Quadratische Funktionen
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Lernpfade
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Einführung in quadratische Funktionen
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Einführung in quadratische Funktionen im Medienvielfalt-Wiki
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Quadratische Funktionen
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Quadratische Funktionen im DMUW-Wiki
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Quadratische Funktionen - Übungen
- Exkurs: Quadratische Funktionen - im DMUW-Wiki
Was man darüber wissen sollte
Funktionsgleichung
- Die Funktionsgleichungen haben die Form:
- Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
- Deren Graphen werden Parabeln genannt.
Scheitelpunkt und Scheitelpunktform
- Allgemein gilt:
- Ist
die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt
besitzt, so ist
die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
- Hintergrundinformationen
Achsenschnittpunkte
- Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
- Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
für i = 1 ; 2
Symmetriebetrachtung
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Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen
- Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion
bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
- Hintergrundinformationen
- Interaktive Übung
p-q-Formel, Diskriminante und Lösungsmenge
- Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
- p - q - Formel:
- Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
- Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :
- Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
Zwei Lösungselemente
Ein Lösungselement (Doppellösung)
Kein Lösungselement
- Hintergrundinformationen
- p-q-Formel als Java-Programm: Java/PQ-Formel
Mitternachtsformel
- Zum Finden der Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung:
- ist es nicht nötig, die Gleichung zu normieren. Man kann auch eine andere Lösungsformel, umgangssprachlich "Mitternachtsformel" genannt, benutzen.
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- Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch als Diskriminante bezeichnet:
Der Satz von Vieta
- Sind
Lösungen der quadratischen Gleichung
so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta
und
überprüft werden.
- Hintergrundinformationen
Nullstellen und Linearfaktoren
- Sind
und
die Nullstellen der quadratischen Funktion
, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
- Hintergrundinformationen
Schnittpunkt von Parabel und Gerade
sei die Funktionsgleichung einer Parabel und
die einer Geraden.
- Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen
quadratische Gleichung.
- Falls nun:
Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
- Hintergrundinformationen
Schnittpunkt zweier Parabeln
seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.
- Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen
quadratische Gleichung.
- Falls nun:
Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
lineare Gleichung
Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
- Hintergrundinformationen
Einführungsbeispiel für quadratische Funktionen
Fallbeispiel:
Achtung:
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Aufgabenstellung:
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Kopfball-Video "Wie lang ist der Bremsweg eines voll beladenen Lkw im Vergleich zum Pkw?"
Problemlösung:
- Die Funktionsgleichung:
- Die Wertetabelle:
- Die Graphen:
- Die x–Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da.
- Die y–Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.
- Der Kommentar:
- Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer.
- Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m.
- Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m.
- Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll.
Bemerkung
- Gespräche mit Schülern, die gegenwärtig die Fahrschule besuchen, ergab, dass auch heute noch (2006) in der Fahrschule die alte Regelung vermittelt wird. Vermutlich gibt es immer noch Autos ohne ABS.
Folgerung
- Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt. Die Funktionsgleichungen haben die Form:
- Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
- Die Graphen werden Parabeln genannt.
Interaktive Übungen
Interaktive Übungen auf realmath
- Die Graphen zu Funktionen mit der Gleichung y = ax² interaktiv erkunden
- Die Gleichung verschobener Parabeln y = (x - b)² + c (Übung)
- Parabeln mit der Gleichung y = a(x - b)² + c analysieren (Übung)
- Gleichungen zuordnen y = (x - b)² + c (Übung)
- Parabeln zu gegebener Gleichung y = a(x - b)² + c zeichnen (Übung)
- Parabelgleichungen ablesen (variable Übung)
Interaktive Übungen und Lösungswegrechner von Arndt Brünner
- Herleitung und Übung
- Interaktive Beispiele zur quadratischen Ergänzung
- p-q-Formel
- Übungen zur p-q-Formel
- Übung zum Lösen von Gleichungen
Interaktive Übungen und Aufgaben-Generator von dwu
Mathe-online
- Übungen zu Quadratischen Gleichungen
- Applet 1: "Das Applet ist ein Puzzle, in dem verschiedene mathematische Aussagen zu einem Beweis für die ("kleine") Lösungsformel für quadratische Gleichungen (also Gleichungen vom Typ x² + p x + q = 0) zusammengesetzt werden sollen."
- Applet 2: "Das Applet fasst drei Lösungsmethoden für Gleichungen vom Typ x² + p x + q = 0 zusammen."
Rudolf Brinkmann
- Parabelanalysator - Eine umfassende Analyse mit Darstellung des Graphen (JavaScript interaktiv).
- Schnittpunkte von Parabel und Gerade Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
- Schnittpunkte zweier Parabeln Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
- Parabel durch drei Punkte Berechnung der Funktionsgleichung und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
Aufgabe-Varianten
Typ XXX (siehe Artikel Aufgabe-Varianten)
- Ist S(x|y) Scheitel dieser Parabel?
- Liegt dieser Punkt P auf der Parabel?
- Sind N1 und N2 Nullstellen dieser Parabel
- Ist die Parabel nach oben/unten geöffnet?
Typ XX-:
- Lies den Scheitel ab (bei Scheitelpunktsdarstellung)
- Zeichne die Parabel mit der Schablone
- Scheitel und Streckfaktor bestimmen
- Nullstellen bestimmen
- Punkte auf der Parabel berechnen
- Parabel freihändig zeichnen
- Schnittpunkte mit einer Geraden bestimmen
Typ X--:
- Für welche Werte von a,b und c hat eine Parabel
(vereinfachen durch Angabe von einigen Parametern, erschweren durch Einschränkung der Parameter wie z.B. a > 0)
- keine/eine/zwei Nullstellen
- nur positive/negative Funktionswerte
- einen Scheitel oberhalb/unterhalb der x-Achse
- Wann haben die Parabel und die Gerade keinen/einen/zwei Schnittpunkte?
Typ X-X:
- Zeige das die Parabel immer diese ... Eigenschaft hat.
- Wie kann man bei den Parabeln (x-2)^2 und (x+2)^2 die Scheitel ablesen. Zeichne mit Hilfe von Punkten die Parabeln in ein KOS ein und bestimme den Scheitel.
Funktionsplotter-Einsatz
Linkliste
Quadratische Funktionen
- Quadratische Funktionen I
- Quadratische Funktionen II
- Schnittpunkt von Parabel und Gerade
- Schnittpunkte zweier Parabeln
- Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
- Zusammenfassung quadratische Funktionen
Informationen zum Bremsweg
- Bremsweg
-
Kopfball-Video: Wie lang ist der Bremsweg eines voll beladenen Lkw im Vergleich zum Pkw?
- Anhalteweg - interaktives JavaScript
Siehe auch
- Berührungsprobleme bei quadratischen Funktionen
- Funktionsplotter/Einsatz
- Lernvideos Mathematik/Lineare und quadratische Funktionen
- Mathematik in der Oberstufe
- MMS/SI/Quadratische Funktionen und Gleichungen
- Aufgaben zu quadratischen Funktionen
- Themenstränge im Mathematikunterricht
- Unterrichtsthemen im Mathematikunterricht