Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff und Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale Änderungsrate: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
 
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
Zeile 1: Zeile 1:
{{Box|Info|
{{Box|Info|In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.
Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung. Die Zusammenfassung können Sie auch als PDF oder Word Dokument herunterladen.  
[[Datei:Porsche918Spyder.jpg|alternativtext=|mini|Porsche 918 Spyder|ohne]]
|Kurzinfo}}
|Kurzinfo
 
}}
=='''Die Ableitung'''==
<br />
Im folgender werden vier Grundvorstellungen zur Ableitung erläutert. Es ist zu beachten, dass sich aufgrund der Überschneidungen und Ergänzungen die Grundvorstellungen nicht isoliert zu betrachten sind.{{Box|Definition|Hier steht der Inhalt, der in der Box angezeigt wird.|Merksatz
}}Diese Definition kann mit folgenden Grundvorstellungen interpretiert und gedeutet werden.
 
==='''Die Ableitung als lokale (momentane) Änderungsrate'''===
Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale oder auch momentane Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate auch die lokale Änderungsrate beschrieben. 


Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten über einen Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.  
==Der Porsche 918 Spyder==
Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion <math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math> beschreiben.


So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die '''absolute Änderung''' der '''Wegzunahme''' <math>f(x_1)-f(x_0)</math>vom Zeitpunkt <math>x_0
[[Datei:Porsche Weg Zeit Kurve.png|mini|alternativtext=|450x450px|<math>s(t)=0,2t^2+4,5t^3</math>]]
</math>bis <math>x_1</math>und die '''mittlere Änderungsrate''' <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>der '''mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit''' im Intervall <math>[x_0,x_1]</math>. Da sich die mittlere Änderungsrate über ein Steigungsdreieck, also über den Differenzenquotienten berechnen lässt, ist sie graphisch mit der Steigung der Sekante zu deuten.   
<br />
[[Datei:Absolute Änderung.png|links|mini|absolute Änderung ]]
[[Datei:Lokale Änderungsrate1.png|alternativtext=|mini|lokale Änderungsrate als Steigung der Tangente am Berührpunkt A]]
[[Datei:Mittlere Änderungsrate.png|zentriert|mini|mittlere Änderungsrate als Steigung der Sekante durch die Punkte A und B ]]
 


<br />Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls, beispielsweise durch die Näherung von <math>x_1</math>an <math>x_0</math>, lässt sich dann der genäherten Stelle <math>x_0</math> eine '''lokale (momentane) Änderungsrate''' <math>f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>zuschreiben, die der '''momentanen Geschwindigkeit entspricht.''' Die Verkleinerung des Intervalls kann sowohl tabellarisch (siehe Aufgabe ??) als auch graphisch-dynamisch (siehe Aufgabe ??) erfolgen. Die lokale Änderungsrate ist dementsprechend graphisch als die '''Steigung des Graphen an der Stelle''' <math>x_0
:{| class="wikitable"
</math>, also der '''Steigung der Tangente''' im Berührpunkt <math>A(x_0|f(x_0) </math>zu interpretieren. 
!'''Zeit (Sekunden)'''!!Strecke (Meter)
|-
|0||0
|-
|1||4,7
|-
|2||19,6
|-
|3||45,9
|-
|4||84,8
|-
|5||137,5
|-
|6||205,2
|-
|7
|289,1
|-
|8
|390,4
|-
|9
|510,3
|}


==Mittlere Änderungsrate==
{{Box|Aufgabe 1|Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsraten in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an. |Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
{{Box|Aufgabe 2|Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.


==='''Die Ableitung als Steigung der Tangente'''===
a) zwischen Sekunde 1 und 2 <br /> b) zwischen Sekunde 2 und 3 <br /> c) zwischen Sekunde 3 und 4 <br />
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.


Wie der Name schon sagt, ist bei dieser Grundvorstellung die Ableitung als Steigung der Tangente zu interpretieren. Es gilt also  die bereits vorhandene Vorstellung der Tangente, die im Zusammenhang mit Kreisen erworben wurde, auf das Analytische zu erweitern.
{{Lösung versteckt|[[/Lösungskontrolle/|zum Applet]]<ggb_applet id="ceu9yjy3" width="50%" height="450" border="8888"></ggb_applet>}}|Arbeitsmethode
}}


In der Kreisgeometrie der Sekundarstufe 1 wurde die Tangente als eine Gerade definiert, die genau einen gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) mit dem Kreis hat. In der Analysis hingegen ist die Tangente von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math>die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> in einem Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von  <math>f</math>an dieser Stelle hat.
[[Datei:Tangente an x³.png|links|mini|Analytische Sichtweise der Tangente ]]
[[Datei:Tangente am Kreis.png|mini|alternativtext=|zentriert|Geometrische Sichtweise der Tangente ]]
<br />
<br />
Die Ableitung <math>f'(x_0)</math> entspricht also der Steigung von <math>f</math>an der Stelle <math>x_0</math>und ebenso der Steigung der Tangente von <math>f</math>an der Stelle <math>x_0</math>. Veranschaulichen lässt sich dies durch das Funktionenmikroskop (Aufgabe ??), das bei starkem Hineinzoomen in einen Graph zeigt wie sich die Tangente an den Graphen anschmiegt und letztlich nicht mehr von ihm zu unterscheiden ist.
[[Datei:X³ schmiegegerade.png|links|mini|alternativtext=|400x400px|Tangtente der Funktion f am Punkt C unter der Lupe ]]
[[Datei:X³ schmiegegerade3.png|mini|alternativtext=|230x230px|sehr starker Zoomfaktor ]]
[[Datei:X³ schmiegegerade2.png|zentriert|mini|alternativtext=|230x230px|starker Zoomfaktor ]][[Datei:Sekantensteigungen.png|mini|Sekanten bei Näherung von <math>x_1</math> gegen <math>x_0</math>|alternativtext=]]Hergeleitet wird die Ableitung, also die Steigung der Tangente bei dieser Grundvorstellung über die Steigung von Sekanten. Die Steigung der Sekante durch zwei Punkte <math>P(x_0|f(x_0) </math>und <math>Q(x_1|f(x_1) </math>eines Funktionsgraphen kann mittels Steigungsdreieck und Differenzenquotienten <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math> leicht berechnet werden. Lässt man nun den Abstand zwischen <math>x_1</math>und <math>x_0</math>durch nähern von <math>x_1</math>an <math>x_0</math>immer kleiner werden, so erhält man die Steigung die der Graph in diesem endlos verkleinerbaren Intervall <math>[x_0,x_1]</math>hat. Es entsteht also letztendlich die punktuelle Steigung des Graphen an der Stelle <math>x_0</math>. Graphisch-dynamisch lässt sich dies durch die Näherung des Punktes <math>Q</math>an den Punkt <math>P</math> visualisieren (Aufgabe ??).   
Es entsteht eine Gerade, die den Graphen lediglich berührt und die gleiche Steigung wie der Graph im Punkt <math>P</math>, also an der Stelle <math>x_0</math>hat. Die Tangente. Als die Steigung der Tangente ergibt sich somit der Grenzwert des Differenzenquotienten <math> \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>, die Ableitung <math>f'(x_0)</math>.   
==='''Die Ableitung als lokale lineare Approximation'''===
Um zu erläutern welche Rolle die Ableitung bei der lokalen linearen Approximation einer Funktion einnimmt, wird zunächst geklärt wie Funktionen lokal, also in sehr kleinen Umgebungen verhalten.
Zoomt man in verschiedene Funktionen hinein so erkennt man, dass sich Funktionen einerseits lokal linear, also geradlinig oder oder andererseits nicht linear verhalten können (Aufgabe ??).
Verhält sich eine Funktion <math>f</math>um eine Stelle <math>x_0</math>lokal linear, so existiert an dieser Stelle auch die Ableitung <math>f'(x_0)</math>. {{Lösung versteckt|Da sich in einem lokal linearen Teilausschnitt des Graphen um <math>x_0</math> der Abstand zwischen <math>x_0</math> und einem <math>x_1</math> durch nähern von <math>x_1</math> an <math>x_0</math> beliebig stark verkleinern lässt, existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten und die Funktion <math>f</math> besitzt an der Stelle <math>x_0</math> eine Ableitung. |genauer erklärt|ausblenden}}
Der Graph der Linearisierung der Funktion <math>f</math>um die Stelle <math>x_0</math>ist dann die Tangente von <math>f</math>an der Stelle <math>x_0</math>.
Da sich Tangente und Funktionsgraph in einer hinreichend kleinen Umgebung kaum unterscheiden, spricht man von einer '''lokal linearen Approximation'''.
Durch diese Linearisierung der Funktion um die Stelle <math>x_0</math>lassen sich demzufolge auch andere x-Werte nähern. Diese Näherungen lassen sich wie folgt ausdrücken.


<math>f(\tilde{x})=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) </math>
==Momentane Änderungsrate==
[[Datei:Lokal lineare Approximation.png|alternativtext=|links|mini|350x350px]]
{{Box|Aufgabe 3|Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinern Sie dieses. <br /> a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest. <br /> [[/Tabelle/|zur Tabelle]]
<ggb_applet id="fmzb7fjd" width="90%" height="400" border="888888">Weg - Zeit - Kurve Porsche </ggb_applet>
b) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in [[/Aufgabe 2 b)/|diesem Applet]] durch.<br /> Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.<br />
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden? <br />
{{Lösung versteckt|Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt <math>P(3|f(3))</math> am Graphen von <math>f</math> hat. Diese Gerade nennt man Tangente.
{{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
}}|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}


d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?
{{Lösung versteckt|Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren. |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}<br />


{{Box|Aufgabe 4|Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.
{{Lösung versteckt|Nähert sich <math>x</math> einer Zahl oder einem <math>x_0</math> beliebig nahe, so schreibt man dies kurz mit: <math>\lim_{x\to x_0}</math>
|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}


Wie zu erkennen ist, setzt sich ein durch die Tangente approximierter x-Wert aus den in der Abbildung farblich gekennzeichneten Summanden zusammen. <math>r(x-x_0)</math>ist die Differenz zwischen Funktion und Tangente und lässt sich als Approximationfehler interpretieren. Je näher der approximierte x-Wert der Stelle <math>x_0</math>kommt, desto kleiner wird der Approximationsfehler und umso genauer wird die Näherung durch die Tangente. {{Lösung versteckt|kommt noch |mehr zum Approximationsfehler |ausblenden}}
{{Lösung versteckt|{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient  <math>  \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>x_1</math> gegen <math>x_0</math> strebt.<br/>
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
}} |Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

Version vom 20. August 2019, 13:56 Uhr

Info

In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als momentane Änderungsrate selbst erarbeiten. Für die Bearbeitung sollten Sie mit den Begriffen mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient vertraut sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.

Porsche 918 Spyder


Der Porsche 918 Spyder

Die folgende Tabelle zeigt den Beschleunigungsvorgang des Rennautos Porsche 918 Spyder. Die Weg - Zeit - Kurve lässt sich in diesem Intervall annähernd durch die Funktion beschreiben.

Zeit (Sekunden) Strecke (Meter)
0 0
1 4,7
2 19,6
3 45,9
4 84,8
5 137,5
6 205,2
7 289,1
8 390,4
9 510,3

Mittlere Änderungsrate

Aufgabe 1

Überlegen Sie zunächst welcher physikalischen Größe die mittleren Änderungsraten in diesem Zusammenhang zuzuordnen ist und wie man diese berechnet. Notieren Sie Ihre Lösung in ihrem Heft.

Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Änderung des Weges pro Zeiteinheit an.
Die mittlere Änderungsrate gibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit an und kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.
Aufgabe 2

Bestimmen Sie mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Porsche in den folgenden Zeitintervallen gefahren ist.

a) zwischen Sekunde 1 und 2
b) zwischen Sekunde 2 und 3
c) zwischen Sekunde 3 und 4
Überprüfe deine Ergebnisse in folgendem Applet mit Hilfe des geometrischen Zusammenhangs der mittleren Änderungsrate und der Sekantensteigung.

zum Applet
GeoGebra


Momentane Änderungsrate

Aufgabe 3

Bestimmen Sie nun näherungsweise wie schnell der Porsche nach 3 Sekunden gefahren ist. Wählen Sie hierzu ein beliebiges Zeitintervall in dem die dritte Sekunde enthalten ist und verkleinern Sie dieses.
a) Verkleinern Sie das Intervall in folgender Tabelle mindestens 5 mal und halten Sie die Tabelle schriftlich fest.
zur Tabelle

GeoGebra

b) Führe die Verkleinerung des Zeitintervalls nun erneut in diesem Applet durch.
Beschreibe die Veränderung der Sekante und des Werts der Sekante bei dieser Verkleinerung und halte dies schriftlich fest.
c) Was sind die Eigenschaften dieser neu entstandenen Geraden?

Durch die beliebig gute Näherung von T1 und T2 zur Sekunde 3, lässt sich die neu entstandene Gerade als Gerade interpretieren, die nur noch den Berührpunkt am Graphen von hat. Diese Gerade nennt man Tangente.

Tangente
Die Gerade, die den Graphen von am Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von am Punkt .

d) Als was lässt sich in diesem Kontext die Steigung dieser Geraden interpretieren?

Die Steigung dieser Geraden lässt sich nun als die momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) interpretieren.



Aufgabe 4

Nennen Sie die Vorgehensweise um einen möglichst exakten Wert für die momentane Änderungsrate zu erhalten. Zeigen Sie diese Vorgehensweise, indem Sie möglicht genau bestimmen wie schnell der Porsche nach 4 Sekunden fährt.

Nähert sich einer Zahl oder einem beliebig nahe, so schreibt man dies kurz mit:

Differentialquotient

Der Differenzenquotient kommt der momentanen Änderungsrate, also der Steigung im Punkt beliebig nahe, je näher gegen strebt.

Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient .
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung oder lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle bezeichnet.
Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen_zum_Ableitungsbegriff/Zusammenfassung_Grundvorstellungen_zum_Ableitungsbegriff&oldid=98863“