Quadratische Funktionen/Kapitel 2: Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform und Quadratische Funktionen/Kapitel 3: Die Normalform "f(x) = x² + bx + c": Unterschied zwischen den Seiten

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< Quadratische Funktionen(Unterschied zwischen Seiten)
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{{Box|1='''Die Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"   -  Die Scheitelpunktsform'''|2=
{{Box|1=Die Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"|2=


'''In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''


In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad
Folgendes Punkte wirst du kennenlernen:
 
*Wie komme ich von der Scheitelpunkts- zur Normalform?
*Wie komme ich von der Normal- zur Scheitelpunktsform?


*Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor
*Aufgaben zum Parameter y<sub>s</sub>
*Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor
*Aufgaben zum Parameter x<sub>s</sub>
*Zusammenführung der Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zur Scheitelpunktsform
*Aufgaben zur Scheitelpunktsform
|3=Lernpfad}}
|3=Lernpfad}}


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Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion '''"f(x) = x<sup>2</sup>"''' kennengelernt.  
Im letzten Lernpfad hast du die '''Scheitelpunktsform "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''. Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform und von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.  


In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei zusätzlichen Parametern beschäftigen.


Bevor wir beginnen, soll zunächst noch ein neuer Begriff eingeführt werden, da dieser später häufiger verwendet wird.
==STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform==
<br>
<br>
{{Box|1=Normalparabel|2=
Die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>"''' ist eine spezielle Parabel. Von ihr ausgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb '''Normalparabel'''
|3=Merksatz}}


Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der '''Scheitelpunktsform "f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' und der '''Normalform "f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"'''.


==STATION 1: Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor==
Die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform ist nicht besonders schwer.
 
<br>
 
Zunächst betrachten wir den Parameter y<sub>s</sub>, welcher zur quadratischen Funktion '''"f(x) = x<sup>2</sup>"''' dazuaddiert wird.
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
                                    '''f(x) = x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>'''
 
 
Bearbeite die kommenden Aufgaben und entdecke die Eigenschaften vom Parameter y<sub>s</sub>!
 
'''Hinweis:'''


*In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt und die von y<sub>s</sub> abhängige, quadratische Funktion blau eingezeichnet
{{Box|1=Von der Scheitelpunktsform zur Normalform|2=
Du hast die Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - 4)<sup>2</sup> + 5"''' gegeben.
Diese Form soll nun durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme <br>
auf die Form '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' gebracht werden.


Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!|3=Arbeitsmethode}}


{{Box|1=Der Parameter y<sub>s</sub>|2=
'''„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:'''


<ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" id="ehvg9da6" />
Bediene den Schieberegler y<sub>s</sub>. Welche Veränderungen stellst du fest?
<br>
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
Der Parameter y<sub>s</sub> '''verschiebt''' die Normalparabel auf der '''y-Achse'''. Dabei bleibt die verschobene Parabel '''kongruent''' zur Normalparabel. <br>
{|
Ist der Parameter y<sub>s</sub> positiv, so wird die Parabel um y '''Einheiten''' in Richtung der y-Achse nach '''oben''' verschoben. <br>
|-
Ist der Parameter y<sub>s</sub> hingegen '''negativ''', so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der '''y-Achse''' nach '''unten''' verschoben. <br>
| ||<u> Verfahren  </u>||<u>  Beispiel  </u>
Der '''Scheitelpunkt''' der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt '''S[0,y<sub>s</sub>]'''. Zudem ist die y-Achse die '''Symmetrieachse''' der Parabel.  
|-
               
|1.||y<math>=</math>||<strong> [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> </strong> <br>
|-
|2.||y<math>=</math>||<strong> [x - 4]<sup>2</sup> + 5 </strong> <br>
|-
|3.||y<math>=</math>||<strong> [x<sup>2</sup> - 8x + 16] + 5 </strong> <br>
|-
|4.||y<math>=</math>||<strong> x<sup>2</sup> - 8x + 21 </strong> <br>
|-  
|5.||y<math>=</math>||<strong> x<sup>2</sup> + bx + c  </strong> <br>
|}
</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}


 
{{Box|1=Die Normalform|2=
{{Box|1=Der Parameter y<sub>s</sub>|2=
Die Normalform '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' entsteht aus der Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' durch '''"Ausmultiplizieren"''' und '''"Zusammenfassen"''' der Terme. <br>
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>x² + y<sub>s</sub>"''' gilt: 
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der y-Achse
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel
* Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung um y Einheiten nach '''oben'''
* Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung um y Einheiten nach '''unten'''  
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S (0, y<sub>s</sub>)'''
* Die y-Achse ist '''Symmetrieachse'''
|3=Merksatz}}
|3=Merksatz}}




Es folgen nun Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
==STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform==
 
 
==STATION 2: Aufgaben zum Parameter y<sub>s</sub> - zum Vertiefen==
 
{{Box|1=Ordne zu!|2=
 
Du siehst hier fünf verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>".
Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. Falls du Probleme hast, betrachte nochmals die Veränderungen des oben aufgeführten Graphen.
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} [[Bild:Parabele1.png|150px]]  {{!}}{{!}}  [[Bild:Parabele2.png|150px]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabele3.png|150px]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabele4.png|150px]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabele5.png|150px]]
{{!}}-
{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2,5 </strong>  {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 1,5 </strong> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3,5 </strong> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 0,5 </strong>
{{!}}}
</div>
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
 
 
{{Box|1=Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt zu!|2=Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!


<div class="lueckentext-quiz">


{{{!}}
Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!
{{!}}-
{{!}} <math>S(0 \vert 4,7)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 4,7 </strong> <br/>
{{!}}-
{{!}} <math>S(0 \vert -23)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 23 </strong> <br/>
{{!}}-
{{!}} <math>S(0 \vert -2,5)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2,5  </strong> <br/>
{{!}}-
{{!}} <math>S(0 \vert 0)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup>  </strong> <br/>
{{!}}-
{{!}} <math>S(0 \vert 13)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 13    </strong>
{{!}}}
</div>|3=Arbeitsmethode}}


In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat.
Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.


{{Box|1=Ordne den Scheitelpunkten die richtige Funktion zu!|2=
Bei der Normalform "f(x) = x<sup>2</sup> + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen
deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.


Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.
Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich '''quadratische Ergänzung''' und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.  


<div class="lueckentext-quiz">
Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.<br>
 
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 5,2 {{!}}{{!}} <strong> S[0,5,2]  </strong> <br> 
{{!}}-
{{!}}  y<math>=</math> 3 + x<sup>2</sup>  {{!}}{{!}} <strong> S[0,3] </strong>
{{!}}-
{{!}}  y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3 {{!}}{{!}} <strong> S[0,-3] </strong> <br>
{{!}}-
{{!}}  y<math>=</math> x<sup>2</sup> {{!}}{{!}} <strong> S[0,0] </strong> <br>
{{!}}}
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Ordne den Funktionen den passenden Scheitelpunkt zu!|2=Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen, sowie fünf verschiedene Koordinaten.<br> Finde zu jeder Funktionsgleichung den Punkt, der auf ihrer Parabel liegt.
<br>
<br>
Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehört. <br>
Hilfe/Tipp:
Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel, <br> wenn durch Einsetzen eines x-Wertes,<br> der zugehörige y-Wert herauskommt.


'''„Von der Normalform zur Scheitelpunktsform“:'''


<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} y <math>=</math> x<sup>2</sup> - 1 {{!}}{{!}} <strong> S[3,8] </strong> <br> 
{{!}}-
{{!}} y <math>=</math> x<sup>2</sup> - 5  {{!}}{{!}} <strong> S[3,4] </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 0 {{!}}{{!}} <strong> S[2,4] </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 {{!}}{{!}} <strong> S[1,3] </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 4 {{!}}{{!}} <strong> S[2,8] </strong> <br>
{{!}}}
</div>|3=Arbeitsmethode}}
Überprüfe dein Ergebnis mit dem "GeoGebra-Applet". Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung.
<ggb_applet height="500" width="350" showreseticon="true" id="ehvg9da6" /> 
==STATION 3: Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor==
Nachdem du jetzt den Parameter y<sub>s</sub> kennst, wollen wir uns mit dem Parameter x<sub>s</sub> beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:
 
                                        '''f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''
{{Box|1=Erstes Kennenlernen!|2=
Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler x<sub>s</sub> in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-gestrichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine, mit gehaltener linker Maustaste, in die Lücken.
<br><br>
<div align="center"><ggb_applet height="450" width="400" showResetIcon="true" id="ugkj7bvb" /> </div>
<br>
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:'''
<div class="lueckentext-quiz">
Der Parameter x<sub>s</sub> der quadratischen Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>" bewirkt eine '''Verschiebung''' der Normalparabel auf der '''x-Achse'''. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters y<sub>s</sub>, ist die verschobene Parabel '''kongruent''' zur Normalparabel.
Mit Hilfe des Schiebereglers x<sub>s</sub> stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um '''x-Einheiten''' nach '''rechts''' erfolgt. Ist der Wert von x<sub>s</sub> '''negativ''', so wird der Graph um x-Einheiten nach '''links''' verschoben.
<br>
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = '''[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>'''". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>" lautet, entsteht für positive Werte eine '''Differenz''' in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von x<sub>s</sub>, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = '''[x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>'''". Der Scheitelpunkt liegt im Punkt "S '''[x<sub>s</sub>,0]'''", denn der y-Wert bleibt '''Null'''.
Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur '''x-Achse'''.
</div>|3=Arbeitsmethode}}
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!
{{Box|1=Der Parameter x<sub>s</sub>|2=
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>"''' gilt: 
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der x-Achse
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel
* Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung um x Einheiten nach '''rechts'''
* Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung um x Einheiten nach '''links'''
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S (x<sub>s</sub>, 0)'''
* Die '''Symmetrieachse''' ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse
|3=Merksatz}}
{{Box|1=Achtung|2=
* Für '''x<sub>s</sub> > 0''', mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "'''f(x) = (x – x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''"
Beispiel: Für x<sub>s</sub> = 5: f(x) = (x - 5)<sup>2</sup>
* Für '''x<sub>s</sub> < 0''', mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "'''f(x) = (x + x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''"
Beispiel: Für x<sub>s</sub> = -5: f(x) = (x + 5)<sup>2</sup>
|3=Hervorhebung1}}
Ebenso wie beim Parameter y<sub>s</sub>, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.
==STATION 4: Aufgaben zum Parameter x<sub>s</sub>==
{{Box|1=Ordne den Graphen die richtige Funktionsgleichung zu|2=
Gegeben sind die Graphen fünf verschiedener quadratischer Funktionen.
Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
<div class="lueckentext-quiz">
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} [[Bild:Parabeld-4,5.jpg]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabeld-2,5.jpg]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabeld0.jpg]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabeld2.jpg]] {{!}}{{!}} [[Bild:Parabeld5.jpg]]
{{!}}-
{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 4,5]<sup>2</sup> </strong>  {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 0]<sup>2</sup> </strong> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> </strong> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> </strong>
{{!}}}
</div>|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt zu|2=
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
<div class="lueckentext-quiz">
{{{!}}
{{!}}-
{{!}}  {{!}}{{!}} <u>  Scheitelpunkt </u> {{!}}{{!}} <u>  Funktionsgleichung  </u> 
{{!}}-
{{!}} 1. {{!}}{{!}} S <math>(2,5 \vert 0)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 2,5]<sup>2</sup> </strong> <br> 
{{!}}-
{{!}} 2. {{!}}{{!}} S <math>(-3 \vert 0)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} 3. {{!}}{{!}} S <math>(-2,5 \vert 0)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} 4. {{!}}{{!}} S <math>(0 \vert 0)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} 5. {{!}}{{!}} S <math>(3 \vert 0)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> </strong>
{{!}}}
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Verschiebe die Parabeln richtig!|2=Du siehst im folgenden Koordinatensystem drei Parabeln. Man kann diese drei Parabeln durch Bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.
      f(x) = (x - 2)<sup>2</sup>
      f(x) = (x - 5)<sup>2</sup>
      f(x) = (x + 3)<sup>2</sup>
Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst.
<div align="center"><ggb_applet id="sz94nvad‎" height="480" width="620" showResetIcon="true" /></div>
|3=Arbeitsmethode}}
==STATION 5: Zusammenführung der Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zur Scheitelpunktsform==
Bevor wir nun die beiden Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zusammenführen, wollen wir die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen, wer am wenigstens Versuche braucht!
<div class="lueckentext-quiz">
{|  
{|  
|-  
|-  
| ||<u> Frage </u>||<u> Antwort </u>
| ||<u> Verfahren  </u>||<u> Beispiel  </u>
|-  
|-  
|1.||Wie lautet der Scheitelpunkt für "y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>"?||<strong>S <math>[2|0]</math> </strong> <br>
|1.||Normalform der Parabel:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 11 </strong>
|-  
|-  
|2.||Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse?||<strong>y<math>=</math> x<sup>2</sup> - y<sub>s</sub></strong>
|2.||Vergleich mit a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2<math>\cdot</math> x <math>\cdot</math> 3 + 11 </strong>
|-  
|-  
|3.||Wie lautet der Scheitelpunkt für "y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 4"?||<strong>S <math>[0|-4]</math> </strong>
|3.||Quadratische Ergänzung:||<strong> y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup> + 11 </strong>
|-  
|-  
|4.||Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse?||<strong>y<math>=</math> [x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup></strong>
|4.||Scheitelpunktsform:||<strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 2 </strong>||
|-
|-
|5.||Wie lautet der Scheitelpunkt für "y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2"?||<strong>S <math>[0|2]</math> </strong>
|5.||Scheitelkoordinaten:||<strong> S <math>[-3|2]</math> </strong>
|-
|6.||Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse?||<strong>y<math>=</math> [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup></strong>
|-  
|7.||Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse?||<strong>y<math>=</math> x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub></strong>
|-
|8.||Wie lautet der Scheitelpunkt für "y<math>=</math> [x + 4]<sup>2</sup>"?||<strong>S <math>[-4|0]</math> </strong>
|}
|}
</div>
</div>




Jetzt sind wir an einem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.  
{{Box|1=Quadratische Ergänzung|2=
Man gelangt mittels '''quadratischer Ergänzung''' von der Normalform '''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + bx + c"''' zur Scheitelpunktsform '''"f(x) <math>=</math> (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"'''.<br>
|3=Merksatz}}


In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> einzeln kennengelernt.
<br><br>
Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion '''"f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''', in der beide Parameter integriert sind.
<br><br>
Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat.
Während der Parameter y<sub>s</sub> für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x<sub>s</sub> den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" deshalb '''Scheitelpunktsform'''. <br>
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>.
<br><br>
Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun noch mal abgefragt. Viel Erfolg! 


Löse die folgende Aufgabe!


{{Box|1=Quiz|2=
<ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" id="skhdbqnf" />


'''Hinweise:'''
{{Box|1=Quadratische Ergänzung|2=


* In dem "GeoGebra-Applet" siehst du die verschobene Normalparabel
Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.|3=Arbeitsmethode}}


* Mit den Schiebereglern y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> kannst du die Lage der Parabel verändern


* Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen
<div class="zuordnungs-quiz">
 
{|
 
|f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 2||f(x) = x<sup>2</sup> - 2x - 1<sup>2</sup> + 1<sup>2</sup> - 2||f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup> - 2||f(x) = (x - 1)<sup>2</sup> - 3||S <math>[1|-3]</math>||
'''Quiz:'''
|-
 
|f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 15||f(x) = x<sup>2</sup> + 10x + 5<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15||f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> + 15||f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> - 10||S <math>[-5|-10]</math>||
Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, z.B. für die x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.
|-
 
|f(x) = x<sup>2</sup> + 6x||f(x) = x<sup>2</sup> + 6x + 3<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>||f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 3<sup>2</sup>||f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> - 9||S <math> [-3|-9]</math>||
<div class="kreuzwort-quiz">
|}
{{{!}} 
</div>
{{!}}-
{{!}} Scheitelpunkt {{!}}{{!}} Wie nennt man den Punkt S(x<sub>s</sub>, y<sub>s</sub>) der Parabel?
{{!}}-
{{!}} Scheitelpunktsform {{!}}{{!}}  Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - x<sub>s</sub>)² + y<sub>s</sub>? 
{{!}}-
{{!}} Symmetrieachse {{!}}{{!}} Wie heißt die Achse, für die x = y<sub>s</sub> gilt?
{{!}}-
{{!}} Normalparabel {{!}}{{!}} Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent?
{{!}}-
{{!}} Unten {{!}}{{!}} In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4?
{{!}}-
{{!}} x-Achse {{!}}{{!}} Auf welcher Achse verschiebt der Parameter x<sub>s</sub> die Parabel?
{{!}}-
{{!}} Ebene {{!}}{{!}} Die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der...
{{!}}-
{{!}} y-Achse {{!}}{{!}} Auf welcher Achse verschiebt der Parameter y<sub>s</sub> die Parabel?
{{!}}-
{{!}} Zwei {{!}}{{!}} Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben?
{{!}}}</div>|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Die verschobene Parabel|2=
Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''' gilt: 
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel in der '''Ebene'''
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel
* Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um '''x Einheiten''' entlang der '''x-Achse''' und um '''y Einheiten''' entlang der '''y-Achse'''
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S (x<sub>s</sub>, y<sub>s</sub>)'''
* Die '''Symmetrieachse''' hat die Gleichung '''"x <math>=</math> y<sub>s</sub>"'''
|3=Arbeitsmethode}}
 
 
==STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform==
 
 
{{Box|1=Kreuze '''alle''' richtigen Aussagen an! |2=
 
<div class="multiplechoice-quiz">
 
'''"f(x) <math>=</math> (x - 5)<sup>2</sup> - 3"''' (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[-3 \vert 5]</math>)(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[5 \vert -3]</math>) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
 
'''"f(x) <math>=</math> 5 + (x + 12)<sup>2</sup>"'''  (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
 
'''"f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 3"''' (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt S <math>[0 \vert 3]</math>) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
 
'''"f(x) <math>=</math>-5 + (x - 6)<sup>2</sup>"''' (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
</div>|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Ordne den Scheitelpunkten die richtige Funktion zu|2=
 
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel.
Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} S <math>(2 \vert -5)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> - 5 </strong> <br> 
{{!}}-
{{!}}S <math>(4 \vert -8)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 4]<sup>2</sup> - 8 </strong> <br>
{{!}}-
{{!}} S <math>(4 \vert 8)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 4]<sup>2</sup> + 8  </strong> <br>  
{{!}}-  
{{!}} S <math>(5 \vert -2)</math> {{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> - 2  </strong> <br>
{{!}}}
</div>|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!|2=
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
{{{!}}
{{!}}-
{{!}} [[Bild:Parabel1lo.jpg]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel1ro.jpg]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel1ru.jpg]]  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}}  [[Bild:Parabel1lu.jpg]]
{{!}}-
{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 4 </strong>  {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x - 1]<sup>2</sup> - 5 </strong> {{!}}{{!}}{{!}}{{!}} <strong> y<math>=</math> [x + 5]<sup>2</sup> - 1 </strong>  
{{!}}}
</div>|3=Arbeitsmethode}}
 
 
{{Box|1=Kniffelaufgabe|2=
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. <br>
Gegeben ist die Funktion "f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> + 1,5" und die Punkte W, X, T und P.
Welche dieser Punkte liegt auf dem Graph? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!
 
      a) W <math>(0 \vert 1)</math>
      b) X <math>(0 \vert 10,5)</math>
      c) T <math>(-1 \vert 2)</math>  
      d) P <math>(-3 \vert 1,5)</math>  
 
 
Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen! <br>
{{Lösung versteckt|1=Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel|2=Tipp einblenden|3=Tipp ausblenden}}
 
 
Bediene nun den Schieberegler, um den Graph der Funktion an die richtige Stelle zu positionieren.
Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.
 
<div align="center"><ggb_applet height="480" width="580" showResetIcon="true" id="tszyuhmp" /></div>
|3=Arbeitsmethode}}


'''Prima!'''


Damit kennst du nun die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.


In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.
Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die '''Scheitelpunkts-''' und '''Normalform'''. <br>
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen. <br>


{{Fortsetzung|weiterlink=Quadratische_Funktionen/Kapitel_3:_Die_Normalform_"f(x)_%3D_x²_%2B_bx_%2B_c"|weiter=Die Normalform}}
{{Fortsetzung|weiterlink=Quadratische_Funktionen/Kapitel_4:_Der_Graph_der_quadratischen_Funktion_"f(x)_%3D_ax²"|weiter=Die modifizierte Normalparabel}}
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
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[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
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[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Aktuelle Version vom 23. April 2022, 16:48 Uhr


Die Normalform "f(x) x2 + bx + c"

In diesem Lernpfad lernst du die Normalform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!

Folgendes Punkte wirst du kennenlernen:

  • Wie komme ich von der Scheitelpunkts- zur Normalform?
  • Wie komme ich von der Normal- zur Scheitelpunktsform?


Lernpfadgruppe Mathematik-digital.de


Im letzten Lernpfad hast du die Scheitelpunktsform "f(x) = (x - xs)2 + ys" kennen gelernt. Man kann die Scheitelpunktsform umformen und erhält dann die Normalform "f(x) x2 + bx + c". Wir wollen im Folgenden betrachten, wie man von der Scheitelpunkts- zur Normalform und von der Normal- zur Scheitelpunktsform gelangt.


STATION 1: Von der Scheitelpunkts- zur Normalform

Im Moment erkennt man noch kein Muster zwischen der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" und der Normalform "f(x) x2 + bx + c".

Die Umformung von der Scheitelpunkts- zur Normalform ist nicht besonders schwer.


Von der Scheitelpunktsform zur Normalform

Du hast die Scheitelpunktsform "f(x) (x - 4)2 + 5" gegeben. Diese Form soll nun durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme
auf die Form "f(x) x2 + bx + c" gebracht werden.

Du hast die einzelnen Terme vorgegeben, bring sie in die richtige Reihenfolge!

„Von der Scheitelpunktsform zur Normalform“:

Verfahren Beispiel
1. y [x - xs]2 + ys
2. y [x - 4]2 + 5
3. y [x2 - 8x + 16] + 5
4. y x2 - 8x + 21
5. y x2 + bx + c


Die Normalform
Die Normalform "f(x) x2 + bx + c" entsteht aus der Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys" durch "Ausmultiplizieren" und "Zusammenfassen" der Terme.


STATION 2: Von der Normal- zur Scheitelpunktsform

Diese Umformung ist etwas schwieriger, aber du kennst sie bereits von früher!

In der letzten Lerneinheit hast du erfahren, welche Eigenschaften die Scheitelpunktsform hat. Du bist in der Lage, anhand dieser Form den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Bei der Normalform "f(x) = x2 + bx + c" ist das nicht so einfach und wir wollen deshalb lernen, wie man die Normal- in die Scheitelpunktsform umformt.

Keine Angst, die Vorgehensweise ist dir bekannt, sie nennt sich quadratische Ergänzung und du hast sie bei der Extremwertbestimmung kennen gelernt.

Löse zur Wiederholung der quadratischen Ergänzung die folgende Zuordnung.

„Von der Normalform zur Scheitelpunktsform“:

Verfahren Beispiel
1. Normalform der Parabel: y x2 + 6x + 11
2. Vergleich mit a2 + 2ab + b2: y x2 + 2 x 3 + 11
3. Quadratische Ergänzung: y x2 + 6x + 32 - 32 + 11
4. Scheitelpunktsform: y [x + 3]2 + 2
5. Scheitelkoordinaten: S


Quadratische Ergänzung
Man gelangt mittels quadratischer Ergänzung von der Normalform "f(x) x2 + bx + c" zur Scheitelpunktsform "f(x) (x - xs)2 + ys".


Löse die folgende Aufgabe!


Quadratische Ergänzung
Du hast drei verschiedene quadratische Funktionen in Normalform gegeben. Ordne der jeweiligen Normalform die einzelnen Schritte der quadratischen Ergänzung, bis hin zum Scheitelpunkt, zu. Dabei bekommt jede Funktionsgleichung vier Schritte zugeordnet.


f(x) = x2 - 2x - 2 f(x) = x2 - 2x - 12 + 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 12 - 2 f(x) = (x - 1)2 - 3 S
f(x) = x2 + 10x + 15 f(x) = x2 + 10x + 52 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 52 + 15 f(x) = (x + 5)2 - 10 S
f(x) = x2 + 6x f(x) = x2 + 6x + 32 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 32 f(x) = (x + 3)2 - 9 S


Damit kennst du nun die unterschiedlichen Darstellungsformen der quadratischen Funktion, die Scheitelpunkts- und Normalform.
In der nächsten Einheit lernst du dann einen neuen und auch den letzten Parameter kennen.

Die modifizierte Normalparabel
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