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| {{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erkunden}}}}
| | == Beschreibung == |
| | | {{Information_ohne_UploadWizard |
| {{Box
| | |Beschreibung = Es sind einige Strukturformeln gegeben sowie eine Liste von Siedetemperaturen gegeben. Über die Polarität der Moleküle und die Masse soll versucht werden, die Siedtemperaturen zuzuordnen. Hier die Lösungen |
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| | |Quelle = Selbsterstellt |
| |In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,
| | |Urheber = [[Benutzer:B.Lachner|B.Lachner]] |
| #wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
| | |Datum = 15.4.2013 |
| #welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
| | |Genehmigung = - |
| #wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.
| | |Andere Versionen = pdf-Dokument mit gleichem Namen und das dazugehörige Arbeitsblatt in pdf und odt |
| |Kurzinfo
| | |Anmerkungen = - |
| }}
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| ==Strecken, Stauchen und Spiegeln== | |
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| {{Box | |
| |Achtung | |
| |Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|die Parameter der Scheitelpunktform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt [[#Der Parameter b|"Der Parameter b"]].
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| |Hervorhebung1
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| }}
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| {{Box
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| |1=Aufgabe 1
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| |2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | |
| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=2x^2</math>, (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math> und (3) <math>y=-x^2</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "<math>a=</math>" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=a \cdot x^2</math> verändert.
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| <ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
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| {{Lösung versteckt|Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''schmaler''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor 2 immer verdoppelt werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch größer.
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| | |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''breiter''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor 1/2 immer halbiert werden. Der zugehörige y-Wert wird dadurch kleiner.
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| | |
| 3. Die Parabel von Funktion (3) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''"umgedreht"''', da die quadrierten x-Werte (<math>x^2</math>) durch den Vorfaktor -1 immer negative Werte annehmen. Der y-Wert ist also immer negativ.}}|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Aufgabe 2
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| |In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.
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| {{LearningApp|app=pysv88tea18|height=400px}}
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| {{Lösung versteckt|1=Schau nochmal in deine Lösung zu Aufgabe 1. Du kannst auch erneut verschiedene Werte für a in dem Applet dort eingeben und die Auswirkungen auf den Graphen betrachten.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| | |
| {{Lösung versteckt|Wenn a kleiner Null ist (<math>a<0</math>), dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
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| Wenn a größer Null ist (<math>a>0</math>), dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
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| | |
| Wenn a zwischen minus Eins und Eins liegt (<math>-1<a<1</math>), dann wird der Graph der Funktion breiter. Man nennt das auch eine gestauchte Parabel.
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| | |
| Wenn a kleiner als minus Eins (<math>a<-1</math>) oder größer als Eins ist (<math>a>1</math>), dann wird der Graph der Funktion gestreckt. Er ist somit schmaler als die Normalparabel.}}|Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 3
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| |'''Knobelaufgabe'''
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| Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.
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| {{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 4|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| | |
| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| | |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| | |
| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
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| | |
| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
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| | |
| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| | |
| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| ==Der Parameter b==
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| {{Box
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| |Aufgabe 5
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3x</math>, (2) <math>y=x^2-3x</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3= Hilfe verbergen}}
| |
| | |
| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| | |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für <math>b=</math> eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+b \cdot x</math> verändert.
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| | |
| <ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="MyuG9D2b" />
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| {{Lösung versteckt|1=Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach links und unten verschoben''', da zu dem quadrierten x-Wert (<math>x^2</math>) ein weiterer Term mit x '''addiert''' wird.
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| | |
| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist im Vergleich zu der Normalparabel '''nach rechts und unten verschoben''', da ein Term mit x von dem quadrierten x-Wert (<math>x^2</math>) '''subtrahiert''' wird.
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| Der Parameter <math>a</math> ist in beiden Fällen positiv mit <math>a=1</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 6
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11-12) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221_640.jpg|rahmenlos|80x80px]].
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| | |
| '''a)'''
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| {{LearningApp|app=pyf382e7a17|width=100%|height=500px}}
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| {{Lösung versteckt|1=Wie sieht der Graph aus: Ist er nach oben oder nach unten geöffnet? Nach rechts oder nach links verschoben?
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| | |
| Wende dein Wissen über die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> an.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}
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| '''b)''' Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.
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| '''c)''' Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.
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| {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Beispiel-Tipp Pferderennen.PNG|rahmenlos|600px|Parameter b]]|2=Beispiel Tipp anzeigen|3=Beispiel Tipp verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 7|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt: | |
| | |
| <u>Für '''a>0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
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| | |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
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| | |
| <u>Für '''a<0:'''</u>
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| | |
| '''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
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| | |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
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| |Merksatz | |
| }}
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| ==Der Parameter c== | |
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| {{Box
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| |Aufgabe 8
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| |'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
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| ::(1) <math>y=x^2+3x+2</math>, (2) <math>y=x^2+3x-2</math> ?
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| | |
| '''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
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| | |
| {{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}
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| '''b)''' Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
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| | |
| In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math> grau eingezeichnet, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für <math>c=</math> eingeben. Dadurch wird der grüne Graph <math>g(x)=x^2+3 \cdot x+c</math> verändert.
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| | |
| <ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="uV5keF5j" />
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| {{Lösung versteckt|1=Richtige Vermutungen können wie folgt lauten:
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| Durch Aufgabe 5 ist klar, dass die Parabel von Funktion (1) nach links und unten verschoben ist (siehe oben, Parameter b).
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| 1. Die Parabel von Funktion (1) ist zusätzlich wieder '''nach oben verschoben''', da noch ein weiterer Term '''addiert''' wird (<math>c=2</math>).
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| 2. Die Parabel von Funktion (2) ist zusätzlich '''nach unten verschoben''', da noch ein weiterer Term '''subtrahiert''' wird (<math>c=-2</math>).
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| Der Wert von c gibt immer den '''y-Achsenabschnitt''' an.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box
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| |Aufgabe 9
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| |'''Welchen Wert hat der Parameter c?''' Trage deine Lösung wie in dem '''Beispiel''' ein:
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| ::[[Datei:Beispiel Parameter c.PNG|rahmenlos|150px|Beispiel]]
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| {{LearningApp|app=p8zh59fa317|width=100%|height=700px}}
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| {{Lösung versteckt|1=Der Paramter <math>c</math> gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt <math>P(0|c)</math> ablesen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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| |Arbeitsmethode
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| }}
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| {{Box|1=Aufgabe 10|2='''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
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| Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
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| | |
| '''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
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| | |
| '''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
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| |Merksatz
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| }} | | }} |
| | == Lizenz == |
| | {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}} |
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| | | [[Kategorie:Arbeitsblatt]] |
| | | [[Kategorie:Schüler-Aktivitäten]] |
| ==Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte==
| | [[Kategorie:Lewisschreibweise]] |
| | | [[Kategorie:Polarität]] |
| {{Box
| | [[Kategorie:Elektronegativität]] |
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| | [[Kategorie:Chemie]] |
| |Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind, noch einmal gesammelt dargestellt.
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| |Kurzinfo
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:
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| | |
| '''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
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| | |
| '''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
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| | |
| '''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
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| | |
| '''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.
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| Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
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| |Merksatz
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| }}
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| {{Box
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| |Merke
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| |Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
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| | |
| <u>Für '''a>0:'''</u>
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| '''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
| |
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| '''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
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| | |
| <u>Für '''a<0:'''</u>
| |
| | |
| '''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
| |
| | |
| '''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
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| |Merksatz
| |
| }}
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| {{Box
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| |Merke
| |
| |Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
| |
| | |
| '''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
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| | |
| '''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
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| |Merksatz
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| }}
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| [[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]] | |
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| Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=ax^2+bx+c</math>. Diese Form heißt '''Normalform'''.
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| Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Normalform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].
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| {{Fortsetzung|weiter=Die Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform}}
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| Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
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| [[Kategorie:Mathematik]] | |
| [[Kategorie:Quadratische Funktion]] | |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]] | |
| [[Kategorie:LearningApps]] | |
| [[Kategorie:GeoGebra]] | |
3.0
