Die Parameter der Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben|1| | {{Aufgaben|1| | ||
− | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | + | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. |
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'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). | '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). | ||
− | '''b)''' | + | '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren? |
+ | In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a\cdot x^2</math> verändert. | ||
− | + | <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eK5MmMmb/width/700/height/500/border/888888" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe> | |
+ | <popup name="Lösung">Richtige Vermutungen können wie folgt lauten: | ||
+ | 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler'''. | ||
− | + | 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter'''. | |
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+ | 3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"'''.</popup>}} | ||
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− | <iframe src="// | + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pysv88tea18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> |
+ | <popup name="Lösung">Wenn a kleiner Null ist (a<0), dann ist die Parabel nach unten geöffnet. | ||
+ | Wenn a größer Null ist (a>0), dann ist die Parabel nach oben geöffnet. | ||
+ | Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (-1<a<1), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel. | ||
+ | Wenn a kleiner als minus Eins (a<-1) oder größer als Eins ist (a>1), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.</popup>}} | ||
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Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt. | Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt. | ||
− | <iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pcssvbrfj16" style="border:0px;width: | + | <iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pcssvbrfj16" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="false"></iframe>}} |
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+ | {{Aufgaben|4| | ||
+ | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
− | {{Merke| | + | Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.}} |
+ | {{Merke-blau| | ||
Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für: | Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für: | ||
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− | {{Aufgaben| | + | {{Aufgaben|5| |
− | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | + | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. |
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'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). | '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). | ||
− | '''b)''' | + | '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren? |
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− | In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der | + | In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>d=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=(x-d)^2</math> verändert. |
+ | <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/grh32PSP/width/700/height/500/border/888888" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
+ | <popup name="Lösung">Richtige Vermutungen können wie folgt lauten: | ||
− | + | 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts verschoben'''. | |
+ | 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links verschoben'''.</popup>}} | ||
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− | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | + | {{Aufgaben|6| |
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+ | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
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− | {{ | + | {{Aufgaben|7| |
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− | ''' | + | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. |
− | '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.}} | + | Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.}} |
+ | {{Merke-blau|Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | ||
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+ | '''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben. | ||
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+ | '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.}} | ||
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− | {{Aufgaben| | + | {{Aufgaben|8| |
− | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | + | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. |
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'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). | '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). | ||
− | '''b)''' | + | '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren? |
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+ | In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>e=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+e</math> verändert. | ||
− | <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HcpKPj4G/width/ | + | <iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/HcpKPj4G/width/700/height/550/border/888888" width="700px" height="550px" style="border:0px;"> </iframe> |
+ | <popup name="Lösung">Richtige Vermutungen können wie folgt lauten: | ||
− | + | 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach oben verschoben'''. | |
− | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 7) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | + | 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach unten verschoben'''.</popup>}} |
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+ | {{Aufgaben|9| | ||
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+ | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme. | Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme. | ||
− | '''a)''' Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für | + | '''a)''' Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für '''drei''' der quadratischen Funktionen: |
[[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]] | [[Datei:Koordinatensystem finden.PNG|rahmenlos|850px|Funktionen für Aufgabe]] | ||
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<popup name="Lösung">[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]</popup> | <popup name="Lösung">[[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 1.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 1]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 2.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 2]][[Datei:Koordinatensystem finden Lösungsteil 3.PNG|rahmenlos|800px|Lösungsteil 3]]</popup> | ||
− | '''b)''' | + | '''b)''' Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion <math>(1) y=0,5\cdot x^2+2</math> gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion <math>(4) y=0,5\cdot x^2+5</math>? Formuliere einen Tipp. |
<popup name="Lösung">Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.</popup>}} | <popup name="Lösung">Das Koordinatensystem von (4) ist um genau drei Einheiten nach unten verschoben.</popup>}} | ||
− | {{Aufgaben| | + | {{Aufgaben|10| |
− | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | + | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. |
− | Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios | + | Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form <math>f(x)=x^2+9</math> und <math>f(x)=(x+3)^2</math>. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst. |
[[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]] | [[Datei:Lucio, Fabian Binomische Formel.png|rahmenlos|Unterhaltung zu typischem Fehler|600px]] | ||
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+ | '''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
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+ | Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.}} | ||
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Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | ||
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=='''Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte'''== | =='''Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte'''== | ||
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+ | | Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind noch einmal gesammelt dargestellt: | ||
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Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für: | Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für: | ||
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Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.}} | Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.}} | ||
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Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel '''entlang der x-Achse verschoben'''. Für <math>y=(x-d)^2</math> gilt: | ||
− | '''d > | + | '''d > 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben. |
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+ | '''d < 0''': Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.}} | ||
− | {{Merke| | + | {{Merke-blau| |
Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von <math>y=x^2</math>, wird die Parabel '''entlang der y-Achse verschoben'''. Für <math>y=x^2+e</math> gilt: | ||
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[[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]] | [[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]] | ||
− | Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische | + | Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktionen der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math>. Diese Form heißt '''Scheitelpunktform''', da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>S(d|e)</math> der Parabel angeben. |
Auf der [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erforschen/Übungen|Übungen]]. | Auf der [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erforschen/Übungen|Übungen]]. |
Aktuelle Version vom 3. Mai 2018, 14:46 Uhr
Willkommen | Wiederholung | Quadratische Funktionen im Alltag | Quadratische Funktionen kennenlernen | Die Parameter der Scheitelpunktform | Die Scheitelpunktform | Die Parameter der Normalform | Die Normalform | Von der Scheitelpunkt- zur Normalform | Übungen
In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben. |
Inhaltsverzeichnis |
Quadratische Funktionen verändern
Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.
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Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.
Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Broschüre des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.
Strecken, Stauchen und Spiegeln
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
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Knobelaufgabe Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
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Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme. |
Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt.
(mit a≠0) ergibt demnach für:
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.
-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.
Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.
Verschiebung in x-Richtung
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme. |
Verschiebung in y-Richtung
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme. |
Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte
Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind noch einmal gesammelt dargestellt: |
Multipliziert man mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt.
(mit a≠0) ergibt demnach für:
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.
-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.
Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.
Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktionen der Form . Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes
der Parabel angeben.
Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.
Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)