Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion und Quadratische Funktionen erforschen/Quadratische Funktionen kennenlernen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Elena Jedtke
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==Die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math>==
 
Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe. <br>
{{Quadratische Funktionen erforschen}}
Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen. <br>
 
Neben dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall <math>[a; b]</math> abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze <math>b</math> ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und '''Funktionswert''' abgebildet. <br>
 
{{Aufgaben-M|6|
__TOC__
# Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der ''Flächeninhaltsfunktion'' <math>F(x)</math>.
 
# Versuche, die Funktionsvorschrift von <math>F(x)</math> zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten <math>b</math> und <math>F</math> angegeben.
 
}}
==Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt? ==
<br>
 
<div align="center">
Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein [https://vierecke.wordpress.com/quadrat/information/ Quadrat] ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="flaechen_fkt.ggb" />
</div>
Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.
<br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen [http://www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_quadrat.htm Flächeninhalt]:
<math>F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3</math>. <br>
::: [[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]
An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor <math>\frac{1}{3}</math> ist.
 
}}}}
:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>
<br>
 
{{Aufgaben-M|7|
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:
Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann!
:::{| class="wikitable float left"
}}
|- style="background-color:#FFFFFF"
<br>
!  style="width:7em"|Seitenlänge !!  style="width:7em"|Fläche
<div align="center">
 
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="integral_wert.ggb" />
|-
</div>
|style="text-align:center"|1 cm ||style="text-align:center"| 1 cm<sup>2</sup>
<br>
 
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
|-
Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. <br>
|style="text-align:center"|2 cm || style="text-align:center"|4 cm<sup>2</sup>
<math>\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>
|-
}}}}
|style="text-align:center"|3 cm || style="text-align:center"|9 cm<sup>2</sup>
<br>
|-
Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende
|style="text-align:center"|4 cm || style="text-align:center"|16 cm<sup>2</sup>
{{Frage|
|}
Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion?
 
}}
Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
<br><br><br>
:::{| class="wikitable"
<div align="center">
|- style="background-color:#FFFFFF"
[[Benutzer:Dickesen/Integral5|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen|Home]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen/Integral6a|>>Weiter>>]]
!style="width:7em"|  x !!  style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
</div>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
|-
|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16
|}
 
==Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?==
 
{{Aufgaben|1|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
 
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.}}
 
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
!style="width:7em"|  x !!  style="width:7em"|y = x<sup>2</sup>
|-
|style="text-align:center"|1 ||style="text-align:center"| 1
|-
|style="text-align:center"|2 ||style="text-align:center"| 4
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|style="text-align:center"|3 ||style="text-align:center"| 9
|-
|style="text-align:center"|4 || style="text-align:center"|16
|}
 
Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
<popup name="Lösungen von Lucio, Merle und Fabian">
 
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1500px|Lösungen]]</popup>
 
 
 
{| {{Bausteindesign6}}
|Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?
|}
 
 
 
{{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
 
Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?
 
 
Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
 
 
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|750px|Diskussion]]
 
<popup name="Lösung">Merles Lösung ist richtig.
Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.</popup>}}
 
 
==Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:==
 
Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.
 
 
{{Aufgaben|3|
 
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.}}
 
 
{{Merke-blau|
* Der Term
 
::<math>y = x^2</math> &nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp; <math>f(x)=x^2</math>
 
:beschreibt die einfachste quadratische Funktion.  
* Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
::[[Datei:Normalparabel grün.png|rahmenlos|mittig|300px|Normalparabel]]
* Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S(0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.}}
 
 
 
[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Scheitelpunktform]]  
 
 
 
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Version vom 19. April 2018, 07:58 Uhr

Quadratische Funktionen erforschen

< Mathematik-digital



Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt?

Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.

Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.

Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:

Fläche 1
A = 1 cm ⋅ 1 cm = 12 cm2= 1 cm2

Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:

Seitenlänge Fläche
1 cm 1 cm2
2 cm 4 cm2
3 cm 9 cm2
4 cm 16 cm2

Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A = x2. Den Flächeninhalt kannst du als Funktion von x ansehen und f(x) = x2 oder y = x2 schreiben. Fläche x^2

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) Notizblock mit Bleistift.

a) Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.

b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.


x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt. <popup name="Lösungen von Lucio, Merle und Fabian">

Lösungen</popup>


Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?



Aufgabe 2
{{{2}}}


Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:

Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y = x2. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


Aufgabe 3


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) Notizblock mit Bleistift.

Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.


Vorlage:Merke-blau


Pfeil Hier geht's weiter.png




Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

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