Lineare Funktionen/Station 2 und Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erforschen}}}}


__NOTOC__
{{Box
== Steigung einer Geraden  ==
|
[[Datei:Steigung 01.png|left|180px|Steigung einer Gerade]]
|In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du Experte für die '''Scheitelpunktform''' quadratischer Funktionen. Du kannst
In Station 1 hast du dir noch einmal bewusst gemacht, dass Geraden im Koordinatensystem unterschiedlich steil verlaufen können.
#selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren,
 
#in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast, und
Wie steil eine Gerade verläuft, gibt die sogenannte '''Steigung der Geraden''' an.
#abschließend in Partnerarbeit Flugkurven in verschiedenen Sportarten untersuchen.  
 
|Kurzinfo
Wie du ebenfalls in Station 1 gesehen hast, enthält die Steigung einer Geraden wichtige Informationen darüber, wie schnell bzw. wie stark sich Größen in einer betrachteten Situation ändern.
}}
 
 
 
'''In dieser Station lernst du, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen und Geraden mit einer gewünschten Steigung zeichnen kann.'''


{{Box
|Aufgabe 1
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|right|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


=== 2.1 Fürs Gefühl ===
Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
Folgende App soll dir helfen, zunächst ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der Wert der Steigung mit der Lage der Geraden zusammenhängt.  


{{Box|Wie geht das?|
<ggb_applet width="100%" height="610" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="cDyjWjkp" />
Bewege den Schieberegler um die Steigung der Geraden zu verändern. Beobachte genau, wie zu einem Wert der Steigung die Gerade im Koordinatensystem verläuft! Wenn du fertig bist, scrolle nach unten, dann geht es weiter im Lernpfad.
|Hervorhebung1}}
<center><span> </span>
<span></span><div id="ggbContainerda03f9e1a1f2d3cde33fd334432cf491"></div><span></span></center>
Überprüfe, ob du die richtigen Erkenntnisse gezogen hast!


<center>{{LearningApp|app=pi5g2shxc01|width=70%|height=370px}}</center>
{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.


== 2.2 Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden? ==
{{{!}} class="wikitable"
Nachdem du nun erfahren hast, wie der Wert der Steigung und die Lage einer Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen, stellt sich jetzt die Frage, wie man denn den Wert der Steigung bestimmen kann!
{{!}}-
 
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
{{Box-spezial
{{!}}-
|Titel= Frage
{{!}} Angry Birds {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> {{!}}{{!}} -0.15 ≤ a ≤ -0.13 {{!}}{{!}} 6.80 ≤ d ≤ 7.20 {{!}}{{!}} 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|Inhalt= [[Datei:Verkehrsschild Steigung.png|150px|right|Steigung von 100%]]
{{!}}-
Dein Cousin zeigt dir auf seinem Smartphone das unten dargestellte Foto.  
{{!}} Golden Gate Bridge {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> {{!}}{{!}} 0.03 ≤ a ≤ 0.05 {{!}}{{!}} 5.00 ≤ d ≤ 6.40 {{!}}{{!}} 0.80 ≤ e ≤ 1.10
Er behauptet: "Diesen Berg bin ich gestern mit meinem Mountainbike hochgefahren!"
{{!}}-
Was sagst du dazu?  Wie stehst du zur Aussage deines Cousins?
{{!}} Springbrunnen {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> {{!}}{{!}} -0.40 ≤ a ≤ -0.30 {{!}}{{!}} 4.70 ≤ d ≤ 5.00 {{!}}{{!}} 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|Farbe=   #cccccc     
{{!}}-
|Icon= {{Icon question}}    
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen links) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> {{!}}{{!}} 0.33 ≤ a ≤ 0.47 {{!}}{{!}} 2.40 ≤ d ≤ 2.60 {{!}}{{!}} 4.25 ≤ e ≤ 4.40
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen mitte) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> {{!}}{{!}} 0.30 ≤ a ≤ 0.36 {{!}}{{!}} 5.70 ≤ d ≤ 6.00 {{!}}{{!}} 3.20 ≤ e ≤ 3.60
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen rechts) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> {{!}}{{!}} 0.18 ≤ a ≤ 0.27 {{!}}{{!}} 9.30 ≤ d ≤ 9.50 {{!}}{{!}} 3.55 ≤ e ≤ 3.65
{{!}}-
{{!}} Gebirgsformation {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> {{!}}{{!}} -0.30 ≤ a ≤ -0.10 {{!}}{{!}} 5.10 ≤ d ≤ 5.70 {{!}}{{!}} 2.10 ≤ e ≤ 2.50
{{!}}-
{{!}} Motorrad-Stunt {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> {{!}}{{!}} -0.10 ≤ a ≤ -0.04 {{!}}{{!}} 7.30 ≤ d ≤ 8.10 {{!}}{{!}} 5.70 ≤ e ≤ 6.20
{{!}}-
{{!}} Basketball {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> {{!}}{{!}} -0.35 ≤ a ≤ -0.29 {{!}}{{!}} 6.20 ≤ d ≤ 6.80 {{!}}{{!}} 6.20 ≤ e ≤ 6.70
{{!}}}
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}}
|Arbeitsmethode
}}
}}


<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="box arbeitsmethode">
Mein Cousin ... (!...ist ein großer Lügner!) (...fährt oft Mountainbike, schon möglich, dass er so einen Berg raufgekommen ist.) (!... wäre höchstens da raufgekommen, wenn er geklettert wäre!)
== Aufgabe 1 ==
</div>
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|right|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.


<ggb_applet width="100%" height="610" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="cDyjWjkp" />


Um das Verkehrsschild zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, '''wie denn eine Steigung überhaupt festgelegt''' ist.  
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Lösungsvorschläge anzeigen" data-collapsetext="Lösungsvorschläge verbergen">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.


{{Box|Aufgabe 4|Betrachte die "versteckte" Grafik.
{| class="wikitable"
'''Erkläre in einem Satz''', was eine Steigung von 100% ausdrückt und notiere diesen Satz in dein '''Schulheft'''.
|-
|Arbeitsmethode}}
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
{{Lösung versteckt|[[Datei:Steigung_Straße.png|600px|center|Steigung]]|Grafik anzeigen|Grafik verstecken}}
|-
 
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
 
|-
Die Steigung von Geraden bestimmt man allgemein genauso wie die Steigung von Straßen, nämlich mithilfe von '''Steigungsdreiecken.'''
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
 
|-
 
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
Um das genauer zu erforschen, bearbeite bitte folgende App:
|-
 
| Elbphilharmonie (Bogen links) || <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
{{Box|Wie geht das?|
|-
#Bewege die Punkte P und Q auf der Geraden. Beobachte, wie sich der Quotient zur Berechnung der Steigung dabei verändert.  
| Elbphilharmonie (Bogen mitte) || <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
#Verändere mit dem Schieberegler die Steigung der Geraden und versuche das Steigungsdreieck so einzustellen, dass die Koordinaten der Punkte P und Q gut abzulesen sind.|Hervorhebung1}}
 
<center><span> </span>
<span></span><div id="ggbContainer20d3addd93ff79e573a51cd0dabedcb8"></div><span></span></center>
 
[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|150px|Untersuchen]]
 
'''Prüfe dich!'''
<div class="multiplechoice-quiz">
Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte P und Q auf der Geraden liegen.) (Je größer <math>\Delta y</math> bei gleichem <math>\Delta x</math> ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)
</div>
 
{{Box|1=Merke|2=
Die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines '''Steigungsdreiecks'''.
*Wähle zwei ''beliebige'' Punkte P und Q auf der Geraden aus, am besten so, dass man die Koordinaten gut ablesen kann.
*Lege das Steigungsdreieck in diesen Punkten an die Gerade an.
*Berechne die Steigung m:
<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
 
 
'''Unterscheide drei Fälle''':
{{3Spalten|
<math>m>0 </math> Gerade steigt nach rechts an
[[Datei:Steigung positiv.png|200px|Steigung positiv]]
|
<math>m=0 </math> Gerade parallel zur x-Achse
[[Datei:Steigung Null.png|200px|Steigung Null]]
|
<math>m<0</math> Gerade fällt nach rechts ab
[[Datei:Steigung negativ.png|200px|Steigung negativ]]
}}
|3=Merksatz}}
 
 
 
{{Box|Aufgabe|Übernimm bitte auch folgende Beispiele in dein Schulheft!|Arbeitsmethode}}
<div style="  border: 2px solid darkred; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
<br>
{|
|'''Beispiel 1'''
|
|'''Beispiel 2'''
|-
|-
|[[Datei:Steigungsdreieck.png|350px|left|Steigung]]
| Elbphilharmonie (Bogen rechts) || <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
| style="text-align:center; width:100px" |
|[[Datei:Steigungsdreieck negativ.png|310px|left|Steigung]]
|-
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{3 - 1}{6 - 2}=\frac{2 }{4}=0,5</math>
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{-6 - (-2)}{3 - 1}=\frac{-4}{2}=-2</math>
|-
|-
| style="height:80px" | oder
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|
|
|-
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q_1} - y_{P_1}}{x_{Q_1} - x_{P_1}}=\frac{5 - 4}{10 - 8}=\frac{1 }{2}=0,5</math>
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|
|
|}
|}
</div>
</div></div>




{{Box|Aufgabe|Schätze doch mal ab, wie groß die Steigung war, die dieser Audi Quattro vor 30 Jahren bereits erkommen hat!
{{Box
|Arbeitsmethode}}
|Aufgabe 2
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|right|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


<center>{{#evu:https://www.youtube.com/watch?v=3YJ1Nchw_v4|dimensions=500}}</center>
Denke dir eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aus. Notiere den Term und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen im Koordinatensystem an. Zur Kontrolle kannst du das oben stehende GeoGebra-Applet nutzen.
|Arbeitsmethode
}}


{{Lösung versteckt|Die Steigung betrug 80% oder 0,8!|tatsächlicher Wert|verstecken}}
{{Box
|Merke
|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>.
|Merksatz}}


{{Box
|Aufgabe 3
|Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Situationen) quadratischer Funktionen. Hier kannst du dir für die drei Darstellungsarten zum Thema Basketball ein Beispiel anzeigen lassen.


{{Lösung versteckt|[[Bild:Quadratische Funktionen beim Basketball.png|800px]]
|anzeigen|verbergen}}


{{Box|Übung 4|Wie groß ist die Steigung?|Üben}}


Führe die Übung in der App durch. '''Notiere deine Überlegungen und Berechnungen ins Übungsheft!!'''<nowiki>}}</nowiki>
'''a)''' Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.


In der App musst du Dezimalzahlen nicht mit Komma, sondern''' mit Punkt eintragen'''! Wenn es dir hilft, kannst du die Darstellungen auch in dein Heft übernehmen, um dort das Steigungsdreieck einzuzeichnen.
{{LearningApp|app=pozha6j7n16|width=70%|height=500px}}


<center><span> </span>
<span></span><div id="ggbContainer0ebc7da55ff88013256191c7d4f2b119"></div><span></span></center>


<div class="grid">
'''b)''' Die Lösungsübersicht am Ende verrät dir, wie viel Prozent du erreicht hast. Wenn du dich noch nicht sicher genug im Umgang mit den verschiedenen Darstellungsarten fühlst, kannst du das Quiz gerne erneut durchführen.  
<div class="width-1-6">[[Datei:Question-mark-1019922 1920.jpg|200px|Fragen über Fragen]]</div>
|Arbeitsmethode
<div class="width-5-6">Hast du '''Probleme''' zu verstehen, wie man die Steigung bestimmt'''?''' Dann kannst du hier <br>[http://ggbtu.be/m2061805 <u>hier</u>] die Steigungsbestimmung nochmal Schritt für Schritt nachzuvollziehen! <br>
}}
'''Keine Probleme?''' Dann kannst du einfach weitermachen! :)] </div>
</div>


{{Box
|Aufgabe 4
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|right|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|110px|rahmenlos|right|Partnerarbeit]].


== 2.3 Zeichnen einer Geraden unter Ausnutzung der Steigung ==
'''a)''' Überlege dir - ohne deinem Partner zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine quadratische Funktion näherungsweise modelliert werden kann. Notiere den Term (sowie die Maßeinheit) in deinem Hefter. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der umgehehrten Fragestellung:


{{Box-spezial
{{Lösung versteckt|Der folgende vierschrittige Lösungsplan kann dir helfen zu einer guten Funktion zu gelangen.
|Titel= Frage
#Stelle dir deine ausgewählte Sportart genau vor. Wie weit und wie hoch fliegt z.B. der Ball? Wo findet ein Abschlag o.ä. statt und wo landet der Ball? Eine beschriftete Skizze kann dir helfen.
|Inhalt= Überlege: Wie kannst du deine Kenntnisse nutzen, um eine Ursprungsgerade mit vorgegebener Steigung zu zeichnen, ohne dass du erste eine Wertetabelle anlegen musst?
#Was bedeuten die realen Annamhmen für deine Funktion? Wo liegen die Schnittpunkte und der Scheitelpunkt?
#Finde mithilfe von Rechnungen oder des GeoGebra-Applets geeignete Parameter für deine Funktion. Notiere dann den Funktionsterm.
4. Überlege, ob deine Funktionsgleichung wirklich geeignet ist, um die Flugkurve deiner im 1. Schritt gewählten Sportart zu modellieren.
|Hilfe|verbergen}}


'''Beispiel:''' Zeichne eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math>!
{{Lösung versteckt|
Gehe ganz grob umgekehrt vor wie oben:
# Du musst zunächst einen Punkt kennen, der auf der Geraden liegt (Tipp: Ursprungsgerade!)
# Da die Steigung gegeben ist, kennst du <math>\Delta x</math> und <math>\Delta y</math>.
# Damit kannst du vom gegebenen Punkt aus das Steigungsdreieck zeichnen und erhältst so einen zweiten Punkt.
# Da eine Gerade durch zwei Punkte festgelegt ist, musst du jetzt nur noch die beiden Punkte verbinden.
|Idee Anzeigen|Idee Verbergen}}
Du hast die Idee nicht verstanden? Kein Problem, in diesem Fall kannst du es dir [http://ggbtu.be/m2062563 hier] nochmal ausführlich erklären lassen!
|Farbe=  #cccccc     
|Icon= {{Icon question}}   
}}


'''b)''' Tausche nun deinen Term mit deinem Partner aus. Überlege, welche Sportart durch den Funktionsterm  beschrieben werden könnte. Zur Hilfe kannst du erneut das GeoGebra-Applet oder die Hilfe nutzen. <br />


'''c)''' Vergleicht, inwieweit ihr die von eurem Partner gemeinte Sportart erkannt habt. Diskutiert warum die Terme genau diese Sportarten beschreiben beziehungsweise inwiefern die Terme nicht eindeutig sind.
|Arbeitsmethode
}}


{{Box|Aufgabe 5|*Zeichne in deinem Schulheft eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math> in ein Koordinatensystem ein.
<ggb_applet width="100%" height="610" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="zy2M28MS" />
*Schreibe in deinen eigenen Worten stichpunktartig auf, wie du '''allgemein''' vorgehen musst. Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du dir die "Idee" oben anzeigen lassen.|Arbeitsmethode}}
{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Normalform}}




Wenn du nicht sicher bist ob deine Lösung stimmt vergleiche mit folgendem Beispiel:
'''
<ggb_applet id="RAYbEfNH" width="100%" height="450" border="888888" />
Erstellt von: --[[Benutzer:Carsten|Carsten]] ([[Benutzer Diskussion:Carsten|Diskussion]]) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)


Bearbeitet von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])


{{Fortsetzung|weiter=Aufgaben zur Station 2|weiterlink=/Übung}}
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,ZUM.de,OER,Lernpfad,Lineare Funktionen,Lineare Funktion</metakeywords>
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApp]]
[[Kategorie:Learning-App]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
__NOEDITSECTION__

Version vom 16. November 2018, 22:29 Uhr


In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du Experte für die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen. Du kannst

  1. selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren,
  2. in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast, und
  3. abschließend in Partnerarbeit Flugkurven in verschiedenen Sportarten untersuchen.


Aufgabe 1
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9)
Notizblock mit Bleistift
.

Finde Werte für a, d und e, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

GeoGebra

Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild Lösungsvorschlag Parameter a Parameter d Parameter e
Angry Birds -0.15 ≤ a ≤ -0.13 6.80 ≤ d ≤ 7.20 4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge 0.03 ≤ a ≤ 0.05 5.00 ≤ d ≤ 6.40 0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen -0.40 ≤ a ≤ -0.30 4.70 ≤ d ≤ 5.00 5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links) 0.33 ≤ a ≤ 0.47 2.40 ≤ d ≤ 2.60 4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte) 0.30 ≤ a ≤ 0.36 5.70 ≤ d ≤ 6.00 3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts) 0.18 ≤ a ≤ 0.27 9.30 ≤ d ≤ 9.50 3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation -0.30 ≤ a ≤ -0.10 5.10 ≤ d ≤ 5.70 2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt -0.10 ≤ a ≤ -0.04 7.30 ≤ d ≤ 8.10 5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball -0.35 ≤ a ≤ -0.29 6.20 ≤ d ≤ 6.80 6.20 ≤ e ≤ 6.70

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9)
Notizblock mit Bleistift
.

Finde Werte für a, d und e, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

GeoGebra

Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild Lösungsvorschlag Parameter a Parameter d Parameter e
Angry Birds -0.15 ≤ a ≤ -0.13 6.80 ≤ d ≤ 7.20 4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge 0.03 ≤ a ≤ 0.05 5.00 ≤ d ≤ 6.40 0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen -0.40 ≤ a ≤ -0.30 4.70 ≤ d ≤ 5.00 5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links) 0.33 ≤ a ≤ 0.47 2.40 ≤ d ≤ 2.60 4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte) 0.30 ≤ a ≤ 0.36 5.70 ≤ d ≤ 6.00 3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts) 0.18 ≤ a ≤ 0.27 9.30 ≤ d ≤ 9.50 3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation -0.30 ≤ a ≤ -0.10 5.10 ≤ d ≤ 5.70 2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt -0.10 ≤ a ≤ -0.04 7.30 ≤ d ≤ 8.10 5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball -0.35 ≤ a ≤ -0.29 6.20 ≤ d ≤ 6.80 6.20 ≤ e ≤ 6.70


Aufgabe 2
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 3)
Notizblock mit Bleistift
.

Denke dir eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aus. Notiere den Term und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen im Koordinatensystem an. Zur Kontrolle kannst du das oben stehende GeoGebra-Applet nutzen.


Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten .


Aufgabe 3

Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Situationen) quadratischer Funktionen. Hier kannst du dir für die drei Darstellungsarten zum Thema Basketball ein Beispiel anzeigen lassen.

Quadratische Funktionen beim Basketball.png


a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.



b) Die Lösungsübersicht am Ende verrät dir, wie viel Prozent du erreicht hast. Wenn du dich noch nicht sicher genug im Umgang mit den verschiedenen Darstellungsarten fühlst, kannst du das Quiz gerne erneut durchführen.


Aufgabe 4
Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9) und einen Partner
Notizblock mit Bleistift
Partnerarbeit
.

a) Überlege dir - ohne deinem Partner zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine quadratische Funktion näherungsweise modelliert werden kann. Notiere den Term (sowie die Maßeinheit) in deinem Hefter. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.

Der folgende vierschrittige Lösungsplan kann dir helfen zu einer guten Funktion zu gelangen.

  1. Stelle dir deine ausgewählte Sportart genau vor. Wie weit und wie hoch fliegt z.B. der Ball? Wo findet ein Abschlag o.ä. statt und wo landet der Ball? Eine beschriftete Skizze kann dir helfen.
  2. Was bedeuten die realen Annamhmen für deine Funktion? Wo liegen die Schnittpunkte und der Scheitelpunkt?
  3. Finde mithilfe von Rechnungen oder des GeoGebra-Applets geeignete Parameter für deine Funktion. Notiere dann den Funktionsterm.

4. Überlege, ob deine Funktionsgleichung wirklich geeignet ist, um die Flugkurve deiner im 1. Schritt gewählten Sportart zu modellieren.


b) Tausche nun deinen Term mit deinem Partner aus. Überlege, welche Sportart durch den Funktionsterm beschrieben werden könnte. Zur Hilfe kannst du erneut das GeoGebra-Applet oder die Hilfe nutzen.

c) Vergleicht, inwieweit ihr die von eurem Partner gemeinte Sportart erkannt habt. Diskutiert warum die Terme genau diese Sportarten beschreiben beziehungsweise inwiefern die Terme nicht eindeutig sind.

GeoGebra


Erstellt von: --Carsten (Diskussion) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)

Bearbeitet von: Elena Jedtke (Diskussion)