Die Parameter der Normalform: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|
 
Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
 
 
'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 
 
'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 
 
'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
 
 
'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
 
 
Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.}}
 
  
  

Version vom 5. September 2017, 09:02 Uhr


In diesem Kapitel stellen sich die Paramter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,
1. wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
2. welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
3. wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.


Inhaltsverzeichnis

Strecken, Stauchen und Spiegeln

Nuvola apps important.svg   Achtung:

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Scheitelpunktform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Der Parameter b".


Stift.gif   Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion y=x^2 folgende Funktionen gegeben hat:

(1) y=2x^2,          (2) y=\frac{1}{2}x^2     und     (3) y=-x^2 ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel f(x)=x^2, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph g(x) verändern. Was passiert?



Stift.gif   Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.



Stift.gif   Aufgabe 3

Knobelaufgabe


Der Parameter b

Stift.gif   Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion y=x^2 folgende Funktionen gegeben hat:

(1) y=x^2+3x,          (2) y=x^2-3x ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel f(x)=x^2, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler b betätigen und dadurch den Graph g(x) verändern. Was passiert?



Stift.gif   Aufgabe 5

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) und einen Partner Notizblock mit Bleistift Partnerarbeit.

a)

b) Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.

c) Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.


Maehnrot.jpg
Merke:

Addiert man den Ausdruck bx zu y=ax^2, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für y=ax^2+bx gilt:

Für a>0:

b>0: Die Parabel wird nach links und unten verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.

Für a<0:

b>0: Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach links und oben verschoben.


Der Parameter c

Stift.gif   Aufgabe 6

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion y=x^2 folgende Funktionen gegeben hat:

(1) y=x^2+3x+2,          (2) y=x^2+3x-2 ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel f(x)=x^2, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst die Schieberegler a, b und c betätigen und dadurch den Graph g(x) verändern. Was passiert?


Stift.gif   Aufgabe 7

Welchen Wert hat der Parameter c? Trage deine Lösung wie in dem Beispiel ein:

Beispiel


Maehnrot.jpg
Merke:

Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den y-Achsenabschnitt der Parabel y=ax^2+bx+c an. Es gilt für:

c>0: Die Parabel wird nach oben verschoben.

c<0: Die Parabel wird nach unten verschoben.


Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Stift.gif   Aufgabe 8


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 4) Notizblock mit Bleistift.

Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.


Maehnrot.jpg
Merke:

Multipliziert man y=x^2 mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. y=ax^2 (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Maehnrot.jpg
Merke:

Addiert man den Ausdruck bx zu y=ax^2, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für y=ax^2+bx gilt:

Für a>0:

b>0: Die Parabel wird nach links und unten verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.

Für a<0:

b>0: Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.

b<0: Die Parabel wird nach links und oben verschoben.


Maehnrot.jpg
Merke:

Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den y-Achsenabschnitt der Parabel y=ax^2+bx+c an. Es gilt für:

c>0: Die Parabel wird nach oben verschoben.

c<0: Die Parabel wird nach unten verschoben.


Ausblick

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktion der Form y=ax^2+bx+c. Diese Form heißt Normalform.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.


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Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)