Datei:Graphxhoch3.jpg und Quadratische Funktionen/Kapitel 4: Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²": Unterschied zwischen den Seiten

Vorlage:Lernpfad-M

In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert. Dieser Parameter sorgt für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.

Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:

                         f(x)= a${\displaystyle \cdot}$x2

Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, wollen wir die Begriffe "Streckung" und "Stauchung" kurz erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.

Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.

Aufgabe:

Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!

Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.

Bearbeite das folgende Arbeitsblatt:

Quadratische Funktion "f(x)${\displaystyle =}$ax2"

Hinweise, Aufgabe und Lückentext:

Hinweise: In dem "GeoGebra-Applet" ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder Aufgabe: Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a im Hinblick auf die Normalparabel? Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Der Vorfaktor a führt zu einer Streckung oder Stauchung der Normalparabel in y-Richtung. Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a Eins ist, denn dann ist "f(x) = 1x2 = x2" identisch der Normalparabel. Ist a > 1, so ist der Graph gestreckt. Ist a < 1, so nennt man den Graph gestaucht. Außerdem ist die quadratische Funktion "f(x) = ax2" für den positiven Vorfaktor a nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt S ist tiefster Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle (0\!\,|\!\,0)}$.

Da wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.

Bearbeite das folgende Quiz und lerne die Auswirkungen für den negativen Parameter a kennen.

Quadratische Funktion "f(x) = ax²", für positiven und negativen Parameter a:

Aufgabe und Quiz:

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Aufgabe: Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Vorfaktor a wenn er negativ wird? Quiz: Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten) Welche Aussage ist für den negativen Vorfaktor a richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt) Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung) Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht) Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1) Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel, gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)

Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a sind, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen, welche du zunächst nur in einzelnen Puzzleteilen vorfindest. Löse das Puzzle, du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!

Aufgabe:

Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen, die richtigen Kombinationen zu finden!
Lies dafür zunächst alle Vorgaben und alle möglichen Lösungen genau durch.

Bisher konntest du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler des "GeoGebra-Applets" ablesen. Nun wollen wir lernen, wie man anhand des Graphen, den Parameter a bestimmt. Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall für "f(x)= a${\displaystyle \cdot}$x²". Im nächsten Lernpfad erfährst du dann, wie man den Parameter a auch für verschobene Parabeln bestimmt.

Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei die Vorgehensweise, zum Bestimmen des Parameters a, zu erkennen.

Quadratische Funktion "f(x) = ax2", für positiven und negativen Parameter a:

Hinweis und Aufgaben:

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1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x2". Gehe vom Scheitelpunkt aus auf der x-Achse eine Einheit nach rechts. Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen, um die Parabelkurve zu erreichen? (!2) (1) (!3) 2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1. Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse. Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen? (!3) (2) (!4) 3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche das folgende Quiz zu lösen: Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert: (!1) (!2) (!3) (4) 4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2. Funktioniert das Ablesen bei einem negativen Vorfaktor a genauso wie bei positiven Werten von a? (!Nein) (JA) 5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten! Wie lautet der Wert vom Vorfaktor a?? (!1) (-3) (!3)

Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Vorfaktors a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!

Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!

1. Aufgabe:

Um dir einmal zu zeigen, in welchen Bereichen des Alltags die Parabelform beispielsweise auftaucht, siehst du hier den Ausschnitt einer parabelförmigen Brückenaufhängung. Beantworte zuerst die folgende Frage und stelle dann den Graph durch Bedienen des Schiebereglers richtig ein!

Frage:

2. Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x²".

Im folgenden "GeoGebra-Applet" erkennst du die Punkte A, B, C und D. Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist fest vorgegeben. Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle. Überprüfe anschließend durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graph liegen. Liegen alle Punkte auf dem Graph, dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!

3. Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax²".

Glückwunsch!

Damit hast du den Lernpfad "Der Graph der quadratischen Funktion f(x)${\displaystyle =}$ax²" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden schließlich alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktion gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!