum zu positionieren und so hinsichtlich eines Problems oder einer Frage eine Position einzunehmen („Ich bin für oder gegen etwas“). Die Methode ist besonders bei unteren Klassen gut geeignet.
Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei '''Anwendungsaufgaben''', in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br />
In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.
|Kurzinfo
}}


===Scheitelpunktform===
== Literatur ==


{{Box|1. Die Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}
* Hilbert Meyer: Übungen zum guten Unterricht. Eine Handreichung für Aus- und Fortbildung. Seelze: Erhard Friedrich Verlag 2007, S. 8-10.


<div class="lueckentext-quiz">
== Weblinks ==
Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''quadratische''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Parabel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Scheitelpunkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt <math>S</math> direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter <math>d</math> ist die '''<math>x</math>'''-Koordinate und der Parameter <math>e</math> ist die '''<math>y</math>'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow S(d|e)</math>. <br>
Ist der Parameter <math>a</math> kleiner als Null (<math>a<0</math>), dann ist der Graph der Funktion <math>g</math> nach '''unten''' geöffnet. <br>
Ist <math>a</math> größer als Null (<math>a>0</math>), dann ist der Graph von <math>g</math> nach '''oben''' geöffnet. <br>
Ist <math>a</math> größer als Eins (<math>a>1</math>) oder kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>), dann sieht der Graph von <math>g</math> '''schmaler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''gestreckt''' wird. <br>
Liegt <math>a</math> zwischen minus Eins und Eins (<math>-1<a<1</math>), dann sieht der Graph von <math>g</math> '''breiter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''gestaucht''' wird. <br>
<br>
Ist <math>d</math> größer als Null (<math>d>0</math>), dann wird der Graph von <math>g</math> nach '''rechts''' verschoben. <br>
Ist <math>d</math> kleiner als Null (<math>d<0</math>), dann wird der Graph von <math>g</math> nach '''links''' verschoben.<br>
<br>
Ist <math>e</math> kleiner als Null (<math>e<0</math>), dann wird der Graph von <math>g</math> nach '''unten''' verschoben. <br>
Ist <math>e</math> größer als Null (<math>e>0</math>), dann wird der Graph von <math>g</math> nach '''oben''' verschoben.
</div>


{{Box|Entdecke
* {{pdf-extern|http://www.member.uni-oldenburg.de/hilbert.meyer/download/Meinungslinie2.pdf|Hilbert Meyer / Siga Diepold - Eine neue Methode: "Meinungslinie"}} (Carl von Ossietzky Universität)
|Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Scheitelpunktform <math> a, d, e </math> auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von <math> f </math> verändert.
* {{pdf-extern|http://www.lis.bremen.de/sixcms/media.php/13/Meinungslinie.pdf|Methodenbox Selbstevaluation - Meinungslinie}} (© 2006, Landesinstitut für Schule, Bremen [www.lis.bremen.de] Franz Wester, Andreas Soltau, Liane Paradies)
<ggb_applet id="et3ybhbp" width="1280" height="604" border="888888" />
<noinclude>
|Unterrichtsidee}}
== Siehe auch ==


{{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|
* [[Anders-Spiel]]
Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte
* [[Argumentieren]]
* [[Fishbowl]]
* [[Meinungsbildung]]
* [[Vier-Ecken-Methode]]
</noinclude>


<math>A=(4|0),</math>
[[Kategorie:Methode]]
 
[[Kategorie:Argumentieren]]
<math>B=(0|2),</math>
 
<math>C=(-\frac{1}{2}| \frac{9}{8}),</math>
 
<math>D=(\frac{7}{3}|\frac{20}{3})</math> und
 
<math>E=(2|-2)</math>.
 
'''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte <math>A, B, C, D</math> und <math>E</math> auf dem Graphen von <math>f</math> liegen.<br /><br />
 
{{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den <math>x</math>-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen <math>y</math>-Wert| 2=Tipp | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Die Punkte <math>A, C</math> und <math>E</math> liegen auf dem Graphen, die Punkte <math>B</math> und <math> D</math> nicht.
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
A &&=&& (4|0):\\
f(4) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (4-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot 2^2-2=\frac{1}{2} \cdot 4-2=2-2=0 \\
\\
B &&=&& (0|2):\\
f(0) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (0-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot (-2)^2-2=\frac{1}{2} \cdot 4-2=2-2=0 \neq 2\\
\\
C &&=&& (-\frac{1}{2}| \frac{9}{8}):\\
f(-\frac{1}{2}) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{2})^2-2=\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{4}-2=\frac{25}{8}-2=\frac{9}{8}\\
\\
D &&=&& (\frac{7}{3}| \frac{20}{3}):\\
f(\frac{7}{3}) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (\frac{7}{3}-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})^2-2=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}-2=-\frac{1}{18}-2=-\frac{35}{18} \neq \frac{20}{3}\\
\\
E &&=&& (2|-2):\\
f(2) &&=&& \frac{1}{2} \cdot (2-2)^2-2 =\frac{1}{2} \cdot 0^2-2=\frac{1}{2} \cdot 0-2=0-2=-2\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
| 2=Lösung | 3=schließen}}
 
'''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion <math>f</math> und die Punkte <math>A-E</math> in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br>
 
 
{{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 2| 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 3| 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Wanted.png|thumb|700 px |zentriert]]| 2=Lösung | 3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.
Hinweis: Du kannst die Bilder der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.
 
{{LearningApp|app=p4hex53x219|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Betrachtet man die Funktionsgleichung <math>j(x)=a\cdot (x-d)^2+e </math>, so steht <math>d</math> für die Verschiebung in <math>x</math>-Richtung. Ist das Vorzeichen vor dem <math>d</math> dabei negativ, so verschiebt man den Graphen nach rechts und wenn es positiv ist nach links. Das <math>e</math> steht für die Verschiebung in <math>y</math>-Richtung nach oben, falls <math>e</math> positiv ist und nach unten wenn es negativ ist.
 
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Betrachtet man die Funktionsgleichung <math>j(x)=a\cdot (x-d)^2+e </math>, so beschreibt <math>a</math> die Streckung (falls <math>a>1</math>) oder die Stauchung (falls <math>a<1</math>). Man geht vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um <math>a</math> Einheiten nach oben (falls <math>a</math> negativ ist nach unten).
 
Falls <math>a<1</math> ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel <math>\frac{2}{3}</math> nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also <math>3</math> einzusetzen. Somit erhält man <math>3^2=9</math>. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren <math>9*\frac{2}{3}=6</math>. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts (<math>3</math>) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (<math>6</math>), oder nach unten falls <math>a</math> negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für <math>a</math>. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:
 
<math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei <math>(3| 2)</math>
 
<math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei <math>(0| -4)</math>
 
| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|
 
Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus (Du musst in der App runterscrollen).
 
{{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise. Du kannst dir auch nochmal das GeoGebra-Applet (oben) anschauen und die Schieberegler bewegen um zu sehen wie sich der Graph und die Funktionsgleichung verändert.
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d|e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. Achte beim Einsetzen von <math>d</math> in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.
 
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
 
 
'''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x|y)</math>  aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.
 
 
'''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.
 
Falls <math>a<1</math> ist kann dies manchmal schwierig sein, da sich zum Beispiel <math>\frac{2}{3}</math> nicht so einfach ablesen lässt. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner, also <math>3</math> einzusetzen. Somit erhält man <math>3^2=9</math>. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren <math>9\cdot\frac{2}{3}=6</math>. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts (<math>3</math>) und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben (<math>6</math>), oder nach unten falls <math>a</math> negativ ist. (Wenn du hier noch Probleme hast scrolle hoch zum GeoGebra-Applet und verschiebe den Regler für <math>a</math>. Beobachte dabei wie sich der Graph verändert.)| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
 
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box| 5. Funktionsgleichung gesucht!|
Im folgenden sind je der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf (im Heft).
 
'''a)''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>S(2|1)</math> und <math>P(3|5)</math>?
 
'''b)''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>S(-\frac{1}{3}|-2)</math> und <math>P(-3|0)</math>?
 
'''c)''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>S(3|2)</math> und <math>P(0|-\frac{5}{6})</math>?
 
{{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Überlege dir, was die einzelnen Parameter beschreiben (schaue evtl. Aufgabe 1 nochmal an).
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d|e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. Achte beim Einsetzen von <math>d</math> in die Funktionsgleichung darauf, dass sich das Vorzeichen durch das Minus in der Klammer der Funktionsgleichung einmal umkehrt.
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen musst du den Punkt <math>P</math> in die Funktionsgleichung einsetzen und nach <math>a</math> auflösen.
| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>
 
Setze <math>S(2|1)</math> für <math>d</math> und <math>e</math> ein: <math>g(x)=a\cdot(x-2)^2+1</math>
 
Setze <math>P(3|5)</math> ein:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&& 5 &&=&& a\cdot(3-2)^2+1\\
&\Leftrightarrow& 5 &&=&& a\cdot 1^2+1\\
&\Leftrightarrow& 5 &&=&& a\cdot 1+1\\
&\Leftrightarrow& 4 &&=&& a\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Somit ergibt sich: <math>g(x)=4\cdot(x-2)^2+1</math>
| 2=Lösung zu a) | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>
 
Setze <math>S(-\frac{1}{3}|-2)</math> für <math>d</math> und <math>e</math> ein: <math>g(x)=a\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2</math>
 
Setze <math>P(-3|0)</math> ein:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&& 0 &&=&& a\cdot(-3+\frac{1}{3})^2-2\\
&\Leftrightarrow & 0 &&=&& a\cdot (-\frac{8}{3})^2-2\\
&\Leftrightarrow & 0 &&=&& a\cdot \frac{64}{9}-2\\
&\Leftrightarrow & 2 &&=&& \frac{64}{9}\cdot a\\
&\Leftrightarrow & \frac{9}{32} &&=&& a
\end{array}
</math>
<br /><br />
Somit ergibt sich: <math>g(x)=\frac{9}{32}\cdot(x+\frac{1}{3})^2-2</math>
| 2=Lösung zu b) | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>
 
Setze <math>S(3|2)</math> für <math>d</math> und <math>e</math> ein: <math>g(x)=a\cdot(x-3)^2+2</math>
 
Setze <math>P(0|-\frac{5}{6})</math> ein:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&& -\frac{5}{6} &&=&& a\cdot(0-3)^2+2\\
&\Leftrightarrow & -\frac{5}{6} &&=&& a\cdot (-3)^2+2\\
&\Leftrightarrow & -\frac{5}{6} &&=&& a\cdot 9+2\\
&\Leftrightarrow & -\frac{17}{6} &&=&& 9\cdot a\\
&\Leftrightarrow & -\frac{17}{54} &&=&& a\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
Somit ergibt sich: <math>g(x)=-\frac{17}{54}\cdot(x-3)^2+2</math>
| 2=Lösung zu c) | 3=schließen}}
 
 
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box| 6. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins|
 
[[Datei:Steindorf am Ossiacher See Sankt Urban Ossiacher See und Dobratsch 04112015 2185.jpg|rechts|rahmenlos]]
 
Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt. 
 
<br /><br />
 
'''a)''' Nach wie vielen Metern erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?
 
{{Lösung versteckt| 1=Da die Funktion eine negative Steigung besitzt, erreicht der Stein seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(3|\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also nach <math>3</math> Metern. | 2=Lösung | 3=schließen}}
 
'''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft.
 
{{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d|e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen hilft dir der Parameter <math>a</math>. Da <math>a=-\frac{1}{10}<1</math> ist, ist dies etwas schwieriger. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten.  |  2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S=(3|\frac{5}{2})</math>. Für <math>a=-\frac{1}{10}</math> ist es sinnvoll den Nenner, also <math>10</math> in <math>x^2</math> einzusetzen. Somit erhält man <math>10^2=100</math>. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren <math>100\cdot(-\frac{1}{10})=-10</math>. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts (<math>10</math>) und um die am Ende erhaltene Zahl nach unten (<math>10</math>), da die Zahl negativ war. Da somit die Zeichnung recht groß wird, kann man sich auch überlegen eine niedrigere Zahl in <math>x^2</math> einzusetzen. Dies sollte am besten ein Teiler vom Nenner sein, z.B. <math>5</math>. Das Vorgehen ist identisch: <math>5^2=25 \Rightarrow 25\cdot (-\frac{1}{10})=-2,5</math>.
 
[[Datei:Steinwurf1.png|thumb|700 px |zentriert]] Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf die Wasseroberfläche endet. Auf der <math>x</math>-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der <math>y</math>-Achse die Höhe des Steins in Meter.  | 2=Lösung | 3=schließen}}
 
'''c)*''' In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?
 
{{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 9. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen.  |  2=Tipp | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1=
 
Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion <math>g(x)</math> bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&& g(x) &&=&& 0 \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-3)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-3)^2-25 &\mid +25 \\
&\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-3)^2 &\mid \sqrt{} \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&\Rightarrow&(x_1-3) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-3)=5\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
Also folgt <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=8</math>. Damit haben wir zwei Nullstellen.
<br /><br />
Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite <math>8 m</math>.
 
| 2=Lösung | 3=schließen}}
 
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|Zusammenfassung zur Scheitelpunktform|
# Die '''allgemeine Scheitelpunktform''' lautet <math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>.
# Der Parameter <math>d</math> ist der '''<math>x</math>-Wert des Scheitelpunktes''', wobei man hier immer das Vorzeichen in der Klammer umkehren muss.
# Der Parameter <math>e</math> ist der '''<math>y</math>-Wert des Scheitelpunktes'''.
# <math>S(d|e)</math> ist der '''Scheitelpunkt''' der Funktion.
# Der Parameter <math>a</math> wird als '''Streckungsfaktor''' bezeichnet.
#* Ist <math>a>1</math> wird die Funktion '''gestreckt''', ist <math>a<1</math> wird die Funktion '''gestaucht'''.
#* Ist <math>a</math> positiv so ist die Parabel '''nach oben geöffnet''', ist <math>a</math> negativ so ist sie nach '''unten geöffnet'''.
#* Wenn man den Streckungsfaktor <math>a</math> zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um <math>a</math> Einheiten nach oben (falls <math>a</math> negativ ist nach unten). Falls <math>a<1</math> ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls <math>a</math> negativ ist.
# Hat man nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form <math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>. Hier kann man den Scheitelpunkt einfach einsetzen für <math>d</math> und <math>e</math>. Als nächstes setzt man den anderen Punkt für <math>x</math> und <math>y</math> ein und formt nach <math>a</math> um.
|Merksatz}}
 
===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===
 
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten.
Diese lautet <math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>
 
*Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu überführen benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''.
*Um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen benötigst du die Methode der '''quadratischen Ergänzung'''.<br /><br />
 
{{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=
''1. Binomische Formel:'' <math>(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2</math> <br>
''2. Binomische Formel:''  <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>
 
Somit gilt:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x) &&=&& a\cdot (x-d)^2+e\\
&&=&& a\cdot (x^2-2\cdot d\cdot x + d^2)+e\\
&&=&& a\cdot x^2-a\cdot 2\cdot d\cdot x + a\cdot d^2+e\\
&&=&& a\cdot x^2+b\cdot x+c
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
(mit <math>b=-a\cdot 2\cdot d</math> und <math>c=a\cdot d^2+e</math>).
 
Als Beispiel:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x) &&=&& 2\cdot (x-4)^2+1\\
&&=&& 2\cdot (x^2-2\cdot 4\cdot x + 4^2)+1\\
&&=&& 2\cdot x^2-2\cdot 8\cdot x + 2\cdot 16+1\\
&&=&& 2\cdot x^2-16\cdot x+17
\end{array}
</math>
<br /><br />|3=Merke}}
 
{{Box|1=quadratische Ergänzung|2=
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x) &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x+c &\mid \text{Klammere a aus}\\
&&=&& a\cdot (x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}) &\mid \text{Rechne} \frac{b}{a} \div 2 = d\\
&&=&& a\cdot (x^2+2\cdot d \cdot x+\frac{c}{a}) &\mid \text{addiere und subtrahiere d²}\\
&&=&& a\cdot ((x^2+2\cdot d \cdot x+d^2)-d^2+\frac{c}{a}) &\mid \text{fasse die innere Klammer zur binomischen Formel zusammen}\\
&&=&& a\cdot ((x+d)^2-d^2+\frac{c}{a}) &\mid \text{multipliziere a mit der Klammer}\\
&&=&& a\cdot (x+d)^2+a\cdot (-d^2+\frac{c}{a}) &\mid a\cdot (-d^2+\frac{c}{a})=e\\
&&=&& a\cdot (x+d)^2+e
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Als Beispiel
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x) &&=&& 2\cdot x^2+8\cdot x+9 &\mid \text{Klammere 2 aus}\\
&&=&& 2\cdot (x^2+\frac{8}{2}\cdot x+\frac{9}{2}) &\mid \text{Rechne} \frac{8}{2} \div 2 = 2=d\\
&&=&& 2\cdot (x^2+2\cdot 2 \cdot x+3) &\mid \text{addiere und subtrahiere d²=2²=4}\\
&&=&& 2\cdot ((x^2+2\cdot 2 \cdot x+4)-4+3) &\mid \text{fasse die innere Klammer zur binomischen Formel zusammen}\\
&&=&& 2\cdot ((x+2)^2-1) &\mid \text{multipliziere 2 mit der Klammer}\\
&&=&& 2\cdot (x+2)^2+2\cdot (-1)\\
&&=&& 2\cdot (x+2)^2-1
\end{array}
</math>
<br /><br />
|3=Merke}}
 
{{Box|7. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform
|Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.
 
{{LearningApp|app=p34109i1c19|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|8. Finde die Paare*
|Wandle die Funktionen <math>g, f, o, m, p</math>und <math>n</math> in deinem Heft in die Normalenform um und die Funktionen <math>j, l, k, i</math>und <math>h</math> in die Scheitelpunktform. Verbinde anschließend die Paare. Hinweis: Drei Funktionen haben keinen Partner.
{{LearningApp|app=pghqpthwj19|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|9. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**
|Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.
 
{{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Die zum Lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.
| 2=Tipp | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:
 
<math>(a+b)^2=a^2+2 \cdot ab+b^2</math>
 
<math>(a-b)^2=a^2-2 \cdot ab+b^2</math>
 
<math>(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2</math>
 
| 2=Tipp | 3=schließen}}
 
|Arbeitsmethode}}
 
===Die Normalenform===
 
{{Box|10. Die Normalenform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}
 
<div class="lueckentext-quiz">
Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math> an. Diese Funktionsgleichung liegt in der '''Normalenform''' vor. In dieser Form kann der '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' direkt abgelesen werden, es ist nämlich der Parameter '''<math>c</math>'''.
Ist der Parameter <math>a</math> kleiner als Null (<math>a<0</math>), dann ist der Graph der Funktion <math>g</math> nach '''unten''' geöffnet. <br>
Der Parameter <math>a</math> wird als '''Streckungsfaktor''' bezeichnet, wie auch in der Scheitelpunktform.
Ist <math>a</math> größer als Null (<math>a>0</math>), dann ist der Graph von <math>g</math> nach '''oben''' geöffnet. <br>
Ist <math>a</math> größer als Eins (<math>a>1</math>) oder kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>), dann sieht der Graph von <math>g</math> '''schmaler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''gestreckt''' wird. <br>
Liegt <math>a</math> zwischen minus Eins und Eins (<math>-1<a<1</math>), dann sieht der Graph von <math>g</math> '''breiter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''gestaucht''' wird. <br>
<br>
</div>
 
{{Box|Entdecke
|Hier kannst du den Einfluss der einzelnen Parameter der Normalenform <math> a, b, c </math> auf den Funktionsgraphen erkunden. Bewege dafür jeweils die Schieberegler und beobachte wie sich der Graph von <math> f </math> verändert.
<ggb_applet id="hu3wntum" width="1280" height="604" border="888888" />
|Unterrichtsidee}}
 
{{Box| 11. Funktionsgleichung gesucht!|
Im folgenden sind je drei Punkte einer Funktion gegeben. Stelle mit diesen Informationen die zugehörige Funktionsgleichung in Normalenform auf (im Heft).
 
'''a)''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>P(3|2), Q(-1|0)</math> und <math>R(0|7)</math>?
 
{{Lösung versteckt| 1= Die Normalenform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c</math>. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das <math>x</math> und den zweiten Wert für das <math>y</math>). Du hast nun zwei verschiedene Gleichungen und bereits einen Wert für <math>c</math> den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst.
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Du hast verschiedene Verfahren gelernt um auf die anderen beiden Variablen zu kommen, das ''' Einsetzungsverfahren''' und das '''Gleichsetzungsverfahren''', wende eines der beiden an (natürlich ginge hier auch das '''Additionsverfahren''', dieses ist allerdings etwas komplizierter).
| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Für das Einsetzungsverfahren musst du eine der Gleichungen nach einer Variable umstellen und dies dann für die Variable in die andere Gleichung einsetzen.
| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>
 
Setze die Punkte <math>P, Q</math> und <math>R</math> in die allgemeine Gleichung ein:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
P(3|2): 2 &&=&& a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\\
&&=&& a\cdot 9+b\cdot 3+c\\
\\
Q(-1|0): 0 &&=&& a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1) +c\\
&&=&& a-b+c\\
\\
R(0|7): 7 &&=&& a\cdot0^2+b\cdot 0 +c\\
&&=&& c\\
\Rightarrow 7 &&=&&c
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Setze den erhaltenen Wert für <math>c</math> in die ersten beiden Gleichungen ein:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
1.: &&2 &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3+7 &\mid -7\\
&\Leftrightarrow& -5 &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3\\
\\
2.: &&0 &&=&& a-b+7 &\mid -7\\
&\Leftrightarrow& -7 &&=&& a-b
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
'''Einsetzungsverfahren:'''
 
Stelle eine der beiden Gleichungen, z.B. die zweite, nach einer Variable um, z.B. nach <math>a</math>:
 
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
2.: &&-7 &&=&& a-b &\mid +b\\
&\Leftrightarrow& -7+b &&=&& a
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Setze nun <math>-7+b</math> in der anderen Gleichung für <math>a</math> ein und stelle nach <math>b</math> um:
 
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
1.: &&-5 &&=&& a\cdot 9+b\cdot 3 &\mid a=-7+b\\
&\Leftrightarrow& -5 &&=&& (-7+b)\cdot 9+b\cdot 3\\
&\Leftrightarrow& -5 &&=&& -63+b\cdot 9+b\cdot 3\\
&\Leftrightarrow& -5 &&=&& -63+12\cdot b &\mid +63\\
&\Leftrightarrow& 58 &&=&& 12\cdot b &\mid \div 12\\
&\Leftrightarrow& \frac{29}{6} &&=&& b\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Setze nun den Wert für <math>b</math> in eine der Gleichungen ein, z.B. in <math>-7=a-b</math>, und stelle nach <math>a</math> um:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&-7 &&=&& a-b &\mid b=\frac{29}{6}\\
&\Leftrightarrow& -7 &&=&& a-\frac{29}{6} &\mid +\frac{29}{6}\\
&\Leftrightarrow& -\frac{13}{6} &&=&& a\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Somit ergibt sich: <math>g(x)=-\frac{13}{6}\cdot x^2+\frac{29}{6}\cdot x+7</math>.
 
(du könntest natürlich auch das Gleichsetzungsverfahren nutzen, oder das LGS mit dem Additionsverfahren lösen)
| 2=Lösung | 3=schließen}}
 
'''b)*''' Wie lautet die Funktionsgleichung zu den Punkten <math>P(4|3), Q(6|14)</math> und <math>R(9|-4)</math>?
 
 
{{Lösung versteckt| 1= Die Normalenform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot x^2+ b\cdot x+c</math>. Überlege dir wie du die Punkte in diese Funktion einfügen kannst.
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Setze die Punkte jeweils einzeln in die Funktionsgleichung ein (den ersten Wert für das <math>x</math> und den zweiten Wert für das <math>y</math>). Du hast nun drei verschiedene Gleichungen. Überlege dir wie du dieses lineare Gleichungssystem (LGS) lösen kannst (evtl. hast du hier bereits einen Wert für <math>c</math> den du in die anderen Gleichungen einsetzten kannst).
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Löse das LGS am besten mit dem '''Additionsverfahren'''. Du musst nun die Gleichungen so von einander subtrahieren oder addieren, sodass eine der Variablen dabei wegfallen. Dafür musst du zuerst dafür sorgen, sodass die Vorfaktoren dieser Variablen in beiden Gleichungen identisch sind. Hast du nun nur noch eine Variable in der entstandenen Gleichung kannst du nach dieser Variablen auflösen. Hast du noch zwei Variablen musst du erneut eine der Gleichungen mit einer anderen verrechnen um eine weitere Gleichung mit den beiden Variablen zu erhalten. Diese beiden musst du abermals so verrechnen, dass eine der beiden Variablen wegfällt.
| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Die ausgerechnete Variable kannst du nun in eine der Gleichungen einsetzen wo noch eine weitere Variable vorkommt. Jetzt kannst du erneut umstellen und die zweite Variable berechnen. Wiederhole das Verfahren, falls du <math>c</math> noch berechnen musst.
| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= <math>g(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>
 
Setze die Punkte <math>P, Q</math> und <math>R</math> in die allgemeine Gleichung ein:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
P(4|3): 3 &&=&& a\cdot 4^2+b\cdot 4+c\\
&&=&& a\cdot 16+b\cdot 4+c\\
\\
Q(6|14): 14 &&=&& a\cdot 6^2+b\cdot 6 +c\\
&&=&& a\cdot 36+b\cdot 6+c\\
\\
R(9|-4): -4 &&=&& a\cdot 9^2+b\cdot 9 +c\\
&&=&& a\cdot 81+b\cdot 9+c\\
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Subtrahiere nun die Gleichungen <math>3=a\cdot 16+b\cdot 4+c</math> und <math>14=a\cdot 36+b\cdot 6+c</math>:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&1.: 3 &&=&& a\cdot 16+b\cdot 4+c\\
&&2.: 14 &&=&& a\cdot 36+b\cdot 6+c\\
\\
&&1. - 2.:\\
&&3-14 &&=&& (16-36)\cdot a+ (4-6)\cdot b\\
&\Leftrightarrow& -11 &&=&& -20\cdot a-2\cdot b
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Subtrahiere nun die Gleichungen <math>14=a\cdot 36+b\cdot 6+c</math> und <math>-4=a\cdot 81+b\cdot 9+c</math> :
 
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&2.: 14 &&=&& a\cdot 36+b\cdot 6+c\\
&&3.: -4 &&=&& a\cdot 81+b\cdot 9+c\\
\\
&&2. - 3.:\\
&&14-(-4) &&=&& (36-81)\cdot a+ (6-9)\cdot b\\
&\Leftrightarrow& 18 &&=&& -45\cdot a-3\cdot b
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Bringe den Vorfaktor von <math>b</math> der beiden erhaltenen Gleichungen auf den selben Wert, z.B. auf <math>6</math>, indem du die erste Gleichung mit <math>3</math> und die zweite mit <math>2</math> multiplizierst:
 
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&-11\cdot 3 &&=&& -20\cdot 3\cdot a-2\cdot 3 \cdot b\\
&\Leftrightarrow&  -33 &&=&& -60\cdot a-6\cdot b\\
\\
&&18\cdot 2 &&=&& -45\cdot 2\cdot a-3\cdot 2 \cdot b\\
&\Leftrightarrow&  36 &&=&& -90\cdot a-6\cdot b
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Subtrahiere nun die Gleichungen <math>-33=-60\cdot a-6\cdot b</math> und <math>36=-90\cdot a-6\cdot b</math> und stelle nach <math>a</math> um:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&1.: -33 &&=&& -60\cdot a-6\cdot b\\
&&2.: 36 &&=&& -90\cdot a-6\cdot b\\
\\
&&1.- 2.:\\
&&-33-36 &&=&& (-60-(-90))\cdot a\\
&\Leftrightarrow& -69 &&=&& 30\cdot a &\mid \div 30\\
&\Leftrightarrow& -2.3 &&=&& a
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Setze nun <math>a</math> in eine der Gleichungen ohne <math>c</math> ein, z.B. in <math>-11=-20\cdot a-2\cdot b</math>:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&-11 &&=&& -20\cdot (-2.3)-2\cdot b\\
&\Leftrightarrow& -11 &&=&& 46-2\cdot b &\mid -46\\
&\Leftrightarrow& -57 &&=&& -2\cdot b &\mid \div (-2)\\
&\Leftrightarrow& 28.5 &&=&& b
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Setze nun <math>a</math> und <math>b</math> in eine der Gleichungen mit <math>c</math> ein, z.B. in <math>3=a\cdot 16+b\cdot 4+c</math>:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&3 &&=&& -2.3\cdot 16+28.5\cdot 4+c\\
&\Leftrightarrow& 3 &&=&& 77.2+c &\mid -77.2\\
&\Leftrightarrow& -74.2 &&=&& c
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Somit ergibt sich: <math>g(x)=-2.3\cdot x^2+28.5\cdot x-74.2</math>.
| 2=Lösung zu b) | 3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|Zusammenfassung zur Normalform|
# Die '''allgemeine Normalform''' lautet <math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>.
# Der Parameter <math>c</math> ist der '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''.
# Der Parameter <math>a</math> wird als '''Streckungsfaktor''' bezeichnet.
#* Ist <math>a>1</math> wird die Funktion '''gestreckt''', ist <math>a<1</math> wird die Funktion '''gestaucht'''.
#* Ist <math>a</math> positiv so ist die Parabel '''nach oben geöffnet''', ist <math>a</math> negativ so ist sie nach '''unten geöffnet'''.
#* Wenn man den Streckungsfaktor <math>a</math> zum zeichnen nutzen möchte, geht man vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach links oder rechts und dann um <math>a</math> Einheiten nach oben (falls <math>a</math> negativ ist nach unten). Falls <math>a<1</math> ist, oder generell ein Bruch ist, kann dies manchmal schwierig sein. Hierfür kann man die Normalparabel <math>x^2</math> betrachten. Sinnvoll ist es nun den Nenner einzusetzen. Die erhaltene Zahl muss man nun mit dem Bruch multiplizieren. Man geht nun vom Scheitelpunkt um die eingesetzte Zahl nach links oder rechts und um die am Ende erhaltene Zahl nach oben, oder nach unten falls <math>a</math> negativ ist.
# Hat man drei Punkte gegeben und soll die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen, so nimmt man sich die allgemeine Form <math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>. Hier setzt man alle drei Punkte jeweils für <math>x</math> und <math>y</math> ein und erhält so drei Gleichungen. Nun löst man das lineare Gleichungssystem.
# Man gelangt von der Normalenform (<math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>) zur Scheitelpunktform (<math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>) mittels '''Quadratischer Ergänzung'''.
# Man gelangt von der Scheitelpunktform (<math>f(x)=a\cdot (x-d)^2+e</math>) zur Normalenform (<math>f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>) durch '''Ausmultiplizieren der Klammer'''.
|Merksatz}}
===Nullstellen===
 
Eine Parabel kann entweder '''<math>2, 1</math>''' oder '''keine''' Nullstellen besitzen.
 
#Sie hat <math>2</math> Nullstellen, falls:
#*sie nach '''oben geöffnet''' ist und ihr Scheitelpunkt einen '''negativen <math>y</math>-Wert (kleiner als <math>0</math>)''' hat.
#*sie nach '''unten geöffnet''' ist und ihr Scheitelpunkt einen '''positiven <math>y</math>-Wert (größer als <math>0</math>)''' hat.
#Sie hat <math>1</math> Nullstelle, falls ihr Scheitelpunkt den '''<math>y</math>-Wert <math>0</math>''' hat (also die <math>x</math>-Achse berührt).
#Sie hat keine Nullstellen, falls:
#*sie nach '''oben geöffnet''' ist und ihr Scheitelpunkt einen '''positiven <math>y</math>-Wert (größer als <math>0</math>)''' hat.
#*sie nach '''unten geöffnet''' ist und ihr Scheitelpunkt einen '''negativen <math>y</math>-Wert (kleiner als <math>0</math>)''' hat.
 
{{Box| 1= Entdecke!| 2= Verändere die Parabel mit Hilfe der Schieberegler und beobachte die Nullstellen <math>N_1</math> und <math>N_2</math>. Wann sind sie unterschiedlich, wann gleich und wann nicht vorhanden?
 
<ggb_applet id="teas6kz3" width="1256" height="478" border="888888" />
 
|3= Unterrichtsidee}}
 
 
Im folgenden Abschnitt werden die verschiedenen Methoden zur Nullstellenberechnung wiederholt.
 
{{Box|1=Methode 1: Wurzelziehen|2=
Gegeben sei eine Gleichung der Form <math>0=a\cdot x^2-c</math>, z.B. <math>0=3\cdot x^2-27</math>.
 
Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Wurzelziehen erfüllt:
Es gibt keinen Term der Form <math>b\cdot x</math>.
 
Nun muss noch umgeformt werden:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&0 &&=&& a\cdot x^2-c &\mid \text{bringe c auf die andere Seite, also +c}\\
&\Leftrightarrow& c &&=&& a\cdot x^2 &\mid \text{teile durch a, damit der Vorfaktor von dem x² zu 1 wird}\\
&\Leftrightarrow& \frac{c}{a} &&=&& x^2 &\mid \text{ziehe nun die Wurzel, beachte dass die Zahl dafür positiv sein muss, und dass du zwei Ergebnisse hast}\\
&\Leftrightarrow& \pm \sqrt{\frac{c}{a}} &&=&& \sqrt{x^2}\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& \sqrt{\frac{c}{a}}\\
&&x_2 &&=&& -\sqrt{\frac{c}{a}}
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Als Beispiel:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&0 &&=&& 3\cdot x^2-27 &\mid +27\\
&\Leftrightarrow& 27 &&=&& 3\cdot x^2 &\mid \div 3\\
&\Leftrightarrow& \frac{27}{3} &&=&& x^2 &\mid \sqrt{}\\
&\Leftrightarrow& \pm \sqrt{9} &&=&& \sqrt{x^2}\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& 3\\
&&x_2 &&=&& -3
\end{array}
</math>
<br /><br />
|3=Merke}}
 
{{Box|1=Methode 2: Ausklammern|2=
Gegeben sei eine Gleichung der Form <math>0=a\cdot x^2+b\cdot x</math>, z.B. <math>0=4\cdot x^2+8\cdot x</math>.
 
Bei dieser Form ist die Bedingungen fürs Ausklammern erfüllt:
Es gibt keinen Term der Form <math>c</math>, also keine Zahl ohne ein <math>x</math>.
 
Nun muss noch umgeformt werden:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&0 &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x &\mid \text{teile durch a, damit der Vorfaktor von dem x² zu 1 wird}\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{b}{a} \cdot x &\mid \text{klammere x aus}\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& x\cdot (x+\frac{b}{a}) &\mid \text{dieses Produkt ist genau dann 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist}\\
\\
&\Rightarrow& x &&=&& 0\\
\text{oder}
&&x+\frac{b}{a}&&=&& 0 &\mid -\frac{b}{a}\\
&\Leftrightarrow& x &&=&& -\frac{b}{a}\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& 0\\
&&x_2 &&=&& -\frac{b}{a}
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Als Beispiel:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&0 &&=&& 4\cdot x^2+8\cdot x &\mid \div 4\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{8}{4} \cdot x &\mid \text{klammere x aus}\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& x\cdot (x+2) &\mid \text{dieses Produkt ist genau dann 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist}\\
\\
&\Rightarrow& x &&=&& 0\\
\text{oder}
&&x+2&&=&& 0 &\mid -2\\
&\Leftrightarrow& x &&=&& -2\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& 0\\
&&x_2 &&=&& -2
\end{array}
</math>
<br /><br />
|3=Merke}}
 
{{Box|1=Methode 3: p-q Formel|2=
Gegeben sei eine Gleichung der Form <math>0=a\cdot x^2+b\cdot x+c</math>, z.B. <math>0=2\cdot x^2+8\cdot x+14</math>.
 
Bei dieser Form muss man entweder die p-q Formel (oder quadratische Ergänzung) anwenden.
 
Es muss umgeformt werden:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&0 &&=&& a\cdot x^2+b\cdot x +c&\mid \text{teile durch a, damit der Vorfaktor von dem x² zu 1 wird}\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{b}{a} \cdot x+\frac{c}{a} &\mid \text{setze in die pq-Formel ein}\\
&&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=+\frac{b}{a}, q=+\frac{c}{a}\\
&\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{b}{a\cdot 2}\pm \sqrt{(\frac{b}{a\cdot 2})^2-\frac{c}{a}}\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& -\frac{b}{a\cdot 2}+ \sqrt{(\frac{b}{a\cdot 2})^2-\frac{c}{a}}\\
&&x_2 &&=&& \frac{b}{a\cdot 2}- \sqrt{(\frac{b}{a\cdot 2})^2-\frac{c}{a}}
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
Als Beispiel:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&0 &&=&& 2\cdot x^2+16\cdot x +14&\mid \div 2\\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& x^2+\frac{16}{2} \cdot x+\frac{14}{2} &\mid \text{setze in die pq-Formel ein}\\
&&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=+\frac{16}{2}=8, q=+\frac{14}{2}=7\\
&\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2-7}\\
&& &&=&& -4\pm \sqrt{4^2-7}\\
&& &&=&& -4\pm \sqrt{16-7}\\
&& &&=&& -4\pm \sqrt{9}\\
&& &&=&& -4\pm 3\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& -1\\
&&x_2 &&=&& -7
\end{array}
</math>
<br /><br />
|3=Merke}}
 
{{Box|12. Erkennen der schnellsten Methode zum Nullstellen berechnen.
|Ordne zu.
 
{{LearningApp|app=patu3ez4j19|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|13. Nullstellen berechnen.|
Löse die folgenden Gleichungen mit der jeweils schnellsten Methode.
 
'''a)''' <math>-3=\frac{3}{4}\cdot x^2-9</math>
 
'''b)''' <math>4\cdot x^2=8\cdot x</math>
 
'''c)''' <math>\frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x=8</math>
 
{{Lösung versteckt| 1= Mache dir klar welche Methode du jeweils anwenden kannst. Falls du dir unsicher bist scrolle hoch zu den Erklärungen der Methoden.
| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Überlege dir wie du die Gleichungen umstellen musst um die passende Form zu erhalten. Beachte ob ein Vorfaktor vor dem <math>x^2</math> steht und bringe ihn auf <math>1</math>.
| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Da hier kein Term der Form <math>b\cdot x</math> vorkommt, kann die Methode Wurzelziehen angewandt werden:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&-3 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2-9 &\mid +9\\
&\Leftrightarrow& 3 &&=&& \frac{3}{4}\cdot x^2 &\mid \cdot \frac{4}{3}\\
&\Leftrightarrow& \frac{3\cdot 4}{3} &&=&& x^2 &\mid \sqrt{}\\
&\Leftrightarrow& \pm \sqrt{4} &&=&& \sqrt{x^2}\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& 2\\
&&x_2 &&=&& -2
\end{array}
</math>
<br /><br />
| 2=Lösung zu a) | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Da hier kein Term der Form <math>c</math> vorkommt, also keine Zahl ohne ein <math>x</math>, kann die Methode Ausklammern angewandt werden:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&4\cdot x^2 &&=&&8\cdot x &\mid \div 4\\
&\Leftrightarrow& x^2 &&=&& \frac{8}{4}\cdot x &\mid -\frac{8}{4}\cdot x\\
&\Leftrightarrow& x^2-2\cdot x &&=&& 0 &\mid \text{klammere x aus}\\
&\Leftrightarrow& x\cdot (x-2) &&=&&0 &\mid \text{dieses Produkt ist genau dann 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist}\\
\\
&\Rightarrow& x &&=&& 0\\
\text{oder}
&&x-2&&=&& 0 &\mid +2\\
&\Leftrightarrow& x &&=&& 2\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& 0\\
&&x_2 &&=&& 2
\end{array}
</math>
<br /><br />
| 2=Lösung zu b) | 3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt| 1= Da hier alle Termformen (<math>x^2, b\cdot x, c</math>) vorhanden sind muss die <math>pq</math>-Formel angewandt werden:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&&\frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x &&=&& 8 &\mid -8\\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\cdot x^2-2\cdot x-8 &&=&& 0 &\mid \cdot 3\\
&\Leftrightarrow& x^2-3\cdot 2\cdot x-3\cdot 8 &&=&& 0 &\mid \text{setzte in die pq-Formel ein}\\
&&x_{1/2} &&=&& -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} &\mid p=-3\cdot 2=-6, q=-3\cdot 8=-24\\
&\Rightarrow& x_{1/2} &&=&& -\frac{-6}{2}\pm \sqrt{(\frac{6}{2})^2-(-24)}\\
&& &&=&& 3\pm \sqrt{3^2+24}\\
&& &&=&& 3\pm \sqrt{9+24}\\
&& &&=&& 3\pm \sqrt{33}\\
\\
&\Rightarrow& x_1 &&=&& 3+ \sqrt{33}\\
&&x_2 &&=&& 3- \sqrt{33}
\end{array}
</math>
<br /><br />
 
| 2=Lösung zu c) | 3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|Ordne zu.|
Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörigen Nullstellen zu. Berechne diese dafür in deinem Heft.
{{LearningApp|app=p6ojja7qt19|width=100%|height=400px}}
|Arbeitsmethode}}
 
{{Box|Baseball|
Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu <math>160km/h</math>. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion  <math>h(x)=-0.0075\cdot x^2+1.2\cdot x+1</math> beschrieben werden, wobei  die horizontale Entfernung zum Schlagmann und die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.
 
'''a)''' Wie weit fliegt der Ball? Überlege dir dafür wo der Ball geschlagen wird und wo er aufkommt.
 
{{Lösung versteckt|1= Da wo der Ball geschlagen wird, ist er ja noch keinen Meter geflogen, dementsprechend ist der <math>x</math>-Wert hier noch <math>0</math>.|2= Tipp 1|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Da wo der Ball auf dem Boden aufkommt hat er keine Höhe mehr, weswegen der <math>y</math>-Wert <math>0</math>. Gesucht ist demnach eine Nullstelle. |2= Tipp 2|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Setze die Funktion <math>h(x)=0</math> und berechne die Nullstellen. Du erhältst zwei. Überlege die nun welcher Wert mehr Sinn macht. Da der Abschlagpunkt bei <math>x=0</math> ist, ist die Nullstelle die Entfernung die der Ball fliegt.  |2= Tipp 3|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Setze die Funktion <math>h(x)=0</math>: <math>-0.0075\cdot x^2+1.2\cdot x+1=0</math>.
 
Um diese Gleichung zu lösen muss die <math>p-q</math> Formel verwendet werden. Dafür muss der Vorfaktor von <math>x^2</math> auf <math>1</math> gebracht werden. Wir müssen also <math>:-0.0075</math> rechnen:
 
<math>x^2+\frac{1.2}{-0.0075}\cdot x +\frac{1}{-0.0075}=x^2-160\cdot x-\frac{400}{3}=0</math>.
 
Nun kann die <math>p-q</math> Formel verwendet werden: <math>p=-160</math> und <math>q=-\frac{400}{3}</math>, also:
 
<math>x_{1/2}=-\frac{-160}{2}\pm \sqrt{(\frac{-160}{2})^2-(-\frac{400}{3})}=80\pm \sqrt{6400+\frac{400}{3}}=80 \pm 80.83</math>
 
Somit ergibt sich <math>x_1=160.83</math> und <math>x_2=-0.83</math>.
 
Der Ball fliegt also ca. <math>160.83</math> Meter.
|2= Lösung|3=schließen}}
 
'''b)''' In einer Entfernung von <math>153</math> Metern steht ein <math>1,83</math> Meter großer Spieler. Dieser kann einen Ball aus ca. <math>3</math> Metern Höhe fangen. Würde es ihm gelingen den Ball mit der obigen Flugkurve zu fangen?
 
{{Lösung versteckt|1= Du musst berechnen wie hoch der Ball nach <math>153</math> Metern ist. Überlege dir dafür wo du die <math>153</math> in die Gleichung einsetzen musst.|2= Tipp 1|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Setzte die <math>153</math> für <math>x</math> ein, da der <math>x</math>-Wert ja die horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt angibt.|2= Tipp 2|3=schließen}}
 
{{Lösung versteckt|1= Gesucht ist die Höhe des Balls nach <math>153</math> Metern. Daher setzten wir die <math>153</math> für <math>x</math> ein, da der <math>x</math>-Wert ja die horizontale Entfernung zum Abschlagpunkt angibt:
 
<math>h(153)=-0.0075\cdot 153^2+1.2\cdot 153+1=9.03</math>
 
Der Ball ist also nach <math>153</math> Metern noch über <math>9</math> Meter hoch, weswegen der Spieler, der einen <math>3</math> Meter hohen Ball fangen kann, an diesen nicht drankommt. |2= Lösung |3=schließen}}
|Arbeitsmethode}}
 
===Anwendungsaufgaben===
 
Bei den Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen handelt es sich in der Regel um eine '''Optimierungsaufgabe''' oder um das '''Lösen eines Sachzusammenhanges'''.
 
{{Box|1=Optimierungsaufgaben|2=
Bei Optimierungsaufgaben wird in der Regel danach gefragt unter welchen Bedingungen ein Wert maximal oder minimal wird. Da eine quadratische Funktion als Funktionsgraphen eine Parabel darstellt, ist der höchste (bei negativer Steigung <math>a<0</math>) bzw. tiefste (bei positiver Steigung <math>a>0</math>) Punkt der Scheitelpunkt. Hier ist der <math>y</math>-Wert der Funktion also maximal oder minimal. Dementsprechend muss die <math>y</math>-Achse den Wert beschreiben der maximal oder minimal werden soll.
 
[[Datei:Optimierungsaufgaben.png|rechts|rahmenlos]]
 
''Ist zum Beispiel bei einer vorgegebenen Länge (<math>20m</math>) Zaun der maximale Flächeninhalt gesucht, so muss auf der <math>y</math>-Achse der Flächeninhalt eingetragen werden''.
 
Die <math>x</math>-Achse muss dabei eine der Bedingungen beschreiben, die man verändern darf.
 
''Zum Beispiel die Länge von einer Seite, diese setzt man dann als Variable <math>x</math>''.
 
Vorgehen:
# Schreibe dir auf was gesucht ist.
#* z.B. maximaler Flächeninhalt.
# Schreibe dir auf was gegeben ist.
#* z.B. <math>20m</math> Zaun zum einzäunen eines Rechtecks.
# Notiere dir Formeln die du zu den gegebenen Größen weißt.
#* Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen brauche ich die Formel: <math>A=a\cdot b</math>.
#* Da ich <math>20m</math> Zaun zur Verfügung habe, hat der Umfang meines Rechtecks den Wert <math>20</math>, also: <math>U=2\cdot a + 2\cdot b=20</math>.
# Mache dir klar welcher Wert der ist, welcher in der quadratischen Funktion auf der <math>y</math>-Achse eingetragen sein muss.
#* Da der Flächeninhalt <math>A</math> maximiert werden soll gehört dieser auf die <math>y</math>-Achse. Da der <math>y</math>-Wert vom <math>x</math>-Wert abhängt schreiben wir <math>A(x)</math>.
# Entscheide dich welche Bedingung du als <math>x</math> setzen möchtest und stelle die andere Bedingung in Abhängigkeit von <math>x</math> dar.
#* Wir können uns zwischen <math>a</math> und <math>b</math> entscheiden. Wir setzen <math>a</math> als Variable <math>x</math>, also <math>A(x)=x\cdot b</math>. Da uns das <math>b</math> hier noch stört, müssen wir diese in Abhängigkeit von <math>x</math> schreiben indem wir die zweite Formel umformen: <math>20=2\cdot x + 2\cdot b \leftrightarrow 20-2\cdot x=2\cdot b \leftrightarrow 10-x=b </math>. Nun können wir <math>b</math> in <math>A(x)=x\cdot b</math> ersetzten: <math>A(x)=x\cdot (10-x)=10\cdot x-x^2</math>.
# Forme in die Scheitelpunktform um.
#* <math>A(x)=10\cdot x-x^2=-(x-2\cdot 5\cdot x+5^2-5^2)=-((x-5)^2-5^2)=-(x-5)^2+25</math>.
# Lese den Scheitelpunkt an und interpretiere ihn.
#* Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(5|25)</math>. Der <math>y</math>-Wert gibt den Flächeninhalt an, weswegen <math>25m^2</math> der maximale Flächeninhalt ist. Dieser wird erreicht bei <math>x=5</math>, also wenn die Seitenlänge von <math>a=5m</math> beträgt. Da <math>20=2\cdot a + 2\cdot b= 2\cdot 5 + 2\cdot b= 10 + 2\cdot b</math> gelten muss erhalten wir durch umformen für <math>b</math> eine Länge von <math>5m</math>.
 
 
|3=Merke}}

Version vom 8. Februar 2020, 05:16 Uhr

Bei der Meinungslinie handelt es sich um eine Methode für den Unterricht. Die Meinungslinie eignet sich besonders für Phasen, wenn Schülerinnen und Schüler sich zu einem inhaltlichen Problem positionieren müssen. Mittels Kreppband wird im Raum auf dem Boden eine Linie gezogen, die eine Seite der Klasse ist dann „Pro ...“, die andere Seite im Raum ist dann „Contra ...“. Die Schülerinnen und Schüler haben dann die Möglichkeit sich im Raum zu positionieren und so hinsichtlich eines Problems oder einer Frage eine Position einzunehmen („Ich bin für oder gegen etwas“). Die Methode ist besonders bei unteren Klassen gut geeignet.

Literatur

  • Hilbert Meyer: Übungen zum guten Unterricht. Eine Handreichung für Aus- und Fortbildung. Seelze: Erhard Friedrich Verlag 2007, S. 8-10.

Weblinks

  • Vorlage:Pdf-extern (Carl von Ossietzky Universität)
  • Vorlage:Pdf-extern (© 2006, Landesinstitut für Schule, Bremen [www.lis.bremen.de] Franz Wester, Andreas Soltau, Liane Paradies)

Siehe auch

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