Quadratische Funktionen

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Exkurs: Quadratische Funktionen - im DMUW-Wiki

Was man darüber wissen sollte

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichungen haben die Form: $f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,$

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.

Deren Graphen werden Parabeln genannt.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Allgemein gilt:

Ist $f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,$ die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)\,$ besitzt, so ist $f(x) = a_2(x-x_s)^2 + y_s\,$ die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.

Hintergrundinformationen

Achsenschnittpunkte

	Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist $P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)$ Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist $P_{xi}(x_i|0)\Rightarrow f(x_i) = 0$ für i = 1 ; 2

Hintergrundinformationen

Symmetriebetrachtung

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln. Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)\,$ lautet: $x = x_s\,$ (hier $x_s = 3\,$) Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion $x_1 ; x_2\,$ bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

$x_s=\frac{x_1+x_2} {2} \Rightarrow S(x_s|f(x_s))$

Hintergrundinformationen

Interaktive Übung

p-q-Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: $x^2+px+q=0\,$

p - q - Formel:

$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\,$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: $D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q$

Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}\,$

Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.

$D > 0 \Rightarrow L = \{x_1 ; x_2\}$ Zwei Lösungselemente

$D = 0 \Rightarrow L = \{x\}$ Ein Lösungselement (Doppellösung)

$D < 0 \Rightarrow L = \{ \}$ Kein Lösungselement

• Hintergrundinformationen
• p-q-Formel als Java-Programm: Java/PQ-Formel

Mitternachtsformel

Zum Finden der Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung: $ax^2+bx+c=0\,$

ist es nicht nötig, die Gleichung zu normieren. Man kann auch eine andere Lösungsformel, umgangssprachlich "Mitternachtsformel" genannt, benutzen.

$x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch als Diskriminante bezeichnet: $D=b^2-4ac\,$

Der Satz von Vieta

Sind $x_1 ; x_2\,$ Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+px+q\,$ so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta $x_1 + x_2 = -p \,$ und $x_1\cdot x_2=q$ überprüft werden.

Hintergrundinformationen

Nullstellen und Linearfaktoren

Sind $x_1\,$ und $x_2\,$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0\,$, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

$f(x) = a_2\cdot(x-x_1)(x-x_2)$

Hintergrundinformationen

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

$f(x)\,$ sei die Funktionsgleichung einer Parabel und $g(x)\,$ die einer Geraden.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow \,$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow\,$ Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow\,$ Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow\,$ Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Hintergrundinformationen

Schnittpunkt zweier Parabeln

$f(x);g(x)\,$ seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow \,$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow\,$ Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow\,$ Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow\,$ Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

$f(x)-g(x)\Rightarrow\,$ lineare Gleichung $\Rightarrow\,$ Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Hintergrundinformationen

Einführungsbeispiel für quadratische Funktionen

Fallbeispiel:

Unterrichtsidee Bremsspuren Sarah bereitet sich auf die Führerscheinprüfung vor. Sie hat gelernt, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt. Sie kennt folgende Faustregeln, um aus der gefahrenen Geschwindigkeit v den Bremsweg b und den Reaktionsweg r zu berechnen. Dann liest sie folgenden Artikel in der Tageszeitung und ist verunsichert. Achtung: Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04 Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet. Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel: Der Brems– bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.

Aufgabenstellung:

Übung Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann. Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30 ... 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen. Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. Kommentieren Sie das Gesamtergebnis. Exkurs: Schauen Sie sich den Film "Wie lang ist der Bremsweg eines voll beladenen Lkw im Vergleich zum Pkw?" an. Vergleichen Sie die experimentellen Daten mit den Daten der Berechnungsformel. Die mathematische Formel erfasst nicht alle Faktoren des Bremsweges. Von welchen Faktoren ist der Bremsweg zusätzlich abhängig?

Kopfball-Video "Wie lang ist der Bremsweg eines voll beladenen Lkw im Vergleich zum Pkw?"

Problemlösung:

• Die Funktionsgleichung:

• Die Wertetabelle:

• Die Graphen:

Die x–Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da.

Die y–Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.

• Der Kommentar:

Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer.

Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m.

Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m.

Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll.

Bemerkung

Gespräche mit Schülern, die gegenwärtig die Fahrschule besuchen, ergab, dass auch heute noch (2006) in der Fahrschule die alte Regelung vermittelt wird. Vermutlich gibt es immer noch Autos ohne ABS.

Folgerung

Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt. Die Funktionsgleichungen haben die Form:

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.

Die Graphen werden Parabeln genannt.

Interaktive Übungen

Interaktive Übungen auf realmath

• Die Graphen zu Funktionen mit der Gleichung y = ax² interaktiv erkunden
• Die Gleichung verschobener Parabeln y = (x - b)² + c (Übung)
• Parabeln mit der Gleichung y = a(x - b)² + c analysieren (Übung)
• Gleichungen zuordnen y = (x - b)² + c (Übung)
• Parabeln zu gegebener Gleichung y = a(x - b)² + c zeichnen (Übung)
• Parabelgleichungen ablesen (variable Übung)

Interaktive Übungen und Lösungswegrechner von Arndt Brünner

• Herleitung und Übung
• Interaktive Beispiele zur quadratischen Ergänzung
• p-q-Formel
• Übungen zur p-q-Formel
• Übung zum Lösen von Gleichungen

Interaktive Übungen und Aufgaben-Generator von dwu

• HotPotatoes-Übungen im dwu-Lernstudio
• Excel-Aufgabengenerator zur Q.Gleichung ...

Mathe-online

• Übungen zu Quadratischen Gleichungen
  • Applet 1: "Das Applet ist ein Puzzle, in dem verschiedene mathematische Aussagen zu einem Beweis für die ("kleine") Lösungsformel für quadratische Gleichungen (also Gleichungen vom Typ x² + p x + q = 0) zusammengesetzt werden sollen."
  • Applet 2: "Das Applet fasst drei Lösungsmethoden für Gleichungen vom Typ x² + p x + q = 0 zusammen."

Rudolf Brinkmann

• Parabelanalysator - Eine umfassende Analyse mit Darstellung des Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte von Parabel und Gerade Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte zweier Parabeln Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Parabel durch drei Punkte Berechnung der Funktionsgleichung und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).

Aufgabe-Varianten

Typ XXX (siehe Artikel Aufgabe-Varianten)

• Ist S(x|y) Scheitel dieser Parabel?
• Liegt dieser Punkt P auf der Parabel?
• Sind N1 und N2 Nullstellen dieser Parabel
• Ist die Parabel nach oben/unten geöffnet?

Typ XX-:

• Lies den Scheitel ab (bei Scheitelpunktsdarstellung)
• Zeichne die Parabel mit der Schablone
• Scheitel und Streckfaktor bestimmen
• Nullstellen bestimmen
• Punkte auf der Parabel berechnen
• Parabel freihändig zeichnen
• Schnittpunkte mit einer Geraden bestimmen

Typ X--:

• Für welche Werte von a,b und c hat eine Parabel $y=ax^2+bx+c$ (vereinfachen durch Angabe von einigen Parametern, erschweren durch Einschränkung der Parameter wie z.B. a > 0)
  • keine/eine/zwei Nullstellen
  • nur positive/negative Funktionswerte
  • einen Scheitel oberhalb/unterhalb der x-Achse

• Wann haben die Parabel und die Gerade keinen/einen/zwei Schnittpunkte?

Typ X-X:

• Zeige das die Parabel immer diese ... Eigenschaft hat.
• Wie kann man bei den Parabeln (x-2)^2 und (x+2)^2 die Scheitel ablesen. Zeichne mit Hilfe von Punkten die Parabeln in ein KOS ein und bestimme den Scheitel.

Funktionsplotter-Einsatz

Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Quadratischen Funktionen f(x) = ax² und f(x) = a(x-d)²+e :
Scheitel erkennen, Nullstellen ablesen, Bedeutung der Parameter erkennen

Linkliste

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen I

Quadratische Funktionen II

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

Schnittpunkte zweier Parabeln

Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen

Zusammenfassung quadratische Funktionen

Informationen zum Bremsweg

• Bremsweg
• Kopfball-Video: Wie lang ist der Bremsweg eines voll beladenen Lkw im Vergleich zum Pkw?
• Anhalteweg - interaktives JavaScript

Siehe auch

• Berührungsprobleme bei quadratischen Funktionen
• Funktionsplotter/Einsatz
• Lernvideos Mathematik/Lineare und quadratische Funktionen
• Mathematik in der Oberstufe
• MMS/SI/Quadratische Funktionen und Gleichungen
• Aufgaben zu quadratischen Funktionen
• Themenstränge im Mathematikunterricht
• Unterrichtsthemen im Mathematikunterricht