Integralrechnung/Hauptsatz und Nullstellen bestimmen: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann
 
===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}
 
 
 
{{Nullstellen bestimmen}}
 
<br>
==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt'''<br><br>
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]
|3=Arbeitsmethode}}
 


==Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung==
Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
{{Box|1=Zusammenfassung|2=
* Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.
* Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.
* Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral von <math>f(x)</math> und der Flächeninhaltsfunktion ist folgender:
<div align="center">
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>.
</div>
* Die "Flächeninhaltsfunktion" wird '''Stammfunktion''' genannt (da sie mehr als nur den Flächeninhalt angibt, vgl. spätere Anwendungen!) und sie besitzt folgenden Zusammenhang mit <math>f(x)</math>:
<div align="center">
<math>F \ '(x) = f(x)</math>
</div>
* '''Integrieren''' oder das Auffinden einer Stammfunktion oder Bildung des '''unbestimmten Integrals''' bedeutet die Umkehrung zum Differenzieren. Das unbestimmte Integral ist gleich der Stammfunktion:
<div align="center">
<math>\int f(x) \ \mathrm{d}x = F(x)</math>
</div>
* Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.
|3=Unterrichtsidee }}
<br><br>
<br><br>
Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
 
 
===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, <br>
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.
 
<br>
 
{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}
 
<br>
<br>
{{Box|1=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|2=
 
a) &nbsp; Sei <math>f</math> eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl <math>x_0 \in [a;b]</math>:
{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}
<div align="center">
 
<math>F(x) = \int \limits_{x_0}^x f(t) \ \mathrm{d}t</math>
</div>
:Dabei ist <math>F(x)</math> eine Stammfunktion zu <math>f(x)</math> und es gilt: <math>F \ '(x) = f(x)</math>.
<br><br>
b) &nbsp; Sei <math>f(x)</math> eine stetige reellwertige Funktion mit Stammfunktion <math>F(x)</math>. Dann gilt:
<div align="center">
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>
</div>
|3=Merksatz}}
<br>
<br>
Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>
 
Die obere Grenze des Integrals ist die Variable <math>x</math>. Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl <math>b</math> gegeben während die Integrationsvariable <math>x</math> ist. Zwar durchläuft <math>x</math> das ganze Intervall <math>[a;b]</math>, jedoch sind seine Werte doch i.A. von <math>b</math> verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich! <br>
{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}
Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion <math>f</math>:
 
<div align="center">
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots</math>
</div>
<br>
<br>
==Beweis des Hauptsatzes==
{|
Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm '''Beweis mit Geogebra'''] .
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. <br>Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}
 
 
<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>
 
 
'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''
 
{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}
 


{{Fortsetzung|weiter=Integrationsregeln|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}
{{Autoren|Florian Ferstl}}


[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Version vom 23. April 2022, 17:58 Uhr


Lernpfad

In diesem Lernpfad

  • lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
  • wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
  • lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
  • lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
  • lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
  • lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

Das solltest du bereits können

  • Verständnis dafür, was Nullstellen sind
  • Lineare Gleichungen lösen können
  • Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
Mathematik-digital


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Hefteintrag

Aufgabe

Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt

Lerninhalte zu Polynomfunktionen





Erklärung der verwendeten Symbole

Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig,
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.



Merke
Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. Merksätze musst du grundsätzlich immer in dein Schulheft übertragen, inklusive einer farbigen Umrahmung.



Aufgabe
Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!



Übung
Übungsaufgaben werden entweder online oder im Übungsheft bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.


Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst.
Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln! 		Zeitwächter


Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!


Beginne doch gleich mit der ersten Station!

Hier geht es los


Autoren: Florian Ferstl

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