Die Parameter der Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen erforschen

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In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst 1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann, 2. entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt. Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.

Quadratische Funktionen verändern

Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x²) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.

Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.

Video: Parabelflug des DLR

Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Broschüre des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.

Strecken, Stauchen und Spiegeln

  Achtung:

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Normalform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Verschiebung in x-Richtung".

Aufgabe 1 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 4) . Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat: (1) $y=2x^2$,          (2) $y=\frac{1}{2}x^2$     und     (3) $y=-x^2$ a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). Hilfe anzeigen Hilfe verstecken Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen. b) Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, als Funktion $f(x)$ eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph $g(x)$ verändern. Was passiert?

Aufgabe 2 In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.

Aufgabe 3 Knobelaufgabe Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.

Merke: Multipliziert man $y=x^2$ mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. $y=ax^2$ (mit a≠0) ergibt demnach für: a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet. a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet. a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt. -1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht. Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Verschiebung in x-Richtung

Aufgabe 4 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 5) . Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat: (1) $y=(x-2)^2$          (2) $y=(x+2)^2$ a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). Hilfe anzeigen Hilfe verstecken Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die zwei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen. b) Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler d betätigen und dadurch den Graph verändern.

Aufgabe 5 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 6) . Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären. a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen. b) Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion $y=(x+3)^2$. Hilfe anzeigen Hilfe verstecken 1. Zeichne eine Tabelle wie sie in Aufgabenteil a) dargestellt ist in deinen Hefter. 2. Füge zunächst nur die x-Werte hinzu, für die du die Tabelle erstellen möchtest - zum Beispiel von -6 bis 2. 3. Wie ist der Term $y=(x+3)^2$ im Vergleich zu $y=x^2$ verschoben? Schau dir an, mit welchem Trick Merle und Fabian die Tabelle in Aufgabenteil a) erstellt haben. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Tabelle für $y=(x+3)^2$ sieht wie folgt aus: x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 9 4 1 0 1 4 9 16 25

Merke: Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für $y=(x-d)^2$ gilt: d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben. d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

Verschiebung in y-Richtung

Aufgabe 6 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 6) . Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat: (1) $y=x^2+3$          (2) $y=x^2-3$  ? a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!). Hilfe anzeigen Hilfe verstecken Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die beiden Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen. b) Zeichne die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel, die du auf der letzten Seite des Lernpfades kennengelernt hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler e betätigen und dadurch den Graph verändern.

Aufgabe 7 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 7) . Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”. Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme. a) Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für folgende quadratische Funktionen: Hilfe anzeigen Hilfe verstecken Nutze für die Abstände auf der x- und y-Achse jeweils 1 Kästchen und gehe in Einserschritten voran. Lösung anzeigen Lösung verstecken b) Formuliere einen Tipp, wie du, wenn du das Koordinatensystem für die Funktion $(1) y=0,5\cdot x^2+2$ gezeichnet hast, ganz einfach auf das Koordinatensystem für die Funktion $(4) y=0,5\cdot x^2+5$ kommen kannst. Worin unterscheiden sich die Lagen der beiden Funktionsgraphen? Beispiel-Tipp anzeigen Beispiel-Tipp verstecken

Aufgabe 8 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (S. 8) . Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form $f(x)=x^2+9$ und $f(x)=(x+3)^2$. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Frage überlegst. Hilfe anzeigen Hilfe verstecken Schaue dir noch einmal die Binomischen Formeln an. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Terme $f(x)=(x+3)^2$ und $f(x)=x^2+9$ sind nicht gleich. Man darf das Quadrat nicht einfach in die Klammer von $f(x)=(x+3)^2$ ziehen: $f(x)=(x+3)^2\neq x^2+3^2$ Die erste Binomische Formel besagt vielmehr: $f(x)=(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$.

Merke: Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von $y=x^2$, wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für $y=x^2+e$ gilt: e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben. e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Aufgabe 9 Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 2-3) . Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele. Beispiel anzeigen Beispiel verstecken

Merke: Multipliziert man $y=x^2$ mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. $y=ax^2$ (mit a≠0) ergibt demnach für: a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet. a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet. a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt. -1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht. Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.

Merke: Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für $y=(x-d)^2$ gilt: d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben. d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

Merke: Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von $y=x^2$, wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für $y=x^2+e$ gilt: e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben. e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form $y=a(x-d)^2+e$. Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes $S(d|e)$ der Parabel angeben.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.

Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)